Molteplicità dell'intersezione di curve algebriche piane

La tesi si prefigge di definire la molteplicità dell’intersezione tra due curve algebriche piane. La trattazione sarà sviluppata in termini algebrici, per mezzo dello studio degli anelli locali. In seguito, saranno discusse alcune proprietà e sarà proposto qualche esempio di calcolo. Nel terzo capitolo, l’interesse volgerà all’intersezione tra una varietà e un’ipersuperficie di uno spazio proiettivo n-dimensionale. Verrà definita un’ulteriore di molteplicità dell’intersezione, che costituirà una generalizzazione di quella menzionata nei primi due capitoli. A partire da questa definizione, sarà possibile enunciare una versione estesa del Teorema di Bezout. L’ultimo capitolo focalizza l’attenzione nuovamente sulle curve piane, con l’intento di studiarne la topologia in un intorno di un punto singolare. Si introduce, in particolare, l’importante nozione di link di un punto singolare.

Funzioni BV e disuguaglianze isoperimetriche

All'interno della mia tesi verrà introdotta la teoria delle funzioni in R^{n} a variazione limitata (BV), seguendo le presentazioni di Lawrence C.Evans e Ronald F.Gariepy nel libro Measure Theory and Fine Properties of Functions e di Enrico Giusti nell'opera Minimal Surfaces and Functions of Bounded Variation. Le funzioni BV sono funzioni le cui derivate prime deboli sono misure di Radon, ossia misure di Borel regolari finite sui compatti. In particolare verranno anche analizzati gli insiemi E che hanno perimetro finito, ossia tali che la funzione indicatrice dell’insieme E sia una funzione BV. Nello specifico, nel primo capitolo verranno date le definizioni di funzioni BV e insiemi di perimetro finito, sia in una versione globale che in una locale, verrà enunciato un primo importante teorema per le funzioni BV e verrà analizzata la relazione tra funzioni di Sobolev e funzioni BV. Nel secondo capitolo, invece, verranno analizzate la semicontinuità inferiore, l'approssimazione con funzioni lisce e la compattezza di funzioni BV, mentre nel terzo capitolo verranno elencati alcuni risultati sulle funzioni BV riguardanti la Traccia, l'Estensione e la formula di Coarea. Infine, nel quarto ed ultimo capitolo, verranno studiate le disuguaglianze di Sobolev e Poincaré e le disuguaglianze isoperimetriche per funzioni BV.

Classificazione delle curve ellittiche viste come curve algebriche piane

Nel presente lavoro è affrontato lo studio delle curve ellittiche viste come curve algebriche piane, più precisamente come cubiche lisce nel piano proiettivo complesso. Dopo aver introdotto nella prima parte le nozioni di Superfici compatte e orientabili e curve algebriche, tramite il teorema di classificazione delle Superfici compatte, se ne fornisce una preliminare classificazione basata sul genere della superficie e della curva, rispettivamente. Da qui, segue la definizione di curve ellittiche e uno studio più dettagliato delle loro pricipali proprietà, quali la possibilità di definirle tramite un'equazione affine nota come equazione di Weierstrass e la loro struttura intrinseca di gruppo abeliano. Si fornisce quindi un'ulteriore classificazione delle cubiche lisce, totalmente differente da quella precedente, che si basa invece sul modulo della cubica, invariante per trasformazioni proiettive. Infine, si considera un aspetto computazionale delle curve ellittiche, ovvero la loro applicazione nel campo della Crittografia. Grazie alla struttura che esse assumono sui campi finiti, sotto opportune ipotesi, i crittosistemi a chiave pubblica basati sul problema del logaritmo discreto definiti sulle curve ellittiche, a parità di sicurezza rispetto ai crittosistemi classici, permettono l'utilizzo di chiavi più corte, e quindi meno costose computazionalmente. Si forniscono quindi le definizioni di problema del logaritmo discreto classico e sulle curve ellittiche, ed alcuni esempi di algoritmi crittografici classici definiti su quest'ultime.

La matematica dei frattali

Questa tesi ha lo scopo di descrivere le proprietà matematiche degli insiemi frattali. Nell'introduzione è spiegato brevemente cosa sono i frattali e vengono fatti alcuni esempi di frattali in natura, per poi passare agli aspetti più matematici nei capitoli. Nel capitolo uno si parla della misura e della dimensione di Hausdorff e viene calcolata, seguendo la definizione, per l'insieme di Cantor. Poi nel secondo capitolo viene descrittà l'autosimilarità e viene enunciato un importante teorema che lega l'autosimilarità e la dimensione di Hausdorff. Nel terzo capitolo vengono descritti degli insiemi frattali molto importanti: quelli di Mandelbrot e di Julia.

Stabilita di sistemi sferici autogravitanti con forze r^(-α)

In questa tesi si è eseguito uno studio preliminare (con risultati positivi) volto a verificare la possibilità di estendere al caso di forze r^(-α) il Teorema di stabilità di Antonov per sistemi autogravitanti newtoniani. Tale studio è volto a capire se i risultati di stabilità attualmente noti dipendano dalla speciale natura del campo r^(-2) o se valgono più genericamente per sistemi con forze a lungo range.

La teoria classica dei campi

In questa tesi verrà analizzata la dinamica dei sistemi conservativi a infiniti gradi di libertà, descritti dai campi. Verrà utilizzato l'approccio della meccanica lagrangiana, in cui, partendo da un principio, il principio di minima azione, si arriverà alla scrittura delle equazioni del moto, dette equazioni di Eulero-Lagrange, governate da una funzione, detta Lagrangiana. Successivamente si descriverà il formalismo hamiltoniano, in cui le equazioni di Eulero-Lagrange verranno riscritte in nuove coordinate, e interverrà una nuova funzione, detta Hamiltoniana. Verrà inoltre affrontato un altro argomento, in cui si vedranno quantità del sistema che si conservano nel tempo. Questa legge di conservazione, descritta dal Teorema di Noether, è dovuta a simmetrie della Lagrangiana, ovvero a trasformazioni continue delle coordinate del sistema che lasciano la Lagrangiana invariata. Ad ogni simmetria della Lagrangiana corrisponde una quantità conservata. Infine, per concludere, verrà applicato il metodo lagrangiano al sistema descritto dal campo elettromagnetico, e da qui si vedrà che le equazioni di Eulero-Lagrange diventeranno le note equazioni di Maxwell.

Il problema isoperimetrico nel piano

Questa tesi tratta del problema isoperimetrico nel piano, ossia di trovare, se esiste, il dominio che, a parità di perimetro (inteso come lunghezza del bordo), massimizza l'area. Intuitivamente la risposta pare piuttosto semplice: il cerchio è il dominio che ha area massima, ma la dimostrazione è tutt'altro che banale. Inizialmente verranno presentate le proprietà isoperimetriche dei poligoni regolari: tra tutti i poligoni con un numero fissato di lati n e perimetro fissato p, il poligono regolare di n lati e di perimetro p è l'unico che massimizza l'area. Nel seguito si generalizza questo fatto a un qualunque dominio limitato del piano il cui bordo è una curva chiusa, semplice e assolutamente continua. Infatti, nelle ipotesi appena dette, vale che l’area è minore o uguale di una certa costante moltiplicata per il quadrato della lunghezza del bordo, e si ha l'uguaglianza se e solo se il bordo è una circonferenza. Infine, nell'ultimo capitolo, viene data la dimostrazione, sorprendentemente semplice, della disuguaglianza isoperimetrica dovuta a Hélein per un aperto lipschitziano, facente uso del solo Teorema di Stokes applicato ad un particolare campo vettoriale ispirato alla teoria delle calibrazioni.

Immersione di Skorokhod con più marginali

Questo elaborato è incentrato sullo studio di un modello a volatilità locale, formulato da A. Conze e P. Henry-Labordère a partire dalla costruzione di R. Bass per le immersioni di Skorokhod. Dato un processo di prezzi, di cui è noto un numero finito di distribuzioni marginali, si suppone che sia una martingala non negativa esprimibile come funzione del tempo e di un altro processo stocastico (ad esempio un moto Browniano): l'obiettivo è l'individuazione di tale funzione. Per raggiungerlo ci si ricondurrà alla risoluzione di un'equazione di punto fisso, per la cui soluzione verranno forniti risultati di esistenza e unicità. La determinazione di questa funzione sarà funzionale al calcolo delle sensitività del modello.

Anelli noetheriani e anelli artiniani

In questa tesi vengono studiati anelli commutativi unitari in cui ogni catena ascentente o ogni catena discendente di ideali diventa stazionaria dopo un numero finito di passi. Un anello commutativo unitario R in cui vale la condizione della catena ascendente, ossia ogni catena ascendente di ideali a_1 ⊆ a_2 ⊆ · · · ⊆ R diventa stazionaria dopo un numero finito di passi, o, equivalentemente, in cui ogni ideale è generato da un numero finito di elementi, si dice noetheriano. Questa classe di anelli deve il proprio nome alla matematica tedesca Emmy Noether che, nel 1921, studiando un famoso risultato di Lasker per ideali di anelli di polinomi, si accorse che esso valeva in tutti gli anelli in cui gli ideali sono finitamente generati. Questi anelli giocano un ruolo importante in geometria algebrica, in quanto le varietà algebriche sono luoghi di zeri di polinomi in più variabili a coefficienti in un campo K e le proprietà degli ideali dell’anello K[x_1, . . . , x_n] si riflettono nelle proprietà delle varietà algebriche di K^n. Inoltre, per questi anelli esistono procedure algoritmiche che sono possibili proprio grazie alla condizione della catena ascendente. Un anello commutativo unitario R in cui vale la condizione della catena discendente, ossia ogni ogni catena discendente di ideali . . . a_2 ⊆ a_1 ⊆ R diventa stazionaria dopo un numero finito di passi, si dice artiniano, dal nome del matematico austriaco Emil Artin che li introdusse e ne studiò le proprietà. Il Teorema di Akizuki afferma che un anello commutativo unitario R è artiniano se e solo se è noetheriano di dimensione zero, ossia ogni suo ideale primo è massimale.

Matrici ricorsive e successioni polinomiali di tipo intero

Nel seguente elaborato esponiamo la teoria delle matrici ricorsive, ovvero matrici doppiamente infinite in cui ogni riga può essere calcolata ricorsivamente dalla precedente e in particolare mostriamo come questa teoria possa essere utilizzata per ottenere una versione del calcolo umbrale, il quale è idoneo anche allo studio dei polinomi p(x) che assumono valori interi quando la variabile x è un intero. Studieremo alcuni dei risultati del calcolo umbrale come conseguenze delle due principali proprietà delle matrici ricorsive, ovvero la Regola del Prodotto e il Teorema della Doppia Ricorsione.

Introduzione al Gruppo delle Trecce

L'obiettivo di questa tesi è fornire un'introduzione al gruppo delle trecce. In particolare, tale gruppo verrà presentato prima come gruppo astratto, poi tramite l'ausilio di trecce geometriche, mostrandone successivamente alcune proprietà algebriche. Viene infine trattato il legame tra il gruppo delle trecce e altri due gruppi, il mapping class group del disco bidimensionale puntato e il gruppo degli automorfismi treccia del gruppo libero. Nell'appendice si può trovare una breve introduzione al calcolo del gruppo fondamentale (teorema di Van Kampen).

Anelli booleani, reticoli booleani e algebre di Boole

Presentazione di anelli booleani, reticoli booleani e algebre di Boole e spiegazione di come e perché sia possibile che lo studio di ciascuna di esse sia equivalente allo studio delle altre due. Trattazione dell'esempio dell'insieme delle parti di un insieme arbitrario, rappresentazione di esso sia come anello booleano che come reticolo booleano e algebra di Boole e descrizione della sua importanza mediante il teorema di Stone (formulato per ciascuna struttura booleana). Rappresentazione dei reticoli distributivi e degli ideali d'ordine di un insieme parzialmente ordinato, per giungere al teorema di Birkhoff.

Entanglement and Tolman paradox

Nella presente tesi è discusso il fenomeno dell’ entanglement quantistico, che si manifesta come correlazione nei risultati delle misure di sistemi aperti, in precedenza localmente interagenti, indipendentemente da quella che è la loro distanza spaziale. Il celebre teorema di Bell esclude la possibilità che l’ entanglement possa essere descritto mediante una teoria di variabili nascoste locale. Si indaga allora l’ipotesi che particelle che si muovono a velocità super-luminali (tachioni), non vietate dalla Relatività, possano intervenire nella spiegazione fisica dell’ entanglement. In particolare, si presenta un’ interpretazione alternativa del noto paradosso di Tolman che riguarda i tachioni, tramite la quale è possibile ricostruire la sovrapposizione quantistica di stati della coppia entangled EPR, come associata a loop di tachioni scambiati tra i due sistemi.

Elementary properties of Modular curves and Modular forms

Lo scopo di questa tesi è introdurre in breve le prime proprietà delle curve modulari e delle forme modulari, per poi mostrarne alcune applicazioni archetipiche. Per farlo, dopo aver richiamato alcune nozioni utili nel primo capitolo, sviluppiamo, nel secondo capitolo, la teoria di base delle curve modulari compatte come superfici di Riemann, calcolandone il genere nel caso dei sottogruppi principali di congruenza. Dunque, nel terzo capitolo, dopo un estesa trattazione dell'esempio delle forme modulari rispetto al gruppo modulare, viene calcolata la dimensione degli spazi delle forme intere e delle forme cuspidali rispetto a un sottogruppo di indice finito del gruppo modulare. Questo capitolo si conclude con tre esempi di applicazione della teoria esposta, tra i quali spiccano la dimostrazione del Grande Teorema di Picard e del Teorema dei quattro quadrati di Jacobi.

Dinamica dei sistemi collisionali

In questo elaborato viene discussa la dinamica dei sistemi collisionali, la quale non si riferisce alle effettive collisioni fisiche che possono verificarsi seppur raramente in campo astrofisico (Appendice A), ma piuttosto al ruolo dominante ricoperto dagli incontri gravitazionali ravvicinati tra coppie di stelle. Nel Capitolo 1 viene introdotto lo studio della dinamica stellare, viene riportata la definizione di sistema collisionale e la sua distinzione da sistema non collisionale, in cui i moti, invece, sono influenzati dalla forza gravitazionale esercitata da una omogenea distribuzione di massa. Viene accennato, inoltre, il fondamentale Teorema del Viriale. A seguire, nel Capitolo 2, viene proposto il problema dei due corpi, fondamentale per lo sviluppo del calcolo del tempo di rilassamento a due corpi, e viene confrontato quest'ultimo sia con il tempo dinamico che con il tempo di frizione dinamica. Infine, nel Capitolo 3 vengono esposti alcuni esempi di dinamica stellare in astrofisica, come l'evaporazione gravitazionale, il core collapse e la catastrofe gravotermica degli ammassi globulari.