Desarrollo del pensamiento matemático : el concepto de número y otros conceptos.

Se presenta la enseñanza de las matemáticas desde una perspectiva más dinámica y lúdica. La primera parte trata del concepto de número, y la segunda parte analiza el tratamiento, significado y sentido matemático de conceptos y relaciones más relevantes. Incluye actividades, y dos apéndices: una investigación sobre la capacidad de percepción y retención intelectual de una serie de elementos, y unas orientaciones para una programación de contenidos.

Un estudio de validación convergente para la determinación de niveles genéticos en la adquisición del concepto de número.

Se trata de encontrar los esquemas de conocimiento que el sujeto pone en marcha para construir el concepto de número natural. Es por tanto, un estudio microgenético que trata de proporcionar un modelo psicoeducativo para la enseñanza del número. El muestreo fue aleatorio estratificado (estratos: deficientes, preescolar 1 y preescolar 2); la muestra estaba formada por 124 niños adscritos a colegios públicos y privados de la Región de Murcia. Partiendo del modelo cardinal-ordinal del número la variable utilizada fue la conducta numérica en las pruebas de conservación de las cantidades, utilizadas tradicionalmente, por la Escuela de Ginebra. Para el modelo de aprendizaje, la variable utilizada fue la probabilidad de paso de un nivel a otro. Prueba de conservación de las cantidades (discretas y contínuas) de Piaget con algunas modificaciones. Modelo didáctico a partir de la determinación de las propiedades inherentes a los niveles genéticos encontrados en la investigación. Análisis factorial y análisis de Cluster para agrupar a los sujetos en función de sus respuestas (determinación de niveles genéticos). Cadenas de Markov para representar el modelo de aprendizaje. Análisis jerárquico (Escala de Guttman) para averiguar si los ítems de las pruebas corresponden a una única magnitud psicológica mesurable. Se encontraron siete niveles genéticos en la adquisición del concepto de número natural, que fueron formalizados a partir de las leyes estructurales de grupo y de las relaciones de equivalencia y orden. La determinación de una mayor variedad de niveles genéticos y su formulación permiten elaborar modelos de aprendizaje que sean respetuosos con el desarrollo espontáneo de los esquemas cognitivos del niño y que, al tiempo, permiten un desarrollo más acelerado de estos esquemas, respetando el principio de equilibración mayorante de Piaget.

El papel de la transitividad y de las inferencias transitivas en la adquisición del concepto de número.

Determinar el papel que juegan las conductas transitivas en la adquisición de las nociones numéricas elementales a fin de determinar la situación de la transitividad en el currículum de Matemáticas en la EGB. 84 sujetos de Preescolar y Ciclo Inicial de tres colegios del Ayuntamiento de Murcia extraídos al azar en tres estratos -capital, extramuros y pedanías-. Los sujetos fueron, igualmente, seleccionados al azar. Muestreo aleatorio estratificado. Partiendo del modelo propuesto por la escuela de Ginebra, revisado y ampliado por alguno de los autores que, en cierta medida, es un modelo integrador de las posturas cardinalistas y ordinalistas, se propone un modelo no causal para determinar el papel que la transitividad juega en el desarrollo del número, puesto que, tanto las relaciones de equivalencia como las de orden -seriación-, que son las relaciones sobre las que se construye el número, son transitivas. La variable independiente fue el aprendizaje y las variables dependientes: conservación y transitividad. Pruebas operatorias de conservación de cantidades (discretas y continuas). Tareas de aprendizaje por autodescubrimiento. Tareas de aprendizaje de reglas. Tareas de aprendizaje en situaciones transitivas. Prueba de transitividad. Se utilizó una prueba no paramétrica para el análisis de las tablas de contingencia. La prueba utilizada fue 'Chi cuadrado' de Pearson. Los sujetos llegan a conservar el número sin necesidad de recurrir a la ley transitiva. Los sujetos que fueron sometidos a aprendizaje en situaciones transitivas no generalizan su conducta a otros contextos. La transitividad no juega ningún papel en la adquisición de las nociones numéricas elementales que se construyen, únicamente, mediante el recurso a relaciones reflexivas, simétricas y asimétricas. La transitividad verifica lo que los autores han denominado 'Teoría de la economía del pensamiento' y según la cual, el sujeto procede, en primer lugar, en extensión, incorporando a sus esquemas cognitivos nuevos elementos mediante las relaciones antes descritas hasta que, en un momento determinado y dependiendo de la 'norma de acomodaciones' de cada individuo, se produce una reorganización que enriquece el esquema en comprensión y lo simplifica en extensión. La transitividad es, desde esta perspectiva, una ley de simplificación.

Estrategias cardinales en la adquisición del concepto de número.

Conocer en qué medida el conteo como estrategia de cuantificación, depende de la comprensión de la invarianza cuantitativa (conservación). ¿Emergen sincrónicamente las estrategias cardinales y las ordinales a la conservación del número, o se aprecia una relevancia de unas sobre otras?. 134 sujetos seleccionados aleatoriamente, 71 niños y 63 niñas, de clase social media, de tres colegios públicos del municipio de Murcia. De los 134 sujetos, 49 eran de Preescolar, 52 de primero de EGB, y 33 de segundo de EGB. El rango de edad era de 4 años 5 meses a 6 años 2 meses en el grupo de Preescolar, con una media de 5 años 8 meses; de 6 años 2 meses a 7 años 6 meses en el grupo de primero de EGB, con una media de 6 años 9 meses; y de 7 años 2 meses a 9 años 11 meses en el segundo curso de EGB, con una media de 8 años 6 meses. Diseño no paramétrico. Se han establecido los tres grupos de edad agrupándolos en tres categorías: no conservadores, retorno empírico y conservadores. Los resultados de las tareas ordinal, cardinal y cardinal-ordinal se analizaron en función de las categorías mencionadas. Prueba de conservación standard de cantidades discretas Piaget y Szeminska, 1967 y Piaget e Inhelder, 1975. Se exploraron los siguientes aspectos: conservación, cardinalidad, ordinalidad, cardinalidad-ordinalidad. Para la exploración de la cardinalidad, ordinalidad y cardinalidad-ordinalidad se utilizaron dos tareas diferentes. Interpretación cualitativa de la tabla de resultados. Chi cuadrado para la significación entre los grupos de respuesta. Todos los sujetos son capaces de utilizar el conteo para determinar la cantidad de elementos de una colección. Sólo los sujetos conservadores son capaces de seriar una colección de acuerdo con el criterio tamaño. Todos los sujetos eligen como criterio para establecer una seriación, la cantidad de elementos de una colección, en vez de su tamaño. No hay diferencias significativas cuando se trata de utilizar estrategias cardinales u ordinales. Existen diferencias significativas en el uso de una estrategia cardinal que implica el establecimiento de una equivalencia y una estrategia que implica la determinación de una posición. Hay diferencias significativas cuando se trata de establecer una equivalencia según los criterios diferentes. Los conservadores respetan los criterios mientras los no conservadores dan respuestas incorrectas. El conteo no está relacionado con la conservación del número, ya que los niños pequeños pueden contar correctamente, antes de que sean capaces de conservar el número. Cuando se utilizan conceptos cardinales y ordinales a la vez, se observa, por una parte que no existen diferencias entre los sujetos conservadores y no conservadores a la hora de realizar la tarea, y por otra, existen diferencias a la hora de elegir estrategias para la consecución de la tarea. El establecimiento de la equivalencia es simultánea a la seriación.

La construcción del concepto de número en el niño de tres y cuatro años, análisis de los procesos intervinientes.

Cubrir el vacio de cómo construye el niño el número antes de los 4 años, dado que J. Piaget realiza su investigación en este campo a partir de los cuatro años. Este estudio trata de analizar los procesos de identificación, asociación, reproducción y ordenación, descubriendo las estrategias cognitivas que utilizan los niños y ls secuencialidad de los procesos. Además pretende ofrecer unas orientaciones didácticas a los educadores que trabajan el número con niños de tres a cuatro años. 40 niños y niñas de tres años de edad media -rango entre 2;11 y 3;10 años y 40 niños y niñas de cuatro años de edad media -rango entre 3;11 y 4;10- 39 eran varones y 41 hembras. La mayoría de clase social media. Se utilizaron siete pruebas. Cinco de ellas relativas al concepto de número -identificación de materiales manipulables, identificación con materiales no manipulable, asociación, reproducción con material manipulable y reproducción con material no manipulable- y las 2 restantes a la ordenación de los números -ordenación propiamente dicha y tarea de contar-. Entrevista individual realizada por la investigadora -no por la profesora-. La construcción de las dimensiones ordinal y cardinal del número no es simultánea. Los niños proceden a la construcción de número mediante estrategias perceptivas. La aparición de nuevas estrategias surge cuando el mecanismo perceptivo resulta insuficiente. Los niños de 4 años desarrollan más estrategias específicas que los niños de 3 años en tareas de identificación, asociación no estructurada, reproducción con material no manipulable y ordenación. La identificación de las cantidades no depende de la manipulabilidad de los elementos, los niños de 4 años utilizan estrategias para contar y para operar con conjuntos conocidos. A los 4 años los niños superan la imitación de los adultos en las tareas de contar por la identificación de las cantidades. De los análisis realizados se desprende un conjunto de sugerencias para la orientación de la actuación educativa. El educador debe estar en disposición de dar muchas explicaciones y que estas sean verdaderas. Además, debe tener una doble sencillez: sencillez para ponerse a la altura del niño y para reconocer que el alumno puede aprender de él, pero también de otros niños. El educador ha de estar siempre en vigilancia, conociendo el momento en que se encuentra el niño para presentarle una situación más dificultosa; esta situación romperá el equilibrio que tenía el niño en ese momento, y a la vez le hará movilizarse para crear estrategias en la búsqueda de soluciones. El educador debe, además, animar al niño a que relacione, haciéndole preguntas en las que pueda comparar objetos o situaciones.

Piaget y la génesis del número : cuantificación global, intuición y operación.

Comprobar si se dan las tres etapas propuestas por Piaget, o cuatro según Pierre Greco, en la formación del concepto operatorio del número en el niño, tanto en el niño normal como en el niño deficiente. Analizar el proceso seguido por el niño hasta poseer el número con carácter operatorio. Determinar, si existiesen diferencias de edad en la adquisición del concepto operatorio. Establecer posibles diferencias en cuanto al sexo y nivel socioeconómico. Dos grupos: 50 niños normales de ambos sexos con edades entre los cuatro y los ocho años, del Colegio Nacional Fuentenueva de Granada; y 25 niños deficientes de ambos sexos con edades entre los seis y quince años, del Centro Provincial de Educación Especial 'Jean Piaget' de Armilla (Granada). Aplicación de tests de inteligencia, tomando como principales variables: coeficiente de inteligencia, sexo, edad. Absentismo y nivel socioeconómico. Test de inteligencia de Goodenough; test de inteligencia de Raven color; test de inteligencia de Wisc; escala de madurez mental de Columbia (CMMS). Gráficos. Resultados con niños normales: aparecen tres etapas claramente definidas en el proceso de adquisición del número por parte del niño: en una primera etapa, las relaciones percibidas no se coordinan entre sí; durante la sgunda etapa, asistimos a un esbozao de operación, más con caracter intuitivo; en la tercera etapa, cuando el niño alcanza la operación, domina la conservación, la medida, etc. de manera inmediata. Resultados con niños deficientes: existencia de tres etapas distintas en el proceso de aparición del número, con caracter operatorio en los niños deficientes: en una primera etapa, los niños consideran natural que la cantidad de líquido varía según la forma y dimensiones del recipiente; la segunda etapa aparece situada a mitad de camino entre la cantidad bruta y la cuantificación, entre la no seriación y la seriación, es una etapa intuitiva; en la tercera etapa, es cuando los niños no necesitan ya reflexionar para asegurarse de la conservación, de la medida y de la seriación. Se dan las tres etapas propuestas por Piaget en la adquisición del número con caracter operatorio, en los niños de Granada. El orden de sucesión de las etapas es constante, aunque las edades promedio pueden variar. No se encuentran diferencias acuciantes en cuanto al sexo. En el niño deficiente se da el mismo proceso de elaboración y formación del número, con carácter operatorio. En el estudio con niños normales no se encuentran diferencias entre un status y otro en el proceso de adquisición del número.

Nombre i quantitat : aprenentatges del segle XXI. 'Número y cantidad : aprendizajes del siglo XXI'.

Resumen de la revista en catalán. Este artículo forma parte del monográfico 'Construir coneixements matemàtics'

¿Se puede predecir el número de cifras de un número periódico estudiando la fracción que lo genera?

Resumen basado en el de la publicación

El número de oro es plano : ­pásalo!

Análisis de los números conocidos como metálicos. Se explica su origen, la forma de calcularlos y otras cuestiones matemáticas en torno a ellos. También se hace referencia al número plástico.

Construcción del concepto múltiplo común en el dominio de los números naturales.

Resumen tomado de la publicación

El número en la vida cotidiana.

Resumen tomado de la revista

Contribución al estudio del desarrollo de la noción de número : un experimento sobre la conservación.

Estudiar la génesis del número en el niño de 4-6 años. Realizar una investigación clínica profunda sobre la naturaleza y el papel de las interacciones sociales así como la transformación estructural de los sujetos. Un total de 112 alumnos elegidos al azar y distribuidos así: primero de Preescolar, 10 chicos y 26 chicas. Segundo de Preescolar: 16 chicos y 18 chicas. Primero de EGB: 16 chicos y 26 chicas. Es un estudio técnico-experimental que tiene en cuenta la teoría de Piaget y Szeminska (1941) y la de Perret-Clermont (1979). Consta de los siguientes pasos: aplicación de un pretest; en función de los resultados se diferencian tres categorías: 1. Conservante; 2. Intermediario; 3. No conservante. Situación colectiva, en la que se realiza una prueba individual. Aplicación de un posttest: que es una repetición de la prueba de pretest. Resultados. Conclusiones. Pretest formado por un conjunto de fichas de diferentes colores. Es una prueba ad hoc. Prueba de la situación colectiva ad hoc. Posttest que es igual al pretest ad hoc. Observación de la conducta del niño ante las pruebas. Tabulaciones. Comparación entre los resultados obtenidos y la teoría de Piaget y Szeminska (1941). Seguimiento de la evaluación de la conducta entre la fase de pretest y la de posttest. Se detecta un efecto subsecuente a la interacción social de forma que los sujetos no conservadores progresan al interaccionar con sujetos intermediarios y sobre todo con sujetos conservadores. Hay dos clases de evaluación de conducta claramente diferenciados en individuos intermediarios y en individuos no conservadores. Se configuran los estadios propuestos por Piaget: no conservantes, intermediario y conservante, en la adquisición de la noción de conservación del número. Es en primero de EGB cuando se alcanza un nivel alto en la prueba de conservación.

El número de dos cifras : investigación didáctica e innovación educativa.

Resumen basado en el del autor

El número crítico.

Se parte del concepto de número crítico, que surge de la siguiente afirmación de Peter Singer, para aplicarlo al sistema educativo: 'si el 10 por 100 de la población adoptara un enfoque ético de la vida y actuará en consecuencia, el cambio sería más significativo que cualquier cambio de gobierno...'. Se presupone que si existiese entre el profesorado ese número crítico, ese cambio social sería posible. La función del docente se plantea no como mero transmisor de conocimientos, sino como formador de personas. Se concluye que esta filosofía en el profesorado favorecería una auténtica revolución educativa y por tanto social.

Algunas reflexiones sobre un tema de bachillerato : introducción del logaritmo y del número e.

Se realiza una reflexión teórica sobre el tema didáctico de los logaritmos y el número e. Con ello se aclaran algunas nociones, referentes a los cursos de primero y segundo de bachillerato. El programa de primero tiene, aparte de la natural obligación de adquirir soltura en los cálculos, una línea conductora clara: extensiones sucesivas del concepto de número. Pero lo que se trata fundamentalmente, es de presentar, basado en la noción de homomorfismo, el concepto de logaritmo, pues así es como se expresó por vez primera para las aplicaciones al cálculo práctico por Neper, Briggs o Bürgi, a quien se debe, al parecer, la primera tabla de logaritmos. A partir de esta definición, se realiza la construcción de una tabla de logaritmos al estilo de los geómetras del siglo XVII. Posteriormente se introduce el número e como base de los logaritmos naturales. Todas estas cuestiones pueden ser explicadas en dos fases, en los cursos primero y segundo de de bachillerato, sin tener que recurrir al concepto de función inversa de la exponencial, cuya construcción, por hacer uso de propiedades finas de la estructura de la recta real, suele ser inalcanzable para los alumnos.