Superintégrabilité avec séparation de variables en coordonnées polaires et intégrales du mouvement d’ordre supérieur à deux

Dans cette thèse, nous proposons de nouveaux résultats de systèmes superintégrables séparables en coordonnées polaires. Dans un premier temps, nous présentons une classification complète de tous les systèmes superintégrables séparables en coordonnées polaires qui admettent une intégrale du mouvement d'ordre trois. Des potentiels s'exprimant en terme de la sixième transcendante de Painlevé et de la fonction elliptique de Weierstrass sont présentés. Ensuite, nous introduisons une famille infinie de systèmes classiques et quantiques intégrables et exactement résolubles en coordonnées polaires. Cette famille s'exprime en terme d'un paramètre k. Le spectre d'énergie et les fonctions d'onde des systèmes quantiques sont présentés. Une conjecture postulant la superintégrabilité de ces systèmes est formulée et est vérifiée pour k=1,2,3,4. L'ordre des intégrales du mouvement proposées est 2k où k ∈ ℕ. La structure algébrique de la famille de systèmes quantiques est formulée en terme d'une algèbre cachée où le nombre de générateurs dépend du paramètre k. Une généralisation quasi-exactement résoluble et intégrable de la famille de potentiels est proposée. Finalement, les trajectoires classiques de la famille de systèmes sont calculées pour tous les cas rationnels k ∈ ℚ. Celles-ci s'expriment en terme des polynômes de Chebyshev. Les courbes associées aux trajectoires sont présentées pour les premiers cas k=1, 2, 3, 4, 1/2, 1/3 et 3/2 et les trajectoires bornées sont fermées et périodiques dans l'espace des phases. Ainsi, les résultats obtenus viennent renforcer la possible véracité de la conjecture.

Generalized Burgers equations and Euler-Painlev transcendents. I

Initial-value problems for the generalized Burgers equation (GBE) ut+u betaux+lambdaualpha =(delta/2)uxx are discussed for the single hump type of initial data both continuous and discontinuous. The numerical solution is carried to the self-similar ``intermediate asymptotic'' regime when the solution is given analytically by the self-similar form. The nonlinear (transformed) ordinary differential equations (ODE's) describing the self-similar form are generalizations of a class discussed by Euler and Painlevé and quoted by Kamke. These ODE's are new, and it is postulated that they characterize GBE's in the same manner as the Painlev equations categorize the Kortweg-de Vries (KdV) type. A connection problem for some related ODE's satisfying proper asymptotic conditions at x=±[infinity], is solved. The range of amplitude parameter is found for which the solution of the connection problem exists. The other solutions of the above GBE, which display several interesting features such as peaking, breaking, and a long shelf on the left for negative values of the damping coefficient lambda, are also discussed. The results are compared with those holding for the modified KdV equation with damping. Journal of Mathematical Physics is copyrighted by The American Institute of Physics.

[Le château de Bry-sur-Marne, propriété du baron de Vinck]

Collectionneur : Gilles, Albert (1873-1959)

Boulevard du Dayton News (Ohio), propriété de M. [le sénateur James] Cox [angle de S. Ludlow St. et W. 4th St. à Dayton, Ohio] : [photographie de presse] / [Agence Rol]

Référence bibliographique : Rol, 60120