Timelike Christoffel pairs in the split-quaternions

We characterize the Christoffel pairs of timelike isothermic surfaces in the four-dimensional split-quaternions. When restricting the receiving space to the three-dimensional imaginary split-quaternions, we establish an equivalent condition for a timelike surface in R(2)(3) to be real or complex isothermic in terms of the existence of integrating factors.

Spin stabilized satellite's attitude propagation with quaternions

This paper presents a study of a modeling scheme for the spin stabilized satellites attitude, entirely developed in terms of quaternion parametrization. The analysis includes numerical propagation of the rotational motion equation, considering the influence of the following torques: aerodynamic, gravity gradient, residual magnetic, eddy currents and the one due to the Lorentz force. Applications are developed considering the Brazilian Spin Stabilized Satellites SCD1 and SCD2, which are quite appropriated for verification and comparison of the theory with the real data generated and processed by the INPE's Satellite Control Center (SCC). The results show that for SCD1 and SCD2 the influence of the eddy current torque is bigger than the others ones, not only due to the orbit altitude, but also to other specific satellites characteristics. The influence of the torque due to Lorentz force is smaller than the others ones because of the dimension and the electrical charges of the SCD1 and SCD2. In all performed tests the errors remained within the dispersion range specified for the attitude determination system of INPE's SCC. The results show the feasibility of using the quaternion attitude parametrization for modeling the satellite dynamics of spin stabilized satellites.

Semi-analytical study of the rotational motion stability of artificial satellites using quaternions

This study at aims performing the stability analysis of the rotational motion to artificial satellites using quaternions to describe the satellite attitude (orientation on the space). In the system of rotational motion equations, which is composed by four kinematic equations of the quaternions and by the three Euler equations in terms of the rotational spin components. The influence of the gravity gradient and the direct solar radiation pressure torques have been considered. Equilibrium points were obtained through numerical simulations using the softwares Matlab and Octave, which are then analyzed by the Routh-Hurwitz Stability Criterion.

A note on the hypercomplex riemann-cauchy like relations for quaternions and laplace equations

In this Note it is worked out a new set of Laplace-Like equations for quaternions through Riemann-Cauchy hypercomplex relations otained earlier [1]. As in the theory of functions of a complex variable, it is expected that this new set of Laplace-Like equations might be applied to a large number of Physical problems, providing new insights in the Classical Fields Theory.

Fourier series for quaternions and the square of the error theorem

In this paper we introduce a type of Hypercomplex Fourier Series based on Quaternions, and discuss on a Hypercomplex version of the Square of the Error Theorem. Since their discovery by Hamilton (Sinegre [1]), quaternions have provided beautifully insights either on the structure of different areas of Mathematics or in the connections of Mathematics with other fields. For instance: I) Pauli spin matrices used in Physics can be easily explained through quaternions analysis (Lan [2]); II) Fundamental theorem of Algebra (Eilenberg [3]), which asserts that the polynomial analysis in quaternions maps into itself the four dimensional sphere of all real quaternions, with the point infinity added, and the degree of this map is n. Motivated on earlier works by two of us on Power Series (Pendeza et al. [4]), and in a recent paper on Liouville’s Theorem (Borges and Mar˜o [5]), we obtain an Hypercomplex version of the Fourier Series, which hopefully can be used for the treatment of hypergeometric partial differential equations such as the dumped harmonic oscillation.

Bulletin of the International association for promoting the study of quaternions and allied systems of mathematics.

Only the numbers for 1910 and 1913 have title Bulletin; the other numbers bear the name in the association only.

TUḤFAT al-NAṢĀ’IḤ de Yūsuf Gadā

Dans cette copie le bāb 45 est numéroté 46 par erreur, de même que la date de composition (f. 66v) est donnée comme étant 700H.[sic] au lieu de 795H. De la main de Muḥ. Zamān, on trouve des gloses lexicographiques entre les lignes ou dans le marges. La signature d’Aussant figure au f. 1. Ce ms. (Aussant n° 38) a été acquis par la B.N. en 1798. [Anc. cote, Suppl. persan 51].

AḤVĀL-i MAWT-i ḤUSAYN-‛ALĪ HĀN VA AḤVĀL-i MAWT-i PISAR

Poème masnavī compose de deux parties, l’histoire (qiṣṣa) de la chute, puis de la mort, du vizir Sayyid ‛Alī Hān (f. 7v- 59), assassiné le 9 octobre 1720 et remplacé par Muḥ. Amīn Hān I‛timād al-Dawla. Cette partie compte 919 bayt. La seconde (f. 61- 102v) en compte 763 et raconte les circonstances de la mort de Lāla Laliyān Mal, fils de l’auteur (f. 62), survenue dix mois après, alors qu’il avait 30 ans, et les campagnes militaires de cette période. Cette qiṣṣ̣a aurait été rédigée vers 1723 (f. 102).Une préface en prose (dībāča), rédigée (f. 5v) par Zōrāvar Singh [comparer à Supplément persan 247] occupe les f. 1v à 6v. Celui-ci indique qu’il édita, après sa mort l’œuvre du poète Rāy Kirpārām (f. 3v), et dédie cette édition (f. 2v) au moghol Abū l-Fatḥ Nāṣir al-Dīn Muḥ. Šāh (m. en 1161H./1748). Ce serait Rāy Kirpārām l’auteur des deux qiṣṣa.

Biblia [Vetus et Novum Testamentum].

La Bible s’ouvre par deux compositions poétiques d’Alcuin qui encadrent l’Épître de saint Jérôme à Paulinus, « Frater Ambrosius... » (ff. 1-2r : Monumenta Germaniae Historica, Poetae latinae, I, 1, p. 287, LXVIII-LXX, v. 1-200 ; ff. 4r-v : Monumenta Germaniae Historica, Poetae latinae, I, 1, p. 283-284, LXV, I-III). La fin manque: la Bible s'interrompt à la fin de l'Epître de saint Paul aux Colossiens.

Modules d'endo-permutation

Dans la th´eorie des repr´esentations modulaires des groupes finis, les modules d?endo-permutation occupent une place importante. En e_et, c?est le r?ole jou´e par ces modules dans l?analyse de la structure de certains modules simples pour des groupes finis p-nilpotents, qui a amen´e E. Dade `a en introduire le concept, en 1978. Quelques ann´ees plus tard, L. Puig a d´emontr´e que la source de n?importe quel module simple pour un groupe fini p-r´esoluble quelconque est un module d?endo-permutation. Plus r´ecemment, on s?est rendu compte que ces modules interviennent aussi dans l?analyse locale des cat´egories d´eriv´ees et dans l?´etude des syst`emes de fusion. La situation que l?on consid`ere est la suivante. On se donne un nombre premier p, un p-groupe fini P, un corps alg´ebriquement clos k de caract´eristique p et on veut d´eterminer tous les kP-modules d?endo-permutation couverts ind´ecomposables de type fini, c?est-`a-dire tous les kP-modules ind´ecomposables de type fini, tels que leur alg`ebre d?endomorphismes est un kP-module de permutation ayant un facteur direct trivial. On d´efinit une relation d?´equivalence sur l?ensemble de ces kP-modules et le produit tensoriel des modules induit une structure de groupe ab´elien sur l?ensemble des classes d?´equivalence. On appelle ce groupe, le groupe de Dade de P. Ainsi, classifier les modules d?endo-permutation couverts revient `a d´eterminer le groupe de Dade de P. Le groupe de Dade d?un p-groupe fini arbitraire est encore inconnu, bien qu?E. Dade, en 1978, ´etait d´ej`a parvenu `a la classification dans le cas o`u P est ab´elien. La premi`ere partie de ce travail de th`ese est consacr´ee au probl`eme de la classification dans le cas g´en´eral et r´esoud la question dans le cas de deux familles de p-groupes finis, `a savoir celle des p-groupes m´etacycliques, pour un nombre premier p impair, et celle des 2-groupes extrasp´eciaux, de la forme D8 _ · · · _ D8. Ces deux choix ont ´et´e motiv´es par le fait que ces groupes sont "presque" ab´eliens. De plus, certains r´esultats sur la structure du groupe de Dade d?un p-groupe fini quelconque rendent le groupe de Dade des groupes de ces deux familles plus simple `a ´etudier. Dans un deuxi`eme temps, nous nous sommes int´eress´es `a deux occurrences de ces modules dans la th´eorie de la repr´esentation des groupes finis, c?est-`a-dire `a deux raisons qui motivent leur ´etude. Ainsi, nous avons r´ealis´e des modules d?endo-permutation comme sources de modules simples. En particulier, il s?av`ere que, dans le cas d?un nombre premier p impair, tout module d?endo-permutation ind´ecomposable dont la classe est un ´el´ement de torsion dans le groupe de Dade est la source d?un module simple. Finalement, nous avons d´etermin´e, parmi tous les modules d?endo-permutation connus actuellement, lesquels poss`edent une r´esolution de permutation endo-scind´ee. Nous sommes arriv´es `a la conclusion que les seuls modules d?endo-permutation qui n?ont pas de r´esolution de permutation endo-scind´ee sont les modules "exceptionnels" apparaissant pour un 2-groupe de quaternions g´en´eralis´es.<br/><br/>In modular representation theory, endo-permutation modules occupy an important position. Indeed, the role that these modules play, in the analysis of the structure of some particular simple modules for finite p-nilpotent groups, induced E. Dade, in 1978, to give them their current name. A few years later, L. Puig proved that the source of any simple module for any finite psolvable group is an endo-permutation module. More recently, the occurrence of endo-permutation modules has also been noticed in the local analysis of splendid equivalences between derived categories and in the study of fusion systems. We consider the following situation. Given a prime number p, a finite pgroup P and an algebraically closed field k of characteristic p, we are looking for all finitely generated indecomposable capped endo-permutation kP-modules. That is, all finitely generated indecomposable kP-modules such that their endomorphism algebra is a permutation kP-module having a trivial direct summand. Then, we define an equivalence relation on the set of all isomorphism classes of such modules, and it turns out that the tensor product (over k) induces a structure of abelian group on this set. We call this group the Dade group of P. Hence, classifying all indecomposable finitely generated capped endo-permutation kPmodules is equivalent to determining the Dade group of P. At present, the Dade group of an arbitrary finite p-group is still unknown. However, E. Dade computed the Dade group of all finite abelian p-groups, in 1978 already. The first part of this doctoral thesis is concerned with the problem of the classification in the general case and solve it in the case of two families of finite p-groups, namely the metacyclic p-groups, for an odd prime number p, and the extraspecial 2-groups of the shape D8 _· · ·_D8. These two choices have been motivated by the fact that these groups are not far from being abelian. Moreover, some general results concerning the Dade group of arbitrary finite p-groups suggest that the Dade group of the groups belonging to these two families is easier to study. In the second part of this thesis, we have been looking at two particular occurrences of these modules in representation theory of finite groups which motivate the interest of their classification. Thus, we realised endo-permutation modules as sources of simple modules. In particular, it turns out that, in case p is an odd prime, any indecomposable module whose class in the Dade group is a torsion element is the source of some simple module. Finally, we considered all the modules we know at present and determined which ones have an endo-split permutation resolution. We could then conclude that all but the "exceptionnal" modules occurring in the generalized quaternion case have an endo-split permutation resolution.<br/><br/>"Module d?endo-permutation" n?est pas le nom d?une maladie exotique contagieuse (du moins pas `a ma connaissance), comme vous pourriez peut-?etre l?imaginer si vous faites partie des personnes qui croient que le titre de docteur n?est destin´e qu?aux m´edecins. Dans ce cas, il se peut que le sujet dont il est question ici vous cause quelques naus´ees et r´eveille de douloureux souvenirs d?´ecole, car un module d?endo-permutation est un objet math´ematique, alg´ebrique, plus pr´ecis´ement. Ce concept a ´et´e introduit il y a un quart de si`ecle, de l?autre c?ot´e de l?Atlantique, et il s?est r´ev´el´e su_samment int´eressant pour qu?aujourd?hui il ait franchi bien des fronti`eres, celles de l?alg`ebre y compris. Mais de quoi s?agit-il ? Si vous entendez le terme "endo-permutation" probablement pour la premi`ere fois, ce n?est certainement pas le cas pour celui de "module". Cependant, sa d´efinition dans le pr´esent contexte ne co¨ýncide avec aucune de celles figurant dans les dictionnaires ordinaires. Les personnes qui ont d´ej`a entendu parler de Frobenius, Burnside, Schur, ou encore Brauer, pourront vous dire qu?un module est une repr´esentation. "De quoi ?" vous demanderezvous. "Un spectacle de marionnettes, peut-?etre ?" Bien s?ur que non ! Un module d?endo-permutation est une repr´esentation particuli`ere de certains groupes finis, o`u un groupe n?est pas un groupe de rock, comme vous pouvez vous en douter, mais d´esigne un objet math´ematique connu par tous les ´etudiants en sciences au terme de leur premi`ere ann´ee universitaire (en th´eorie, du moins). La "popularit´e" de la notion de groupe, fini ou non, est due au fait que les groupes sont fr´equemment utilis´es, aussi bien dans le domaine abstrait des math´ematiques, que dans le monde r´eel des physiciens, chimistes et autres biologistes (pour ne citer qu?eux). "Mais comment peut-on utiliser concr`etement ces objets invisibles ?" vous demanderez-vous alors. Et bien, justement, en les consid´erant par l?interm´ediaire de leurs repr´esentations, c?est-`a-dire en leur associant des matrices, de fa¸con plus ou moins naturelle. Or, comme il y a "beaucoup trop" de matrices pour un groupe donn´e, elles sont classifi´ees selon certaines de leurs propri´et´es, ce qui permet de les r´epertorier dans diverses familles (celle des modules d?endo-permutation, par exemple). Un groupe est ainsi rendu "concret", car les donn´ees matricielles sont manipulables par tous les scienti- fiques (et leurs ordinateurs), qui peuvent alors les utiliser dans leurs recherches, afin de contribuer au progr`es de la science. En toute franchise, c?est bien loin de ces soucis terre-`a-terre que ce travail de th`ese sur la classification des modules d?endo-permutation a ´et´e accompli. En fait, quitte `a choquer certaines ?ames sensibles, sa r´ealisation est surtout due au caract`ere ´epicure de son auteur, qui, avouons-le, en a ´et´e pleinement satisfait !

Legendarius per circulum anni, pars.

Légendier disposé dans l'ordre du calendrier liturgique du 20 juillet au 25 novembre et contenant les saints suivants: ss. Margarita, Maria Magdelene, Jacobus major ap., Stephanus, Laurentius, Hippolytus, assumptio b. Mariae, Bartholomaeus, Augustinus, Johannes Baptista, Aegidius, nativitas b. Mariae, Gorgonius, Protus et Hyacinthus, exaltatio s. Crucis, Euphemia, Matthaeus, Mauritius, Cosmas et Damianus, Michael archangelus, Hieronymus, Leodegarius, Dionysius, Lucas, Simon et Judas, Martinus, Caecilia, Clemens, Catharina. F. 1-130. Legendarius. F. 1-3v. "... passio sancte Margarete virginis"; cf. B.H.L. n° 5306. F. 3v-6v. "... vita sancte Marie Magdalene" [ODO Cluniacensis abbas, sermo 2, excerptum] (P.L. 133, 714B-719C); cf. B.H.L. n° 5440. F. 6v-8v. "... passio sancti Jacobi [majoris] apostoli" incomplet des lignes finales par lacune matérielle, à partir de "decollandi erant dixit [Jacobus...]" [Virtutes apostolorum, de s. Jacobo majore] (Mombritius, 2a ed., II, 37-40 lig. 15); cf. B.H.L. n° 4057; C.A.N.T. n° 272. F. 9-12. "Inventio sancti Stephani prothomartyris" [LUCIANUS presbyter, interprete AVITO presbytero Bracarensi ]. "Domino venerabili Nimpsio [sic] episcopo... [Julianus exponctué et corrigé en] Lucianus... Revelationem que mihi ostensa est...-... aperire dignatus est..." recensio mixta suivie d'un court épilogue: "Bovem appellatum... declarata sunt"; cf. C.P.L. n° 575; B.H.L. Suppl. n° 7851n (E. Vanderlinden, Rev. des études byzantines, IV, 1946, 190-216, version A'; ne fait pas partie des mss. recensés pour l'édition). F. 12-16. "... passio sancti [Sixti et sancti] Laurentii". "In illo tempore Decius Caesar et Valerianus prefectus jusserunt...-... participati sunt omnes"; cf. B.H.L. Suppl. n° 7801 avec var. incipit et n° 4754. F. 16-18. "... passio sancti Ypoliti et sociorum ejus". "Egressus itaque Ypolitus post tercium diem...-... vivere male et regnare cum Christo "; cf. B.H.L. n° 3961 avec var. incipit et explicit. F. 18-31. "... [sermo] beati Ieronimi in assumptione sancte Virginis" [PASCHASIUS RADBERTUS, De Adsumptione b. Mariae] (C.C.C.M., LVI C 109-162; édité aussi parmi les apocryphes de saint Jérôme, P.L., XXX, 126-147); cf. C.P.L. n° 633, ep. 9 (18-29). F. 29-31. Addition contemporaine : "In vigilia assumptionis beate Marie legatur: Secundum Lucam (Lc 11, 27). [M]agne devocionis et fidei...-... ubera que suxisti" [BEDA, In Lc, l. IV, excerptum] divisé en trois paragraphes, correspondant sans doute à trois leçons (P.L., XCII, 479 C-480 B; C.C.S.L., CXX, 236-237 lig. 213-244) (29). — "Sermo iste legatur in nativitate beate Marie virginis"; cf. infra f. 56v. "[A]pprobate consuetudinis est apud christianos...-... pacta cessare" [FULBERTUS CARNOTENSIS, sermo 4] incomplet de la fin qui a été laissée en blanc (P.L. CXLI, 320-324 A; J.M. Canal, dans Rech. théol. anc. méd., XXX (1963), 56-61 lig. 168); ne fait pas partie des mss. répertoriés par J.M. Canal, ibid., XXIX (1962), 36-37; division marginale en neuf, puis en trois fois trois leçons; en marge du titre, une note difficilement lisible identifie l'auteur: "sermo Fulberti ep. Carnotensis" (29v-31). F. 32-35. "... vita [sic pro passio] sancti Bartholomei apostoli" [Virtutes apostolorum, de s. Bartholomaeo]; cf. B.H.L. Suppl. n° 1002a; C.A.N.T. n° 259. F. 35-49v. "[Vita s.] Augustini episcopi", sans prologue [POSSIDIUS]. "Ex provincia affricana civitate...-... perfruar"; cf. B.H.L. n° 785; C.P.L. n° 358 (35-49a lig. 7); suivi de la liste des livres de s. Augustin dans l'ordre des Retractations : "Libros vero quod edidit hic breviter enumerare vel annotare non omissi. Et hoc indicium librorum omnium sancti Augustini. Contra paganos achademicos [sic] libri III. De beata vita liber I. De ordine sacro libri II. De soliloquiis...-... et gratia liber. Requievit autem... V. kal. septembris..." (C.C.S.L., LVII (1984), 1-4, var.); texte proche du ms. lat. 5276, ff. 136v-137, répertorié par A. Wilmart, Miscellanea Agostiniana, Roma, 1931, 157 (Testi e studi, 2) (49a lig. 7-49v). F. 49v-52v. "Inventio capitis sancti Johannis Baptiste"; cf. B.H.L. n° 4296 (49v-51). — "De translatione ejusdem [Angeriacum]"; cf. B.H.L. n° 4297 (51-52v). F. 52v-56v. "... vita sancti Egidii"; cf. B.H.L. n° 93. F. 56v-59v. "De nativitate sancte Marie". "Petis a me petitiunculam opere...-... prefationem habuisse"; cf. B.H.L. Suppl. n° 5345 (56v a-b lig. 27) ; suivi de: "Petitis a me...-... scribi potuerunt. Igitur beata et gloriosissima semper virgo Maria..-... docuerunt Dominum..." (éd. parmi les apocryphes de s. Jérôme, P.L., XXX, 2a ed., 307-317); cf. B.H.L. n° 5344-5343; C.P.L., n° 633, ep. 50 (56v b lig. 27-59v). L'attribution à Paschase Radbert des deux lettres regroupées en une seule faite par C. Lambot, dans Rev. bénéd., XLVI (1934), 271-282, est réfutée par R. Beyers, dans Rev. Théol. et Philos., CXXII (1990), 171-188. Voir sa nouv. éd. dans CC Apocrypha, 10. F. 59v-61v. "Passio sancti Gorgonii [et Dorothei]; cf. B.H.L. n° 3617. F. 61v-62. "[Passio ss.] Prothi et Jacincti"; cf. B.H.L. n° 6977. F. 62-63v. "De exaltatione sancte Crucis". "Tempore illo postquam Constantino Augusto contra Maxentium..."; cf. B.H.L. n° 4178, avec var. incipit. F. 64-68v. "[Passio s.] Eufemie virginis". "Quinto persecutionis anno Diocletiani...-... Completum est autem martyrium... Prisco proconsule Europe..."; cf. B.H.L. n° 2709, avec var. explicit. F. 68v-72v. "[Passio] sancti Mathei apostoli" [Virtutes apostolorum, de s. Jacobo majore]; cf. C.A.N.T. n° 270; B.H.L. n° 5690, avec var. explicit de l'épilogue: "Zaroes autem...-... passio eorum ostendit". F. 72v-76. "[Passio s.] [Marcii corrigé en] Mauricii con [sic] sociis suis" [s. EUCHERIUS LUGDUNENSIS] sans le prologue; cf. B.H.L. n° 5738; C.P.L. n° 490. F. 76-79v. "[Passio ss.] Cosme et Damiani"; cf. B.H.L. Suppl. n° 1975. F. 79v-80. "[In festivitate s.] Michaelis archangeli". "Angelorum quippe et hominum naturam...-... medicina Dei." [GREGORIUS MAGNUS, Hom. in Ev., 34, excerptum]; C.P.L. n° 1711 (P.L., LXXVI, 1249 C-1251 A, §§ 6, fin-9 début) divisé en 8 paragraphes; une interpolation a été ajoutée dans la marge inférieure du f. 79v par une main contemporaine qui a également numéroté les paragraphes en IX leçons, le texte ajouté formant la lectio IIa : "[N]ovem esse angelorum ordines ad Dei judicia...-... principantur."; il s'agit d'un court extrait du sermon Legimus in ecclesiasticis historiis édité par J. E. Cross, dans Traditio, 33 (1977), 108-109 lig. 41-47 (Beda, Homilia subditia 71, P.L., XCIV, 453 C); cf. C.P.P.M., I, 4046. F. 80-82v. "[Vita s.] Jeronimi presbiteri". "Hieronimus noster [corrigé en: presbiter] in oppido Stridonis...-... etatis sue anno in Domino requievit cui..." extraits de la Vie apocryphe de Gennadius (P.L., XXII, 175-184, passim, avec var.); cf. C.P.L. n° 623; B.H.L. n° 3869; Lambert, B.H.M., IIIA, 630 (80-81b lig. 26); suivi du miracle du lion extrait de la Vie du Ps. Sebastianus Casinensis: "Contigit autem hujusmodi miraculum in monasterio... Quadam namque die ingens leo... - asserendo narrantur" (P.L., XXII, 210 lig. 11-213 lig. 11); cf. C.P.L. n° 622; B.H.L. n° 3872 avec var. incipit; Lambert, B.H.M., IIIA, 630 (81b lig. 26-82v). F. 82v-88v. "[Vita s.] Leodegarii". "Igitur sanctus Leodegarius ex progenie...-... postmodum cecum. ... adnecteret opera ibidem" [URSINUS LOGOGIACENSIS] sans le prologue et incomplet de la fin (C.C.S.L., CXVII, 589-632 lig. 14, avec var.); cf. C.P.L. n° 1079a; B.H.L. n° 4851; suivi d'un court extrait omis à sa place plus haut dans le texte: "Deinde vero ire ceperunt... Dei opera ibidem" (ed. cit., 631 § 31 lig. 3-7). F. 88v-98. "[Passio] sancti Dyonisii martyris", texte incomplet par suite de la perte de 2 ff. entre les ff. 96 et 97, le texte s'arrête à "...fideliter adhe[-rebat]" et reprend à "[Domitia-]no per tres Cesares..." (P.L., CVI, 23-40 C et 48 A-50); cf. B.H.L. n° 2175. F. 98-100v. "[Laudatio s.] Luce evvangeliste". "Gloriosus igitur evvangelista Jhesu Christi Lucas natione Syrus...-... ubique confluunt qui ..." [PAULUS DIACONUS, hom. 59] incomplet du prologue (P.L., XCV, 1530-1535, avec var.); cf. B.H.L. n° 4974, d'après ce ms. F. 100v-106. "[Passio ss.] Symonis et Jude apostolorum" avec l'épilogue [ABDIAS, Virtutes Simonis et Judae Thaddaei]; cf. B.H.L. n° 7750-7751; C.A.N.T. n° 284. F. 106-107v. "[Laudatio] sancti Martini archiepiscopi" [ALCUINUS, De vita s. Martini, pars I]; cf. B.H.L. n° 5625. — GREGORIUS TURONENSIS, De virtutibus s. Martini; cf. B.H.L. n° 5618; seule l'adresse du prologue, introduite par une initiale filigranée, a été copiée au bas du f. 107v, col. b: "Domnis sanctis et in Christi amore dulcissimis fratribus... Gregorius peccator", le texte lui-même manque, soit en raison de la perte du cahier suivant, soit qu'il n'ait pas été copié. F. 108-115v. "[Passio s.] Cecilie virginis et martyris"; cf. B.H.L. Suppl. n° 1495a. F. 115v-118v. "[Passio s.] Clementis pape". [Prologus] "Postquam igitur beatus Petrus apostolus in Antiochia cathedram... -... passio secuta est"; cf. B.H.L. Suppl. n° 1849, d'après ce ms. (115v-116a, lig. 11); — "Tunc sanctus Clemens romane ecclesie episcopus disciplinam...-... Cersone Licie provincie"; C.P.L. n° 2177; B.H.L. n° 1848 (Mombritius, 2a ed., I, 341-344, var. à l'incipit et à l'explicit); suivi de: "Oremus fratres ut Dominus... participes. Per..." (116a, lig. 11-118v). F.118v-130. "[Passio] sancte Katerine virginis et martyris"; cf. B.H.L. n° 1663, sans le prologue. F. 130-130v. Additions. Table des saints contenus dans le volume, XIVe s. (130). — Prière latine en 10 strophes de deux vers, XVe s.: "Jhesu tue matris prece ab Orci me serva nece...-... ab inferi atris" (130v).

Modelagem e controle de um microveículo aéreo: uma aplicação de estabilidade robusta com a técnica backstepping em uma estrutura hexarrotor

In this Thesis, the development of the dynamic model of multirotor unmanned aerial vehicle with vertical takeoff and landing characteristics, considering input nonlinearities and a full state robust backstepping controller are presented. The dynamic model is expressed using the Newton-Euler laws, aiming to obtain a better mathematical representation of the mechanical system for system analysis and control design, not only when it is hovering, but also when it is taking-off, or landing, or flying to perform a task. The input nonlinearities are the deadzone and saturation, where the gravitational effect and the inherent physical constrains of the rotors are related and addressed. The experimental multirotor aerial vehicle is equipped with an inertial measurement unit and a sonar sensor, which appropriately provides measurements of attitude and altitude. A real-time attitude estimation scheme based on the extended Kalman filter using quaternions was developed. Then, for robustness analysis, sensors were modeled as the ideal value with addition of an unknown bias and unknown white noise. The bounded robust attitude/altitude controller were derived based on globally uniformly practically asymptotically stable for real systems, that remains globally uniformly asymptotically stable if and only if their solutions are globally uniformly bounded, dealing with convergence and stability into a ball of the state space with non-null radius, under some assumptions. The Lyapunov analysis technique was used to prove the stability of the closed-loop system, compute bounds on control gains and guaranteeing desired bounds on attitude dynamics tracking errors in the presence of measurement disturbances. The controller laws were tested in numerical simulations and in an experimental hexarotor, developed at the UFRN Robotics Laboratory

On Clifford subalgebras, spacetime splittings and applications

Z(2)-gradings of Clifford algebras are reviewed and we shall be concerned with an alpha-grading based on the structure of inner automorphisms, which is closely related to the spacetime splitting, if we consider the standard conjugation map automorphism by an arbitrary, but fixed, splitting vector. After briefly sketching the orthogonal and parallel components of products of differential forms, where we introduce the parallel [orthogonal] part as the space [time] component, we provide a detailed exposition of the Dirac operator splitting and we show how the differential operator parallel and orthogonal components are related to the Lie derivative along the splitting vector and the angular momentum splitting bivector. We also introduce multivectorial-induced alpha-gradings and present the Dirac equation in terms of the spacetime splitting, where the Dirac spinor field is shown to be a direct sum of two quaternions. We point out some possible physical applications of the formalism developed.

Geometrical logarithmic and trigonometric hypercomplex functions of quaternionic type

Quaternionic theory has greatly been developed in recent years [1-12]. Thus, in our view, the study of trigonometric and logarithmic type quaternionic functions is important for the determination and realization of a hyper complex theory. In this paper, we intend to give a geometrical foundation for both logarithmic and trigonometric hyper complex functions based on the exponential function of quaternionic type recently introduced by Borges, Marão and Machado in their paper entitled Geometrical octonions II: Hyper regularity and hyper periodicity of the exponential function appearing. © 2011 Pushpa Publishing House.