Il metodo delle potenze per il problema agli autovalori generalizzato

Gli autovalori giocano un ruolo fondamentale in moltissimi fenomeni fisici. La localizzazione degli autovalori di una certa matrice nel piano complesso, ad esempio, è fondamentale nello studio della stabilità degli aerei. Le frequenze delle vibrazioni dei fasci sono sostanzialmente gli autovalori di una matrice di dimensione infinita. Questo rende il calcolo degli autovalori un problema notevolmente importante. Tra i metodi iterativi noti per l'approssimazione degli autovalori vi è il metodo delle potenze, utilizzato per il calcolo dell'autovalore dominante (autovalore di modulo massimo) di una matrice data e del relativo autovettore associato. Affinchè l'algoritmo converga è necessario che ci sia un autovalore dominante e, in particolare, più l'autovalore dominante è staccato dal resto dello spettro, maggiore sarà la sua velocità di convergenza. Il metodo delle potenze e le sue varianti (metodo delle potenze inverse e metodo delle potenze inverse shiftate) sono molto usati nelle applicazioni, in cui spesso non si è interessati ad approssimare tutti gli autovalori dello spettro, ma solo alcuni. Le equazioni del moto in dinamica strutturale, problemi di ingegneria strutturale e problemi relativi all'informatica (come l'algoritmo di PageRank di Google) sono solo alcuni esempi di applicazioni possibili di tale metodo.