Desarrollo cognitivo de algunos conceptos numéricos y su implicación en la adquisición de estrategias para la solución de problemas en el área de las Matemáticas.

Examinar la ejecución correcta o incorrecta y el tipo de estrategia utilizada por niños de 5 años de edad en diversos tipos de tareas de numeración. 49 niños de segundo curso de Preescolar, de edades comprendidas entre los 5 y los 6 años (29 mujeres y 20 varones), pertenecientes a un Colegio Público de Madrid de nivel socio-económico medio. A los niños se les aplicaron individualmente diversas pruebas. Las tareas se dividieron en tres bloques: contar conjuntos (recitar, contar en línea y contar circular), contar entre dos números y contar hacia atrás (contar entre dos números, contar hacia atrás con canicas y contar hacia atrás sin canicas) y adición de dos conjuntos (los dos conjuntos a la vista, uno a la vista y otro oculto). El diseño de la investigación es intrasujeto, es decir, todos los niños pasaban todas las pruebas, empleándose el contrabalanceo para controlar los posibles efectos del orden de las pruebas. Las variables independientes definidas fueron: tipo de tarea, tamaño del problema, edad y sexo. La variable dependiente, la respuesta del sujeto. 4 conjuntos de figuras pegadas en cartulinas. Canicas de colores. Caja pequeña y opaca. Protocolo de recogida de datos elaborado ad hoc. Análisis de errores. Análisis de contingencia. Tareas de contar: la dificultad de las tareas crece progresivamente desde recitar hasta contar circular, aunque esta dificultad es también función del tamaño de los conjuntos también se observa un aumento de respuestas correctas al aumentar la edad de los sujetos; en cuanto a los errores cometidos, se observa que éstos aumentan al incrementarse el tamaño de los conjuntos; la variable tarea afecta a las categorías de error dos números un ítem, salto de etiqueta, parar antes y parar después. Contar entre dos números y contar hacia atrás: en esta condición la mayor proporción de respuestas correctas corresponde a la tarea de contar entre dos números, siendo muy similar la proporción de respuestas correctas en las dos tareas de contar hacia atrás, aunque ligeramente inferior en la de contar entre dos números con bolas. Tareas de adición de conjuntos: la tarea donde uno de los conjuntos está oculto resulta más difícil que la de dos conjuntos visibles; la dificultad también aumenta al incrementar el tamaño de uno de los conjuntos; los sujetos utilizan la estrategia contar todo cuando los dos conjuntos son visibles, sin embargo cuando un conjunto está oculto la estrategia predominante es contar desde una adenda.

Aportaciones de los contenidos matemáticos de la instrucción al desarrollo mental de los niños de 11 a 14 años.

1. Mostrar la importancia que una ciencia como la Matemática tiene en nuestros días. 2. Demostrar determinadas conexiones establecidas entre la psicología del aprendizaje y la moderna estructuración de los contenidos matemáticos. 3. Ofrecer una alternativa válida (más adecuada que la tradicional) a la Enseñanza de las Matemáticas. En concreto, se pretende averiguar si la construcción espontánea del número racional se aproxima al punto de vista del mismo basado en la idea de operador o en un concepto intuitivo de número racional. 57 alumnos de sexto de EGB y 51 alumnos de séptimo de EGB de nivel socio-económico medio. El diseño experimental corresponde al denominado de cuatro grupos: dos grupos controles y dos experimentales. Los grupos controles de sexto y séptimo de EGB trabajaron con el punto de vista basado en un concepto de número racional intuitivo y los grupos experimentales trabajaron con un punto de vista de número racional basado en la idea de operador. Se midió el rendimiento en dos pruebas de conocimientos. Prueba A sobre números racionales elaborada adhoc. Prueba B elaborada por la International Asociation for the Evaluation of Educational Achievement. Porcentajes. Se pone de manifiesto que existen entre varios grupos de alumnos diferencias notables a la hora de hacer efectivos sus conocimientos sobre el concepto y operaciones de números racionales. Así, aunque no se puede afirmar que dichas diferencias se deban a la variable tratamiento (distinta en cada caso), los datos obtenidos alegan por una mayor bondad del proceso de aprendizaje seguido por los grupos experimentales. El proceso de aprendizaje experimental ofrece más oportunidades, por la utilización de métodos basados en el descubrimiento personal del alumno. Consecuentemente facilita su desarrollo lógico basado en el propio hacer y sustituye conductas mecanicistas o automatizadas por aquellas otras en las cuales se da más opción al razonamiento.

Los números en color en la educación matemática del niño ciego.

Conocer y valorar las posibilidades educativas del material 'Los números en color' en los niños invidentes. Niños ciegos del Colegio Nuestra Señora del Socorro, de la Fundación Burguet de Valencia. La metodología se apoya en la práctica docente con niños invidentes en su ambiente normal de escolarización y en la recogida de información a través de la grabación en vídeo de las sesiones escolares desarrolladas. Mediante una técnica próxima a la entrevista clínica con una pareja de alumnos, se experimenta de modo casi personalizado. Debido a las características del material, se sigue el proceso tacto-acción-comprensión a partir de las preguntas y requerimientos del entrevistador, dirigidas en una primera parte de la experiencia a conocer las carencias y posibilidades del material en lo que se refiere a su papel de modelo matemático para los niños invidentes y, en una segunda parte, encaminadas a la búsqueda y ensayo de aquellas modificaciones que permitan paliar las carencias encontradas en la forma tradicional de las regletas. Se trata de saber si los números en color funcionan con los niños ciegos o no, y si es así, de valorar sus posibilidades educativas. Se han impartido 20 sesiones de aproximadamente 30 minutos utilizando las regletas de cuisenaire tradicionales de madera; a continuación se han impartido otras 20 sesiones de 30 minutos a dos alumnas ciegas totales empleando las regletas de cuisenaire modificadas de acuerdo con sus hipótesis. El niño ciego manipula las regletas de hierro tan rápidamente y con la misma eficacia con que los niños videntes manipulan las regletas de madera de cuisenaire. Teniendo en cuenta que los números en color tradicionales tienen sobradamente demostrada su utilidad en el aprendizaje del Álgebra y de la Aritmética con niños videntes, se infiere que el material es el idóneo para esta misma enseñanza con niños ciegos. Como quiera que las regletas de hierro podrían ser utilizadas por niños videntes con la misma eficacia que las regletas de madera, puede afirmarse que el material facilitará sensiblemente el aprendizaje del Álgebra y de la Aritmética a los niños ciegos integrados en grupos de alumnos videntes.

El aprendizaje de los números en las Enseñanzas Básica y Media.

Conocer, con precisión, cuáles son los conocimientos numéricos de los alumnos, y detectar las dificultades de aprendizaje que se les presentan. Alumnos de 7 a 16 años de Enseñanzas Básica y Media, pertenecientes a 60 centros urbanos y rurales de las Islas Canarias. Se elabora una relación de objetivos operativos o unidades básicas de aprendizaje relacionados con el conjunto, la suma, la diferencia, el producto, la división, la potenciación, la radicación, la divisibilidad, el orden y la representación gráfica. Se redactan ejercicios para cada objetivo operativo, con el fin de determinar el nivel de aprendizaje en cada uno de ellos. Estas pruebas se pasan a los alumnos del nivel inmediatamente superior al que corresponden los objetivos operativos. Se corrigen los ejercicios con criterio de bien (1) o mal (0), sin considerar otras calificaciones, y se elaboran informes de conclusiones. Porcentajes. Se produce un progresivo empeoramiento del aprendizaje a medida que aumenta el nivel educativo. Destaca la existencia de una asimetría en el aprendizaje sobre cuestiones duales. Existen dificultades en la realización de operaciones en las que aparecen el número o la cifra 0. El aprendizaje de los números racionales no negativos resulta más difícil mediante fracciones que con decimales. En general, la comprensión de los conceptos, de los términos, de las expresiones literales y propiedades es deficiente. Existe un desconocimiento de la jerarquía de las operaciones y del correcto uso de los paréntesis, que provoca dificultades en el cálculo en el que intervienen varias operaciones. Se presentan dificultades en la aplicación de los algoritmos, que dependen de la colocación de los términos.

Rational Numbers and Intensive Quantities : Challenges and Insights to Pupils' Implicit Knowledge.'Números racionales y cantidades intensivas: retos y comprensión para el conocimiento implícito de los alumnos'.

Resumen tomado parcialmente de la revista.- El artículo forma parte de un monográfico dedicado a Psicología de las Matemáticas

Matemáticas para entender. Las matemáticas como cultura.

El artículo forma parte de un monográfico dedicado a contextos culturales para la actividad matemática

Conocimiento conceptual y procedimental : el caso del conteo.

Elaborar un modelo de conteo propio, partiendo de la perspectiva piagetiana sobre el desarrollo intelectual y la génesis del número. Responder a cuestiones básicas tales como ¿qué se entiende por conteo?, ¿qué significa contar?, ¿cómo y cuando comienza a contar un niño?. Niños entre dos y siete años de dos centros escolares, un jardín de infancia y un colegio público de Cartagena (Murcia). Se seleccionaron, mediante muestreo aleatorio simple, a diez niños de cada rango de edad (en meses: 27-37; 42-50; 52-61; 64-72; 76-86). Total: 50 niños. Para la investigación empírica se elaboraron cinco tipos de pruebas diferentes que se realizaron durante el segundo trimestre del curso escolar 1991-92 en los dos centros. Los datos fueron registrados en vídeo y se empleó un protocolo en el que se registraron conductas, simultáneamente a su ejecución. Las pruebas utilizadas fueron: de enumeración (compuesta de cinco tareas relacionadas con la recitación de la secuencia convencional de los numerales). Prueba de correspondencia uno-a-uno (constaba de dos tareas cuya finalidad era llegar a conocer los esquemas de correspondencia uno-a-uno poseidos por los niños). Prueba de elección libre de esquemas (compuesta de dos tareas relacionadas con el esquema de correspondencia-coordinación y con el de orden-seriación de los numerales). Prueba de conteo (dos items: conteo fácil, en que se pedía a los niños que contaran un conjunto de elementos distintos presentados en una serie lineal y conteo difícil: igual que el anterior excepto en la presentación del material). Prueba de conservación que consistió en la clásica prueba de conservación piagetiana elaborada para cantidades discretas. Protocolo. Análisis cualitativo de los datos obtenidos en las diferentes pruebas. Descripción de los resultados de cada grupo de edad en cada una de las pruebas en porcentajes de acierto. Análisis cuantitativo. Variables: edad, nivel, enumeración, correspondencia, elección, conteo y conservación. Análisis de regresión. Análisis de regresión por pasos (Stepwise). El conteo puede ser explicado por la enumeración y la correspondencia uno-a-uno, ya que el resto de las variables están implícitas en éstas. Cuando los elementos están dispuestos linealmente, la correspondencia uno-a-uno adquiere mayor relevancia que la numeración. La enumeración es condición necesaria, aunque no suficiente, para que se de la conducta de contar. Tanto el conteo como la conservación se desarrollan paralelamente. Como consecuencia no son aceptables los modelos basados en el conteo sobre la conservación y los modelos no basados en el conteo (Saxe, 1979), ni la alternativa ofrecida por este autor. El esquema de conteo se va desarrollando en el niño progresivamente hasta llegar a ser operatorio.

Un estudio sobre las potencialidades que genera en alumnos de secundaria el modelo de gestión mental aplicado a las fracciones.

Introducir modificaciones en el trabajo del aula en el área de Matemáticas para promover el aprendizaje, y lograr que los alumnos inhibidos en el contexto escolar lleguen a desarrollar sus potencialidades para aplicarlas en la vida cotidiana. Encontrar vías para lograr integrar las fracciones, los decimales y la recta numérica en el concepto más amplio de número racional, todo ello dentro del curriculum de la Enseñanza Secundaria Obligatoria. Poner en práctica en el aula situaciones de aprendizaje variadas que permitan ser analizadas, especialmente, los fenómenos de comprensión del conocimiento matemático. Observar si se producen variaciones en la comprensión del conocimiento de los números racionales, y valorar su opinión-actitud hacia las Matemáticas al aplicar un modelo didáctico de gestión mental. Alumnos de primero de BUP. En una primera parte se realiza un estudio de las investigaciones relacionadas con el tema y un análisis teórico de las cuestiones de investigación, posteriormente se elaboran los supuestos, objetivos e hipotesis. La opción metodológica que se adopta es la investigación-acción, por ser un modelo dentro de paradigma cualitativo que observa y estudia reflexiva y participativamente, una situación social. La aplicación en el aula del modelo de gestión mental facilita la introducción del concepto de número racional, proporciona significado a sus diferentes representaciones y facilita la recogida de información válida para el análisis de su comprensión conceptual.

Introducción del número racional en EGB mediante el concepto de operador : análisis comparativo con la introducción tradicional.

Comparación de la eficacia didáctica de dos métodos en la construcción del conjunto q+, partiendo del concepto intuitivo de fracción y definiendo la fracción mediante el concepto de operador. 5 colegios de Granada, rurales y urbanos. Se elabora una programación y se aplica durante dos cursos. También se realiza un estudio estadístico recopilando los datos obtenidos en las pruebas de evaluación. 12 pruebas de control elaboradas a tal fin, cada quincena. 1. Fiabilidad de la prueba: Kuder-Richardson 21. 2. Discriminación: índice de Pemberton. 3. Homogeneidad del grupo: prueba T. 4. Dificultad, matrices aciertos-errores: Fisher, Kolmogorov-Smirnov. 5. Diferencias entre los dos métodos Chi cuadrado. 1. Dificultad que presentan los alumnos al expresarse verbalmente y por escrito, cuando se les pide una definición o explicación de un concepto. El concepto de fracción como operador puede introducirse con este método en sexto nivel, aunque presente más dificultad que el concepto clásico.

Concepto de cantidad, número y número negativo durante la época de influencia jesuita en España (1700-1767).

Se estudia la influencia de la Compañía de Jesús en el sistema educativo español a lo largo del siglo XVIII. Se analizan los métodos, libros y conceptos que se usaban en este período de la historia educativa española. Se presenta un avance de un estudio histórico-crítico sobre libros de textos matemáticos, donde se investigan los conceptos de cantidad, número y número negativo.

Las teorías implícitas infantiles sobre el concepto de ser vivo y su relación con los procesos de clasificación.

Estudiar las distintas aportaciones que, tanto desde la perspectiva piagetiana como de la Psicología cognitiva se han dado en el estudio de las denominadas representaciones mentales tomando a las teorías implícitas como uno de los aspectos capaces de llevar a cabo esta labor integradora. Hacer una distinción entre función representacional y atribucional de las teorías implícitas, estableciendo empíricamente las diferencias que ambas funciones otorgan a los conocimientos. Determinar, desde el punto de vista evolutivo, el sentido invariante de la organización en teorías. A) 200 estudiantes con una edad media de 13,7 años. B) Fase I: 200 estudiantes de séptimo y octavo de EGB. 104 varones y 96 hembras. Fase II: 144 escolares de primero, tercero y quinto de EGB. C) Fase I: la misma muestra que la fase anterior. Fase II: 144 sujetos de EGB, ciclos inicial y medio. A) Se estudia la función representacional de las teorías implícitas. Comprende dos fases. Se determinan las características de cuatro teorías históricas sobre los seres vivos (mágico-animista, aristotélica, cartesiana y evolucionista). Se analiza la estructura representacional de dichas teorías mediante un estudio normativo que permite determinar el índice de tipicidad de cada enunciado con respecto a cada teoría. B) Para estudiar la función atribucional de las teorías implícitas. C) Se estudian las teorías implícitas y su relación con la clasificación de los seres vivos. Comprende dos fases: a) clasificación de animales, plantas y objetos reales estudiandose dos variables, la versión (complexión-construcción) y el tamaño (número de categorías 2-3-5). b) se estudia la relación entre el rendimiento en la clasificación y las teorías que se atribuyen los mismos sujetos. A) Las teorías implícitas son unidades representacionales de tipo individual que tienen una génesis sociocultural. B) Los niños, al igual que los adultos, construyen teorías implícitas como conjuntos de conocimientos organizados. C) Dichas construcciones no son estrictamente individuales, sino que, a través de diversos aspectos del desarrollo, percepción, lenguaje, interacción social, etc., el conocimiento incorpora determinadas estructuras de racionalidad propias de la cultura en la que cada individuo se desarrolla. D) La función representacional permite la síntesis de teorías alternativas a las propias, mientras que la función atribucional supone la adopción y uso por parte del sujeto de una determinada teoría o la síntesis de teorías atribuídas a otros. E) La doble función de síntesis de una teoría, representacional y atribucional, es una construcción determinada evolutivamente. F) Las teorías atribuídas tienen una base representacional. G) La atribución difiere en función de los grupos de edad y del número de teorías atribuídas. Este estudio nos ha permitido soslayar la indefinición piagetiana y determinar que lo representacional y atribucional en las teorías de los sujetos permite una valoración de los enunciados que varía sustancialmente de una función a otra.

La perspectiva como concepto matemático.

Resumen del autor. Este artículo pertenece a un número en homenaje a Gonzalo Sánchez Vázquez

El número de los sustantivos.

Se presenta un objeto digital educativo que pretende recordar al alumnado de quinto y sexto curso de Primaria el concepto de sustantivo, viendo que estos se diferencian por su género y por su número. Se repasan los distintos géneros, masculino, femenino y neutro, antes de empezar a estudiar el número de los sustantivos, singular y plural, y sus particularidades.

El número racional : un estudio sobre su tratamiento en los libros de texto y en la interacción profesor-alumnos.

Desvelar los factores que explican por qué los alumnos que inician por primera vez su aprendizaje formal de las fracciones encuentran dificultades en esta tarea. Es un estudio descriptivo dividido en dos partes. La primera es un estudio del marco teórico que brinda los elementos necesarios para desvelar qué implica el aprendizaje de las fracciones, tanto desde una perspectiva matemática como desde una perspectiva cognitiva. La segunda presenta, a través de dos estudios empíricos, cómo se aborda por primera vez la enseñanza formal de las fracciones, desde la descripción de libros de texto de matemáticas de cuarto curso de educación primaria y desde el proceso de enseñanza-aprendizaje dentro del aula. Para esto último, se grabó el desarrollo de una unidad didáctica completa de cuarto de primaria sobre el tema de las fracciones en el Colegio de las Esclavas del Sagrado Corazón de Jesús de Salamanca. La instrucción no promueve o no tiene en cuenta los conocimientos previos que sobre el número racional pueden tener los alumnos, da la relevancia al constructo parte-todo y al empleo de símbolos y algorítmos de las fracciones, además de dedicar la mayor parte del tiempo a resolver las actividades propuestas por el libro de texto. A la luz de estos resultados se establecen las siguientes conclusiones: aún en circunstancias ideales de instrucción, la construcción y comprensión del número racional implica un largo y difícil proceso secuencial. Ha de esperarse que el conocimiento que poseen los niños del número natural sea un obstáculo para la comprensión del número racional. Aún cuando no existe consenso acerca de cuándo o cómo iniciar la enseñanza del número racional, esta puede iniciarse muy pronto en los primeros años de escolaridad. Dada la familiaridad que tienen los niños en situaciones de la vida diaria con el reparto, este podría ser potencialmente empleado tanto en la instrucción como en el libro de texto de matemáticas. Las fracciones pueden representar otros significados además del significado parte de un todo. La instrucción en el número racional a menudo propone trabajar demasiado pronto con símbolos abstractos, que no brindan una adecuada base conceptual necesaria para que los niños construyan un adecuado concepto de fracción, aspecto que contribuye a limitar y desconectar una visión general de las fracciones.

La construcción del concepto de familia : de las concepciones implícitas a las explícitas.

Resumen de los autores