Il moto browniano in finanza

In questo lavoro si presenta il fenomeno fisico nominato moto browniano, s’illustra il modello matematico atto a descriverlo e si analizza come questo abbia avuto notevole importanza in ambito finanziario, in particolare nell’elaborazione del modello di Black, Scholes e Merton per la valutazione dei derivati.

Impact of Black-Scholes assumptions on Delta Hedging

In this work we are going to evaluate the different assumptions used in the Black- Scholes-Merton pricing model, namely log-normality of returns, continuous interest rates, inexistence of dividends and transaction costs, and the consequences of using them to hedge different options in real markets, where they often fail to verify. We are going to conduct a series of tests in simulated underlying price series, where alternatively each assumption will be violated and every option delta hedging profit and loss analysed. Ultimately we will monitor how the aggressiveness of an option payoff causes its hedging to be more vulnerable to profit and loss variations, caused by the referred assumptions.

Metodi di Fourier per la valutazione dei derivati finanziari

Questa tesi affronta uno dei principali argomenti trattati dalla finanza matematica: la determinazione del prezzo dei derivati finanziari. Esistono diversi metodi per trattare questo tema, ma in particolare vengono illustrati i metodi che usano la trasformata di Fourier. Questi ultimi infatti ci permettono di sostituire il calcolo dell'attesa condizionata scontata, con il calcolo dell'integrale della trasformata di Fourier, in quanto la funzione caratteristica, cioè la trasformata di Fourier della funzione densità, è più trattabile rispetto alla funzione densità stessa. Vengono in primo luogo analizzate alcune importanti formule di valutazione e successivamente implementate, attraverso il software Mathematica. I modelli di riferimento utilizzati per l'implementazione sono il modello di Black-Scholes e il modello di Merton.

Il Moto Browniano Matematico

Nella tesi viene presentata la definizione assiomatica del moto browniano, che ha le sue basi nella teoria della probabilità, come risulta naturale, essendo il moto browniano l'immagine macroscopica che emerge dallo spostamento casuale di una particella che si muove in uno spazio d-dimensionale senza compiere salti eccessivamente grandi. Perciò preliminarmente si propone la descrizione dello spazio di probabilità in cui si lavora, in particolare si costruisce una misura di probabilità, detta misura di Wiener. Quindi si dà prova dell'effettiva esistenza del moto browniano attraverso due diverse argomentazioni, che fanno riferimento l’una a Paley e Wiener, l'altra a Lévy. Nel primo caso la costruzione del moto browniano è basata sull'utilizzo di variabili aleatorie complesse con distribuzione gaussiana e di serie convergenti in L^2 e adopera risultati della teoria delle serie di Fourier; nel secondo caso il moto browniano è costruito come limite uniforme di funzioni continue. Infine si analizzano le principali caratteristiche matematiche del moto browniano, in particolare le proprietà di continuità Holder, di non monotonia e di non differenziabilità.

Costruzione del moto browniano

Il moto browniano è un argomento estremamente importante nella teoria della probabilità ed è alla base di molti modelli matematici che studiano fenomeni aleatori, in ambiti come la biologia, l'economia e la fisica. In questa tesi si affronta il problema dell'esistenza del moto browniano con un approccio differente rispetto a quello più tradizionale che utilizza il Teorema di estensione di Kolmogorov e il Teorema di continuità di Kolmogorov-Chentsov. Verranno presentate due costruzioni diverse. Con la prima, detta di Lévy-Ciesielski, si otterrà il moto browniano come limite di una successione di processi stocastici continui definiti ricorsivamente. Con la seconda, il moto browniano verrà costruito tramite la convergenza in legge di passeggiate aleatorie interpolate e riscalate, mediante il cosiddetto principio di invarianza di Donsker. Grazie a quest'ultima costruzione si potrà in particolare definire la misura di Wiener.

Metodi di approssimazione saddlepoint ed applicazioni finanziarie

I metodi saddlepoint studiati nella tesi permettono di approssimare la densità di una variabile aleatoria a partire dalla funzione generatrice dei cumulanti (ricavabile dalla funzione caratteristica). Integrando la densità saddlepoint si ottiene la formula di Lugannani-Rice (e ulteriori generalizzazioni) per approssimare le probabilità di coda. Quest'ultima formula è stata poi applicata in ambito finanziario per il calcolo del prezzo di un'opzione call rispetto a vari modelli (Black-Scholes, Merton, CGMY)e in ambito assicurativo per calcolare la probabilità che il costo totale dei sinistri in una polizza non superi una certa quota fissata.

Sulla Frontiera Libera del Problema con Ostacolo per l'Opzione Put Americana

In questa tesi vengono presentate le prime semplici proprietà della Frontiera Libera relativa alla soluzione del Problema con Ostacolo per l'Operatore di Black & Scholes nel caso dell'Opzione Put Americana. Si ricavano inoltre le cosiddette Equazioni Integrali per la Frontiera Libera, ossia un sistema di equazioni in forma integrale che caratterizzano completamente tale insieme.

Proprietà asintotiche della volatilità implicita

Nella seguente tesi sono state illustrate alcune proprietà della volatilità implicita, una variabile molto importante nell'ambito finanziario, che viene utilizzata nella formula di Black & Scholes per ottenere il prezzo osservato; infatti essendo il prezzo dell'opzione una funzione invertibile della volatilità ad ogni prezzo quotato dell'opzione corrisponde un unico valore della volatilità, detta appunto volatilità implicita.

FX modelling under collateralization

We present the market practice for interest rate yield curves construction and pricing interest rate derivatives. Then we give a brief description of the Vasicek and the Hull-White models, with an example of calibration to market data. We generalize the classical Black-Scholes-Merton pricing formulas, considering more general cases such as perfect or partial collateral, derivatives on a dividend paying asset subject to repo funding, and multiple currencies. Finally we derive generic pricing formulae for different combinations of cash flow and collateral currencies, and we apply the results to the pricing of FX swaps and CCS, and we discuss curve bootstrapping.

Equazioni differenziali stocastiche backward

Questo elaborato si pone come obiettivo l’introduzione e lo studio di due strumenti estremamente interessanti in Analisi Stocastica per le loro applicazioni nell’ambito del controllo ottimo stocastico e, soprattutto (per i fini di questo lavoro), della finanza matematica: le equazioni differenziali stocastiche backward (BSDEs) e le equazioni differenziali stocastiche forward-backward (FBSDEs). Innanzitutto, la trattazione verterà sull’analisi delle BSDEs. Partendo dal caso lineare, perfettamente esplicativo dei problemi di adattabilità che si riscontrano nella definizione di soluzione, si passerà allo studio delle BSDEs non lineari con coefficienti Lipschitziani, giungendo, in entrambe le situazioni, alla prova di risultati di esistenza e unicità della soluzione. Tale analisi sarà completata con un’indagine sulle relazioni che persistono con le PDEs, che porterà all’introduzione di una generalizzazione della formula di Feynman-Kac e si concluderà, dopo aver introdotto le FBSDEs, con la definizione di un metodo risolutivo per queste ultime, noto come Schema a quattro fasi. Tali strumenti troveranno applicazione nel quinto e ultimo capitolo come modelli teorici alla base della Formula di Black-Scholes per problemi di prezzatura e copertura di opzioni.

Derivats financers al mercat espanyol: el Model de Black-Scholes i corbes de volatilitat per opcions sobre l'índex niniIBEX-35

El nostre treball es centrarà en conèixer i aprendre les nocions bàsiques del mercat financer espanyol, primer; i aplicar uns coneixements per veure si es verifica unahipòtesi plantejada, després. La incògnita que volem resoldre és la següent: comprovarsi tots els supòsits i resultats que faciliten els models teòrics emprats en l’estudi dels mercats financers a l’hora de la veritat es compleixen.D’entre els múltiples conceptes que ens proporcionen els estudis de mercatsfinancers ens centrarem sobretot en el model de Black-Scholes i els somriures devolatilitat per desenvolupar el nostre treball. Després de cercar les dades necessàries a través de la web del M.E.F.F., entrevistar-nos amb professionals del sector i fer un seguiment d’aproximadament dos mesos dels moviments de les opcions sobre l’Índex Mini-Íbex 35, amb l’ajuda d’un programa informàtic en llenguatge C, hem calculat les corbes de volatilitat de les opcions sobre l’Índex Mini-Íbex 35.Les conclusions més importants que hem extret són que el Model de Black-Scholes, malgrat va revolucionar el món dels mercats financers, està basat en 2 supòsits que no es compleixen a la realitat: la distribució lognormal del preu de les accions i unavolatilitat constant. Tal i com hem pogut comprovar, la corba de volatilitat de lesopcions sobre l’Índex Mini-Íbex 35 és decreixent amb el preu d’exercici i laMoneyness, tal i com sostenen les teories dels somriures de volatilitat; per tant, no és constant. A més, hem comprovat que a mesura que s’apropa el venciment d’una opció,el preu acordat de l’actiu subjacent a l’opció s’apropa al preu de mercat.

Local volatility changes in the black-scholes model

In this paper we address a problem arising in risk management; namely the study of price variations of different contingent claims in the Black-Scholes model due to anticipating future events. The method we propose to use is an extension of the classical Vega index, i.e. the price derivative with respect to the constant volatility, in thesense that we perturb the volatility in different directions. Thisdirectional derivative, which we denote the local Vega index, will serve as the main object in the paper and one of the purposes is to relate it to the classical Vega index. We show that for all contingent claims studied in this paper the local Vega index can be expressed as a weighted average of the perturbation in volatility. In the particular case where the interest rate and the volatility are constant and the perturbation is deterministic, the local Vega index is an average of this perturbation multiplied by the classical Vega index. We also study the well-known goal problem of maximizing the probability of a perfect hedge and show that the speed of convergence is in fact dependent of the local Vega index.

Option valuation as an expectation in the complex domain: The Black-Scholes case

It is very well known that the first succesful valuation of a stock option was done by solving a deterministic partial differential equation (PDE) of the parabolic type with some complementary conditions specific for the option. In this approach, the randomness in the option value process is eliminated through a no-arbitrage argument. An alternative approach is to construct a replicating portfolio for the option. From this viewpoint the payoff function for the option is a random process which, under a new probabilistic measure, turns out to be of a special type, a martingale. Accordingly, the value of the replicating portfolio (equivalently, of the option) is calculated as an expectation, with respect to this new measure, of the discounted value of the payoff function. Since the expectation is, by definition, an integral, its calculation can be made simpler by resorting to powerful methods already available in the theory of analytic functions. In this paper we use precisely two of those techniques to find the well-known value of a European call

Option valuation as an expectation in the complex domain: The Black-Scholes case

It is very well known that the first succesful valuation of a stock option was done by solving a deterministic partial differential equation (PDE) of the parabolic type with some complementary conditions specific for the option. In this approach, the randomness in the option value process is eliminated through a no-arbitrage argument. An alternative approach is to construct a replicating portfolio for the option. From this viewpoint the payoff function for the option is a random process which, under a new probabilistic measure, turns out to be of a special type, a martingale. Accordingly, the value of the replicating portfolio (equivalently, of the option) is calculated as an expectation, with respect to this new measure, of the discounted value of the payoff function. Since the expectation is, by definition, an integral, its calculation can be made simpler by resorting to powerful methods already available in the theory of analytic functions. In this paper we use precisely two of those techniques to find the well-known value of a European call