Ornstein-Uhlenbeck operator in convex domains of Banach spaces

Studiamo l'operatore di Ornstein-Uhlenbeck e il semigruppo di Ornstein-Uhlenbeck in un sottoinsieme aperto convesso $\Omega$ di uno spazio di Banach separabile $X$ dotato di una misura Gaussiana centrata non degnere $\gamma$. In particolare dimostriamo la disuguaglianza di Sobolev logaritmica e la disuguaglianza di Poincaré, e grazie a queste disuguaglianze deduciamo le proprietà spettrali dell'operatore di Ornstein-Uhlenbeck. Inoltre studiamo l'equazione ellittica $\lambdau+L^{\Omega}u=f$ in $\Omega$, dove $L^\Omega$ è l'operatore di Ornstein-Uhlenbeck. Dimostriamo che per $\lambda>0$ e $f\in L^2(\Omega,\gamma)$ la soluzione debole $u$ appartiene allo spazio di Sobolev $W^{2,2}(\Omega,\gamma)$. Inoltre dimostriamo che $u$ soddisfa la condizione di Neumann nel senso di tracce al bordo di $\Omega$. Questo viene fatto finita approssimazione dimensionale.

I numeri trascendenti nella storia

L'origine e lo sviluppo del concetto di numero trascendente attraversano quasi tutta la storia della matematica ed i risultati più importanti si sono ottenuti solo in tempi relativamente recenti. I numeri trascendenti costituiscono un argomento che ha sempre affascinato i matematici ma fino a poco tempo fa, in una prospettiva di epoche storiche, si conoscevano pochissimi esempi di numeri di cui si sapesse dimostrare la trascendenza. La dimostrazione della trascendenza di pi greco mette fine ai tentativi di risolvere per via elementare la quadratura del cerchio, uno dei problemi classici dell'antichità. Scopo di questa tesi è presentare delle dimostrazioni di esistenza dei numeri trascendenti utilizzabili anche a scopo didattico e dimostrare la trascendenza del numero di Nepero e di pi greco. Ho deciso, inoltre, nel mio lavoro di tesi, di ripercorrere le tappe principali dell'evoluzione storica del concetto di numero trascendente ed ho analizzato quelle che oltre ad essere di grande importanza storica, sono utili ad una migliore comprensione del concetto stesso. La presentazione di queste tappe può essere molto importante, a mio parere, da un punto di vista didattico in quanto i testi di matematica mostrano quasi sempre concetti e teoremi come entità assolute e immutabili, inserite nei giorni nostri, senza fare riferimento al contesto storico ed umano in cui le idee sono nate.

Apprendimento della probabilità: un approccio per livelli

In questa tesi si presenta uno studio sull'apprendimento della probabilità e la relativa sperimentazione fatta su 4 classi, due terze alla fine del primo ciclo d'istruzione, una prima e una seconda di liceo scientifico. Utilizzando le proprietà elaborate dai coniugi Van Hiele per costruire dei livelli di apprendimento della geometria, sono stati stilati dei livelli di apprendimento della probabilità e l'obiettivo del progetto è di confermarli ed eventualmente correggerli. Gli studenti sono stati sottoposti ad un breve test ed in seguito a delle interviste in coppia, per cercare nel loro dialogo alcuni ''indicatori'' che permettessero di inquadrare ogni studente in un livello di apprendimento. Dalle interviste sono state estrapolate prima le strategie risolutive, ovvero i procedimenti che gli studenti usano per risolvere un problema, poi delle ''categorie di pensiero'', il modo in cui gli studenti pensano a situazioni in ambito probabilistico ed, infine, i livelli di apprendimento, corretti e rielaborati secondo i risultati ottenuti.

L'insegnamento della Trigonometria nella Scuola Secondaria

Lo scopo di questa tesi è quello di verificare il livello di conoscenza riguardo alla trigonometria negli studenti del 4 anno della Scuola Secondaria di II grado e in quelli iscritti al primo anno del corso di studi in Matematica. Per analizzare al meglio le conoscenze che dovrebbero avere gli studenti, è stato osservato come affrontano questo argomento i libri di testo della scuola e quelli universitari. Sono stati osservati anche gli esercizi proposti dai libri, gli obiettivi di apprendimento e le indicazioni nazionali previste dal ministero.

L'operatore del calore

Nell'elaborato si introduce l'operatore del calore e le funzioni caloriche mostrandone alcuni esempi. Di seguito si deduce la soluzione fondamentale dell'operatore H evidenziandone alcune importanti proprietà. Si procede, poi, con l'introduzione dell'Identità di Green per l'operatore del calore e da questa si ricava la formula di media per le funzioni caloriche. Grazie a tale formula di media si evidenzia una cruciale proprietà delle funzioni caloriche: la loro regolarità C-infinito. Di seguito si deduce un'espressione migliorata per la formula di media calorica avente come vantaggio quello di avere un nucleo limitato. Si procede, quindi, mostrando alcune conseguenze dell'espressione migliorata dimostrata: si ricava, infatti, in modo diretto la disuguaglianza di Harnack e il principio di massimo forte. L'elaborato procede, poi, con lo studio del problema di Cauchy relativo all'operatore del calore. Infine si analizzano i teoremi di Liouville per le funzioni caloriche.

Classificazione delle galassie: caratteristiche morfologiche, fotometriche e cinematiche

In questo elaborato viene trattata la classificazione delle galassie ellittiche e a spirale. Per quanto riguarda gli aspetti morfologici viene in primo luogo esposta la sequenza di Hubble e in seguito tutte le sue declinazioni. Dopodichè viene svolta la parte che tratta gli aspetti fotometrici, ovvero i profili di brillanza delle galassie con le eventuali formule. Infine vengono considerate le caratteristiche cinematiche , trattando le curve di rotazione, che sono fondamentali per comprendere la dinamica delle galassie.

Il protocollo "BB84" per la distribuzione quantistica delle chiavi

Il fine di questa tesi è quello di arrivare a formulare il problema della distribuzione delle chiavi crittografiche e discutere la soluzione offerta dalla crittografia quantistica. Con la descrizione dei più importanti cifrari classici e in particolare con la dimostrazione dell'inviolabilità del cifrario di Vernam vengono definiti i punti del problema. Seguono delle basi di meccanica quantistica, fondamentali per presentare il protocollo BB84, cuore della tesi, primo protocollo di distribuzione quantistica delle chiavi. Se ne dimostra infine la sicurezza incondizionata.

Discalculia: includere attraverso la didattica in classe

Perché uno studente, con quoziente intellettivo nella media, che ha buoni voti in tutte le materie, colleziona insuccessi in matematica? Si può trattare di difficoltà di apprendimento passeggere su un dato argomento, può essere un atteggiamento negativo nei confronti della materia o può trattarsi di discalculia. L'insegnante di matematica deve essere preparato ad individuare le possibili cause dell'insuccesso scolastico degli studenti e ad attuare le strategie didattiche che migliorino il più possibile il suo percorso scolastico. Nel mio elaborato ho riportato una sintesi delle leggi che hanno condotto la scuola italiana ad orientarsi in una prospettiva sempre più inclusiva. In particolare ho riportato la legge 170 del 2010, la prima che definisce i disturbi dell'apprendimento, e la direttiva Bes del 2012, che amplia ancora di più l'area delle problematiche scolastiche. Partendo da una distinzione tra disturbo e difficoltà nell'apprendimento, ho trattato poi in particolare la discalculia, dal punto di vista didattico e riportando le sue definizioni nel corso del tempo. Tra le difficoltà ho citato invece la Matofobia o Math Anxiety. Una paura della matematica ereditata, un'eredità trasmessa però attraverso l'ambiente in cui si cresce e non dai geni. Infine ipotizzando delle lezioni in una classe di seconda superiore in cui sono presenti studenti con discalculia, ho realizzato un'unità didattica dal titolo "Le rette nel piano cartesiano". Per la sua realizzazione ho pensato all'utilizzo del software geogebra e del lavoro in gruppi, per promuovere l'apprendimento attraverso la scoperta e il ragionamento logico, piuttosto che la memorizzazione di formule e la loro mera applicazione. Ho concluso il mio elaborato riportando delle riflessioni su come i docenti si attivano in presenza di uno studente con certificazione di dsa e sul rapporto tra scuola e famiglie, riflessioni tratte da alcune interviste fatte ai referenti per i dsa in diverse scuole della Romagna.

La Teoria dei Giochi: alcuni esempi

Nella tesi inizialmente ho introdotto qualche nozione principale della teoria dei giochi; in seguito ho analizzato e approfondito l'equilibrio di Nash attraverso degli esempi come il dilemma del prigioniero. Ho studiato qualche tipologia di gioco come l'induzione a ritroso e infine nell'ultimo capitolo ho inserito tre esempi che possono essere studiati e affrontati con l'equilibrio di Nash.

Proprietà topologiche e controesempi

In questa tesi ho approfondito il significato di alcune proprietà topologiche, considerando degli esempi che mi hanno permesso di capire qual è il loro limite. Innanzitutto ho scritto un breve excursus sulla storia della topologia, poi ho riportato definizioni e proposizioni di base per poter studiare l'argomento, e infine mi sono soffermata sugli esempi: seno del topologo, cerchio di Varsavia e spazio a pettine. L'esempio del seno del topologo permette di distinguere la differenza fra connessione e connessione per archi; il cerchio di Varsavia mostra che le proprietà di connessione e connessione per archi globali non implicano le rispettive proprietà locali; infine grazie allo spazio a pettine si può mostrare la differenza fra retratto per deformazione e retratto forte per deformazione.

Adjoint Functors

Lo scopo di questa tesi è presentare la nozione di "aggiunzione". Tale concetto, una volta definito, viene dapprima studiato in astratto, mostrando le conseguenze derivanti dalla sua definizione, e successivamente vengono dati degli esempi provenienti da diverse aree della matematica per sottolineare l’ubiquità della situazione descritta.

Il metodo delle potenze per il problema agli autovalori generalizzato

Gli autovalori giocano un ruolo fondamentale in moltissimi fenomeni fisici. La localizzazione degli autovalori di una certa matrice nel piano complesso, ad esempio, è fondamentale nello studio della stabilità degli aerei. Le frequenze delle vibrazioni dei fasci sono sostanzialmente gli autovalori di una matrice di dimensione infinita. Questo rende il calcolo degli autovalori un problema notevolmente importante. Tra i metodi iterativi noti per l'approssimazione degli autovalori vi è il metodo delle potenze, utilizzato per il calcolo dell'autovalore dominante (autovalore di modulo massimo) di una matrice data e del relativo autovettore associato. Affinchè l'algoritmo converga è necessario che ci sia un autovalore dominante e, in particolare, più l'autovalore dominante è staccato dal resto dello spettro, maggiore sarà la sua velocità di convergenza. Il metodo delle potenze e le sue varianti (metodo delle potenze inverse e metodo delle potenze inverse shiftate) sono molto usati nelle applicazioni, in cui spesso non si è interessati ad approssimare tutti gli autovalori dello spettro, ma solo alcuni. Le equazioni del moto in dinamica strutturale, problemi di ingegneria strutturale e problemi relativi all'informatica (come l'algoritmo di PageRank di Google) sono solo alcuni esempi di applicazioni possibili di tale metodo.

Il principio dei lavori virtuali

La tesi tratta del principio dei lavori virtuali.

I funtori Tor e Ext

Dopo alcuni risultati preliminari di algebra commutativa, la tesi introduce e sviluppa lo studio del funtore di tensorizzazione e del funtore Hom, e dei loro derivati Tor e Ext su moduli generici e con esempi di calcolo su Z.

Gli automorfismi del campo dei numeri complessi

L'elaborato tratta degli automorfismi del campo dei numeri complessi C; in particolare analizza tre proprietà fondamentali. 1) Gli automorfismi "selvaggi" fissano Q e mandano R\Q in un sottoinsieme denso di C 2) Ogni automorfismo di un sottocampo di C può essere esteso ad un automorfismo di C 3) La cardinalità dell'insieme degli automorfismi di C è 2^{2^{\aleph_0}}. Per dimostrare l'ultimo punto sono necessari prerequisiti relativi alle basi di trascendenza, prerequisiti che sono esposti nella prima parte della tesi.