Plano y espacio afín.

Sea O un punto fijo del plan. Podemos establecer una correspondencia entre los puntos del plano y el conjunto de los vectores libres del plano. Un sistema de referencia del plano está constituido por un punto O y dos vectores u y v, que sean linealmente independientes dados en un cierto orden y si tenemos un par de números, existe siempre un punto que tenga esas coordenadas y éste, está unívocamente determinado, ya que si dos puntos tienen las mismas coordenadas, tienen el mismo vector y, por lo tanto, coinciden. El punto de referencia O sería el vector nulo y a un punto distinto del punto cero le asignamos el vector OA y diremos que este vector es el vector de posición del punto A. En el plano las rectas pueden ser paralelas, cortarse o no coincidir. La relación que existe en el plano entre ellas es afín pues siempre estarán en el mismo plano.

El Siglo de Oro de las Matemáticas.

Repaso histórico de la evolución del estudio y descubrimientos en el ámbito de las matemáticas, en especial, el periodo que abarca desde mediados del siglo XVII hasta bien entrado el siglo XVIII, centrándose en la geometría y el cálculo de variaciones.

La Matemática en el Bachillerato : trabajo presentado en la V Reunión de matemáticos españoles.

Se trata la evolución de la didáctica de la matemática en el bachillerato español entre los años 1903 y 1963, en la que se distinguen dos etapas o tendencias, y las diferentes reformas legislativas y normativas durante este período. También se hace mención de la evolución de otras disciplinas que integran la de matemáticas, como la geometría, y el perfeccionamiento de las técnicas y métodos de enseñanza.

Proporcionalidad de magnitudes : metodología matemática.

Se presentan algunas de las aplicaciones prácticas sobre la cuestión teórica y conceptual de la proporcionalidad de magnitudes. Primeramente se hace una breve reseña histórica y se precisa en concepto de magnitud. A continuación, se precisan algunos puntos de interés: las magnitudes escalares, las magnitudes escalares continuas y sus propiedades, la divisibilidad de una magnitud, la proporcionalidad entre magnitudes, la caracterización de la proporcionalidad, la medición indirecta de cantidades, la proporción entre cantidades, y la proporción numérica. El objetivo es iniciar a los alumnos de bachillerato en los primeros pasos de la Matemática elemental.

Una manera de introducir el concepto de orbital : oxidación del anhídrido sulfuroso.

Notas sobre como introducir a los alumnos en la geometría de las moléculas mediante la observación directa, utilizando globos para visualizar los orbitales atómicos en las clases de química.

Relaciones métricas en los triángulos : Matemáticas.

Estudio acerca de las relaciones métricas entre los triángulos, sobre la base de lecciones explicadas a los alumnos de tercer curso del Instituto Ramiro de Maeztu, en la Cátedra de Metodología y Didáctica de la Matemática. Algunas de las relaciones que se explican mediante diagramas y operaciones matemáticas son: si sobre los lados de un triángulo escaleno construimos triángulos semejantes al dado, el triángulo construido sobre el lado mayor es mayor, igual o menor, que la suma de los otros dos, según que el triángulo dado sea obtusángulo, rectángulo u acutángulo. También se estudia el teorema de la altura: en un triángulo rectángulo, la altura relativa de la hipotenusa es medio proporcional entre los dos segmentos en que descompone a ésta; o el teorema de Pitágoras, que señala que el cuadrado construido sobre la hipotenusa es equivalente a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos. Por último se hace referencia a las aplicaciones de las relaciones métricas estudiadas en la resolución de ejercicios.

Óptica paraxial.

Se analiza la óptica paraxial dentro del sistema educativo español en la década de los años sesenta. Al ponerse en vigor con el curso 1960-61 las nuevas normas sobre Preuniversitario, a él pasó la Óptica geométrica, que se venía explicando en el Selectivo de las facultades de Ciencias. La disposición al efecto señala que su explicación se debe hacer utilizando la notación contenida en las normas DIN 1,335. Pero los escasos libros españoles de Óptica apenas han usado estas normas, por lo que se realizó este estudio a modo de compendio. Se señala que no se tiene la pretensión de que estos apuntes puedan ser la sustitución de un libro de texto del Bachillerato, ya que son demasiado densos para los alumnos. Se deja a los profesores la tarea de exponerla de forma adecuada a los alumnos, de ese nivel y edad. Por tanto el contenido es meramente matemático, y se obvia cualquier observación de tipo didáctico. Si se presenta el contenido acompañado de numerosas demostraciones matemáticas y experimentos. De hecho se considera imprescindible que los alumnos vean, acompañando a la explicación del profesor en clase, una colección de experiencias para que se den cuenta de que las cuestiones que se explican corresponden a realidades físicas. En líneas generales los principales puntos tratados son la óptica geométrica, los sistemas ópticos centrados, la óptica paraxial de los sistemas centrados, las ecuaciones de correspondencia y los sistemas compuestos.

Axiomática de la Matemática.

Estudio sobre la axiomática de las matemáticas. Se señala que en ocasiones se contraponen las exigencias del desarrollo científico y de la didáctica, por lo que se ha sugerido que hay que buscar un equilibrio. En la concepción moderna de la ciencia motemática domina el método axiomático. Para dar una idea precisa del mismo, es necesario elaborar construcciones axiomáticas sencillas, adaptadas a los distintos niveles de nuestros alumnos. La axiomática de la geometría elemental presento dos niveles bien diferenciados que corresponden a los dos grados de la enseñanza medio generalizados en todos los países, aunque con distintos nombres. Entre nosotros Bachillerato elemental y superior. En el nivel más elemental nuestra axiomática debe basarse en las propiedades deducidas directamente de la ideo de cuerpo rígido, mediante el empleo de calcos, plantillas, cuerda utilizada como compás, etc. Con el estudio se pretende en definitiva, dar un esbozo de una posible axiomática de la Geometría, sobre todo en lo que especta al nivel del Bachillerato Superior. Se traza una panorámica histórica de la cuestión, con los principales antecedentes y se plantean una serie de problemas, y ejercicios y demostraciones matemáticas para corroborar hipótesis. Se hace especial mención a la geometría hiperbólica y a la geometría del espacio de siete puntos, aspecto con el que se concluye.

Elementos geométricos.

Análisis de ciertos elementos y propiedades geométricas, como la noción de ángulo. La noción de ángulo presenta importantes dificultades a la enseñanza elemental. Se defiende que toda la enseñanza, por elemental e incompleta que sea, se fundamente en definiciones precisas y correctas. En los estudios sucesivos se pueden completar puntos de vista, pero conviene que no haya que deshacer nada de lo que ya se ha hecho. Se tocan puntos como el ángulo como región angular para el primer curso; y el ángulo como giro, para el segundo curso. Como definición se señala que se llama ángulo a una región angular o angulares adyacentes a una reunión de regiones A partir de este concepto de ángulo, se podrá trabajar en construcciones gráficas. La igualdad de ángulos llevará a la idea de ángulo llano, ángulo recto, ángulos suplementarios y complementarios. En cuanto a los movimientos del plano, la propuesta didáctica es imaginar una figura de un plano, de la que hay que sacar un calco. Moviendo el calco obtenemos otra figura que se dice transformada o imagen de la primera por un movimiento. Se analizan sus características y se distinguen dos grandes tipos de movimientos: unos se pueden materializar con el papel de calco presentando siempre la misma cara. Son los movimientos directos. Otros se obtienen invirtiendo el papel de calco y se llaman movimientos inversos. Como casos especiales se señala la Simetría axial o movimiento inverso que se obtiene haciendo girar el plano alrededor de una recta del mismo. A continuación se reflexiona sobre el ángulo como giro, el ángulo cero, el ángulo opuesto y la propiedad conmutativa.

Experiencias para introducir el concepto de volumen.

Desarrollo de una lección sobre el concepto de volumen, experimentada en el último Cursillo de Profesores Auxiliares. Se reseña el material necesario, que se compone de poliedros, especialmente ortoedros, de distintas sustancias y de varios tamaños. Entre las experiencias a realizar, para ver que a cada poliedro u ortoedro le corresponde un número, se realizan una serie de experimentos. Se pesa un ortoedro, que por tanto tiene un peso determinado; se observa que si nos dan otro ortoedro Q igual que P, en tamaño y materia, su peso será igual que el de P. También se puede introducir en una probeta graduada con agua, el ortoedro cuyo volumen se quiera determinar. El agua sube de nivel. El exceso de agua es el volumen del cuerpo. Repetir la experiencia con otro ortoedro igual y observar que les corresponde el mismo exceso de agua, el mismo volumen. Establecemos en estas experiencias una correspondencia: a cada ortoedro le corresponde un número, un peso y un volumen. Se establece una relación matemática. Posteriormente se da una primera definición de poliedros equivalentes: dos poliedros son equivalentes cuando se pueden descomponer en el mismo número de poliedros iguales, y se puede pasar de un paralelepípedo cualquiera a un ortoedro siguiendo el proceso inverso al anterior.

Expansión de la Ciencia Matemática.

Estudio acerca del desarrollo de la ciencia matemática a lo largo de la historia. Se destaca que el conocimiento de las matemáticas permite a los más jóvenes ser más libres. Posteriormente se destacan tres aspectos muy característicos en esta maduración de la ciencia matemática: una preocupación creciente por el rigor, la intervención sistemática de lo axiomático y una abstracción cada vez mayor. En base a estos tres aspectos se analizan las figuras más significativas de las matemáticas y sus principales aportes. La matemática abstracta sería el máximo punto en ese desarrollo, que se inicia en 1920, gracias a figuras como Artin, Noether o Van der Waerden. Se destaca que el punto de partida de la Matemática moderna es lo teoría de conjuntos, necesaria para definir estructuras susceptibles de aplicarse a cualquier especie de objetos. La matemática moderna, se presenta así como un saber muy lejano a la matemática clásica, por su lenguaje, por su simbolismo, por sus aires de abstracción, por los problemas de que se ocupa etc. Para finalizar se subraya la idea de que la evolución, en este caso de la ciencia matemática, no es un hecho aislado, sino una tendencia universal hacia una mayor madurez y dominio del mundo material.

Modelos para la enseñanza de movimientos y simetrías en el plano.

Se presentan una serie de modelos con el fin de facilitar la comprensión y realización de movimientos directos e inversos del plano, traslaciones, giros y simetrías, y para las transformaciones geométricas que se emplean en la geometría métrica elemental.

Los poliedros estrellados como centro de interés.

Con el fin de renovar la didáctica de la Geometría, se propone la construcción de poliedros estrellados como medio didáctico, debido al interés que despierta en los alumnos. Se describen algunos poliedros como: el dodecaedro de tercera especie, el dodecaedro estrellado de séptima especie y el icosaedro estrellado de séptima especie.

Multivalencia de las situaciones geométricas.

Se realizan una serie de dibujos que sirven para observar, buscar y descubrir muchas relaciones matemáticas y que demuestran la multivalencia de las situaciones geométricas.

Aritmética de la escalera : una lección de cálculo mental sobre un modelo imaginado para alumnos de 9 a 10 años.

Se describe un ejemplo de clase activa de cálculo mental, experimentado con alumnos de 9 y 10 años del Instituto de San Isidro de Madrid, que utiliza como material una escalera imaginaria, y que permite la introducción heurística de gran número de conceptos, tanto aritméticos como geométricos.