Metodi perturbativi per E.D.P e applicazioni in finanza matematica

In questa tesi si discute di alcuni modelli di pricing per opzioni di tipo europeo e di opportuni metodi perturbativi che permettono di trovare approssimazioni soddisfacenti dei prezzi e delle volatilità implicite relative a questi modelli.

A moment symbolic representation of Lévy processes with applications

By using a symbolic method, known in the literature as the classical umbral calculus, a symbolic representation of Lévy processes is given and a new family of time-space harmonic polynomials with respect to such processes, which includes and generalizes the exponential complete Bell polynomials, is introduced. The usefulness of time-space harmonic polynomials with respect to Lévy processes is that it is a martingale the stochastic process obtained by replacing the indeterminate x of the polynomials with a Lévy process, whereas the Lévy process does not necessarily have this property. Therefore to find such polynomials could be particularly meaningful for applications. This new family includes Hermite polynomials, time-space harmonic with respect to Brownian motion, Poisson-Charlier polynomials with respect to Poisson processes, Laguerre and actuarial polynomials with respect to Gamma processes , Meixner polynomials of the first kind with respect to Pascal processes, Euler, Bernoulli, Krawtchuk, and pseudo-Narumi polynomials with respect to suitable random walks. The role played by cumulants is stressed and brought to the light, either in the symbolic representation of Lévy processes and their infinite divisibility property, either in the generalization, via umbral Kailath-Segall formula, of the well-known formulae giving elementary symmetric polynomials in terms of power sum symmetric polynomials. The expression of the family of time-space harmonic polynomials here introduced has some connections with the so-called moment representation of various families of multivariate polynomials. Such moment representation has been studied here for the first time in connection with the time-space harmonic property with respect to suitable symbolic multivariate Lévy processes. In particular, multivariate Hermite polynomials and their properties have been studied in connection with a symbolic version of the multivariate Brownian motion, while multivariate Bernoulli and Euler polynomials are represented as powers of multivariate polynomials which are time-space harmonic with respect to suitable multivariate Lévy processes.

Disuguaglianza puntuale di Doob

In questa tesi si dimostra la disuguaglianza puntuale di Doob e si spiega perché è importante nell'ambito della finanza matematica

Un modello di asset allocation strategica

La tesi affronta il problema di Finanza Matematica dell'asset allocation strategica che consiste nel processo di ripartizione ottimale delle risorse tra diverse attività finanziarie presenti su un mercato. Sulla base della teoria di Harry Markowitz, attraverso passaggi matematici rigorosi si costruisce un portafoglio che risponde a dei requisiti di efficienza in termini di rapporto rischio-rendimento. Vengono inoltre forniti esempi di applicazione elaborati attraverso il software Mathematica.

Opzioni asiatiche in modelli discreti

In questa tesi si cerca di fornire un quadro generale sulle Opzioni Asiatiche dandone prima una descrizione in termini economici e successivamente una classificazione matematica più rigorosa. Nel primo capitolo vengono presentati strumenti matematici e finanziari indispensabili per affrontare la comprensione dell'argomento centrale: vengono esposti i concetti di derivato e di strategia d'arbitraggio ed inoltre viene mostrato il modello di mercato a tempo discreto; in particolar modo viene descritto il modello binomiale come esempio di mercato completo. Nel secondo capitolo viene fatta una breve introduzione sulle Opzioni Esotiche di cui sono un particolare esempio le Opzioni Asiatiche, le quali vengono successivamente classificate e descritte più dettagliatamente. Infine nel terzo capitolo viene introdotto il problema della valutazione e della copertura di un'Opzione Asiatica, trattando una particolare tecnica utilizzata nei modelli di mercato discreti di tipo binomiale, la tecnica ad albero, che viene poi applicata ad un esempio reale.

Le opzioni americane nel modello binomiale

Studio delle opzioni Americani e dell’utilizzo del modello ad albero binomiale per risolvere a livello pratico i problemi legati a tali strumenti finanziari. Dopo una breve introduzione sulla nascita e la diffusione della Finanza Matematica e dei principali argomenti di studio, nel primo capitolo vengono esposti i concetti chiave della materia e vengono analizzati i primi problemi legati all'utilizzo delle opzioni. Il capitolo successivo affronta in modo analitico e rigoroso il tema delle opzioni Americane concentrandosi sulla risoluzione teorica di copertura, valutazione e strategia ottimale. Infine vengono descritte le modalità con cui il modello binomiale consente nella pratica la risoluzione delle suddette problematiche. Sono esposti in appendice i requisiti matematici necessari per una buona comprensione dell’elaborato.

Metodi di Fourier per la valutazione dei derivati finanziari

Questa tesi affronta uno dei principali argomenti trattati dalla finanza matematica: la determinazione del prezzo dei derivati finanziari. Esistono diversi metodi per trattare questo tema, ma in particolare vengono illustrati i metodi che usano la trasformata di Fourier. Questi ultimi infatti ci permettono di sostituire il calcolo dell'attesa condizionata scontata, con il calcolo dell'integrale della trasformata di Fourier, in quanto la funzione caratteristica, cioè la trasformata di Fourier della funzione densità, è più trattabile rispetto alla funzione densità stessa. Vengono in primo luogo analizzate alcune importanti formule di valutazione e successivamente implementate, attraverso il software Mathematica. I modelli di riferimento utilizzati per l'implementazione sono il modello di Black-Scholes e il modello di Merton.

Convergenza di martingale

In questo lavoro di tesi sono stati presentati alcuni concetti sulla teoria delle martingale, un processo stocastico dipendente dal tempo. Nel primo capitolo si studiano le prime proprietà delle martingale, ponendo particolare attenzione per il valore atteso condizionato. Nel secondo capitolo si analizza la convergenza delle martingale negli spazi L^p e nel caso particolare dello spazio L^1, richiamando alcuni importanti teoremi di convergenza di Doob. Infine è stata studiata un'applicazione delle martingale alla Finanza Matematica: i moti browniani.

Metodi statistici a variabili latenti per lo studio di fenomeni finanziari

Negli ultimi decenni il concetto di variabile latente ha riscosso un enorme successo nelle discipline statistiche come attestano i numerosi lavori scientifici presenti in letteratura. In particolare, nelle scienze sociali e in psicometria, l’uso del concetto di variabile latente è stato largamente adottato per far fronte al problema di misurare quantità che, in natura, non possono essere direttamente osservate. La vasta letteratura riguardante questa metodologia si espande, in maniera più limitata, anche al campo della ricerca economica ed econometrica. Nonostante esistano studi di modelli a struttura latente applicati a variabili di tipo economico, molto pochi sono i lavori che considerano variabili finanziarie e, finora, praticamente nessun ricercatore ha messo in connessione la teoria standard di portafoglio con la metodologia dei modelli statistici a variabili latenti. L’obiettivo del lavoro è quello di ricorrere alle potenzialità esplicative ed investigative dei metodi statistici a variabili latenti per l’analisi dei fenomeni finanziari. Si fa riferimento, in particolare, ai modelli a classe latente che consentono di sviluppare soluzioni metodologicamente corrette per importanti problemi ancora aperti in campo finanziario. In primo luogo, la natura stessa delle variabili finanziarie è riconducibile al paradigma delle variabili latenti. Infatti, variabili come il rischio ed il rendimento atteso non possono essere misurate direttamente e necessitano di approssimazioni per valutarne l’entità. Tuttavia, trascurare la natura non osservabile delle variabili finanziarie può portare a decisioni di investimento inopportune o, talvolta, addirittura disastrose. Secondariamente, vengono prese in considerazione le capacità dei modelli a classi latenti nel contesto della classificazione. Per i prodotti finanziari, infatti, una corretta classificazione sulla base del profilo (latente) di rischio e rendimento rappresenta il presupposto indispensabile per poter sviluppare efficaci strategie di investimento. Ci si propone, inoltre, di sviluppare un collegamento, finora mancante, tra uno dei principali riferimenti della finanza moderna, la teoria classica del portafoglio di Markowitz, e la metodologia statistica dei modelli a variabili latenti. In questo contesto, si vogliono investigare, in particolare, i benefici che i modelli a variabili latenti possono dare allo studio di ottimizzazione del profilo rischio - rendimento atteso di un portafoglio di attività finanziarie. Lo sviluppo di numeri indici dei prezzi delle attività finanziarie caratterizzati da una solida base metodologica rappresenta un ulteriore aspetto nel quale i modelli a classe latente possono svolgere un ruolo di fondamentale importanza. In particolare, si propone di analizzare il contesto dei numeri indici dei prezzi settoriali, che costituiscono uno dei riferimenti più importanti nelle strategie di diversificazione del rischio. Infine, il passaggio da una specificazione statica ad una analisi dinamica coglie aspetti metodologici di frontiera che possono essere investigati nell’ambito dei modelli markoviani a classi latenti. Il profilo latente di rischio – rendimento può essere, così, investigato in riferimento alle diverse fasi dei mercati finanziari, per le quali le probabilità di transizione consentono valutazioni di tipo previsivo di forte interesse.

Metodi di approssimazione saddlepoint ed applicazioni finanziarie

I metodi saddlepoint studiati nella tesi permettono di approssimare la densità di una variabile aleatoria a partire dalla funzione generatrice dei cumulanti (ricavabile dalla funzione caratteristica). Integrando la densità saddlepoint si ottiene la formula di Lugannani-Rice (e ulteriori generalizzazioni) per approssimare le probabilità di coda. Quest'ultima formula è stata poi applicata in ambito finanziario per il calcolo del prezzo di un'opzione call rispetto a vari modelli (Black-Scholes, Merton, CGMY)e in ambito assicurativo per calcolare la probabilità che il costo totale dei sinistri in una polizza non superi una certa quota fissata.

Statistica degli eventi rari nei sistemi dinamici

La teoria dei sistemi dinamici studia l'evoluzione nel tempo dei sistemi fisici e di altra natura. Nonostante la difficoltà di assegnare con esattezza una condizione iniziale (fatto che determina un non-controllo della dinamica del sistema), gli strumenti della teoria ergodica e dello studio dell'evoluzione delle densità di probabilità iniziali dei punti del sistema (operatore di Perron-Frobenius), ci permettono di calcolare la probabilità che un certo evento E (che noi definiamo come evento raro) accada, in particolare la probabilità che il primo tempo in cui E si verifica sia n. Abbiamo studiato i casi in cui l'evento E sia definito da una successione di variabili aleatorie (prima nel caso i.i.d, poi nel caso di catene di Markov) e da una piccola regione dello spazio delle fasi da cui i punti del sistema possono fuoriuscire (cioè un buco). Dagli studi matematici sui sistemi aperti condotti da Keller e Liverani, si ricava una formula esplicita del tasso di fuga nella taglia del buco. Abbiamo quindi applicato questo metodo al caso in cui l'evento E sia definito dai punti dello spazio in cui certe osservabili assumono valore maggiore o uguale a un dato numero reale a, per ricavare l'andamento asintotico in n della probabilità che E non si sia verificato al tempo n, al primo ordine, per a che tende all'infinito.

Teorema di Radon-Nikodym e Statistica

Il presente elaborato vuole illustrare alcuni risultati matematici di teoria della misura grazie ai quali si sono sviluppate interessanti conseguenze nel campo della statistica inferenziale relativamente al concetto di statistica sufficiente. Il primo capitolo riprende alcune nozioni preliminari e si espone il teorema di Radon-Nikodym, sulle misure assolutamente continue, con conseguente dimostrazione. Il secondo capitolo dal titolo ‘Applicazioni alla statistica sufficiente’ si apre con le definizioni degli oggetti di studio e con la presentazione di alcune loro proprietà matematiche. Nel secondo paragrafo si espongono i concetti di attesa condizionata e probabilità condizionata in relazione agli elementi definiti nel paragrafo iniziale. Si entra nel corpo di questo capitolo con il terzo paragrafo nel quale definiamo gli insiemi di misura, gli insiemi di misura dominati e il concetto di statistica sufficiente. Viene qua presentato un importante teorema di caratterizzazione delle statistiche sufficienti per insiemi dominati e un suo corollario che descrive la relativa proprietà di fattorizzazione. Definiamo poi gli insiemi omogenei ed esponiamo un secondo corollario al teorema, relativo a tali insiemi. Si considera poi l’esempio del controllo di qualità per meglio illustrare la nozione di statistica sufficiente osservando una situazione più concreta. Successivamente viene introdotta la nozione di statistica sufficiente a coppie e viene enunciato un secondo teorema di caratterizzazione in termini di rapporto di verosimiglianza. Si procede quindi ad un confronto tra questi due tipi di sufficienza. Tale confronto viene operato in due situazioni differenti e porta a risultati diversi per ogni caso. Si conclude dunque l’elaborato marcando ancora l’effettiva bontà di una statistica sufficiente in termini di informazioni contenute al suo interno.

WebApp per l'apprendimento della matematica attraverso esercizi di statistica

L’obiettivo di questa tesi è lo studio e la realizzazione di un gioco sotto forma di WebApp, fruibile da device mobili. Il gioco è stato pensato per proporre esercizi di statistica ad un target di utenti specifico, che è quello degli studenti delle scuole medie, così da supportarli nell’approccio e nell’esercizio di questo tipo di argomento. Questo gioco sarà integrato all'interno di un serious games più articolato e completo che possa contenere diverse tipologie di giochi matematici. In particolare, è stata realizzata una WebApp funzionante sia come software singolo, sia come tipologia di gioco integrabile all’interno di una macro-applicazione.