Sulla teoria delle frazioni continue

La tesi si propone di fornire una introduzione completa ai fondamenti della teoria delle frazioni continue (numeriche). Questo da' adito anche alla illustrazione e alla soluzione di vari problemi specialmente nell'ambito della teoria dei numeri che, in vari modi, si rifanno alle frazioni continue.

Storia e sviluppo del concetto di limite: fra matematica, filosofia e didattica

La letteratura mostra come siano innumerevoli le difficoltà e gli ostacoli nell'apprendimento del concetto di limite: la ricerca è volta ad ipotizzare un possibile aiuto e supporto alla didattica con l'utilizzo della storia della matematica relativa al concetto di limite.

Analisi combinatoria dei parchi d'attrazioni

Da oltre mezzo secolo i parchi di divertimento sono strutture complesse e altamente organizzate, entro cui si muovono migliaia di persone quotidianamente; in cui l'elettrificazione, la manutenzione, la sicurezza (sia come safety sia come security) non possono essere lasciate all'improvvisazione. Fra i diversi modelli matematici con cui è possibile rappresentare un parco di divertimenti i grafi si adattano bene a rappresentare l'organizzazione "geografica" delle attrazioni e dei sentieri che le collegano. Fortunatamente la teoria dei grafi si presta anche molto bene all'impostazione e risoluzione dei problemi di ottimizzazione, fornendo quindi uno strumento privilegiato per miglioramenti strutturali nella direzione sia del risparmio economico, sia della fruizione ottimale delle strutture. In questa tesi ho analizzato un aspetto particolare dei grafi associati a quattro parchi d'attrazione: le distanze reciproche tra attrazioni e in particolare la collocazione dei "centri", cioè di vertici del grafo per cui la massima distanza da altri vertici sia minima. I calcoli sono stati eseguiti adattando un'implementazione esistente in Matlab dell'algoritmo di Dijkstra, utilizzando in ingresso le matrici di adiacenza dei grafi. Dopo un capitolo dedicato ai richiami essenziali di teoria dei grafi, il capitolo due traccia una breve storia dei parchi d'attrazione concentrandosi sui quattro che sono l'oggetto di questo studio. Il terzo capitolo, fulcro teorico della tesi, descrive la sperimentazione riportata nel capitolo quattro.

Topologia dei complessi simpliciali casuali

La presente tesi si propone di fornire un breve compendio sulla teoria dei complessi casuali, ramo di recente sviluppo della topologia algebrica applicata. Nell'illustrare i risultati più significativi ottenuti in tale teoria, si è voluto enfatizzare le modalità che permettono di affrontare con strumenti probabilistici lo studio delle proprietà topologiche ed algebriche dei complessi casuali.

Il teorema dei numeri primi

In questa tesi si vede una dimostrazione elementare del teorema dei numeri primi. Dopo aver definito le funzioni aritmetiche di Tchebychev theta e psi, si utilizzano le loro proprietà per studiare il comportamento asintotico della funzione di Mertens e infine di pi(x). Inoltre si mostrano alcuni legami tra la zeta di Riemann e la teoria dei numeri e cenni ad altre dimostrazioni del teorema dei numeri primi.

Analisi topologico-computazionale della perfusione di tessuti in tomografia computerizzata

Lo scopo di questa tesi è quello di presentare l'applicazione di tecniche legate alla Teoria di Taglia a un problema di analisi di immagini biomediche. Il lavoro nasce dalla collaborazione del gruppo di Matematica della Visione dell'Università di Bologna, con il progetto PERFECT del Centro di Ricerca ARCES. La tesi si pone quindi come analisi preliminare di approccio alternativo ai metodi preesistenti. I metodi sono principalmente di Topologia Algebrica Applicata, ambito emergente e rilevante nel mondo della Matematica Computazionale. Il nucleo dell'elaborazione è costituito dall'analisi di forma dei dati per mezzo di Funzioni di Taglia. Questa nozione è stata introdotta nel 1999 da Patrizio Frosini e in seguito sviluppata principalmente dallo stesso, Massimo Ferri, Claudia Landi e altri collaboratori appartenuti al Gruppo di Ricerca di Matematica della Visione dell'Università di Bologna.

'Sensate esperienze' e 'necessarie dimostrazioni': Una proposta di insegnamento della cinematica

La matematica è un’attività umana che sembra non lasciare indifferente quasi nessuno: alcuni rimangono affascinati dalla sua ‘magia’, molti altri provano paura e rifiutano categoricamente persino di sentirla nominare. Spesso, non solo a scuola, si percepisce la matematica come un’attività distaccata, fredda, lontana dalle esigenze del mondo reale. Bisognerebbe, invece, fare in modo che gli studenti la sentano come una risorsa culturale importante, da costruire personalmente con tempo, fatica e soddisfazione. Gli studenti dovrebbero avere l’opportunità di riflettere sul senso di fare matematica e sulle sue potenzialità, attraverso attività che diano spazio alla costruzione autonoma, alle loro ipotesi e alla condivisione delle idee. Nel primo capitolo, a partire dalle difficoltà degli studenti, sono analizzati alcuni studi sulla straordinaria capacità della matematica di organizzare le nostre rappresentazioni del mondo che ci circonda e sull’importanza di costruire percorsi didattici incentrati sulla modellizzazione matematica. Dalla considerazione di questi studi, è stato elaborato un progetto didattico, presentato nel secondo capitolo, che potesse rappresentare un’occasione inconsueta ma significativa per cercare di chiarire l’intreccio profondo tra matematica e fisica. Si tratta di una proposta rivolta a studenti all’inizio del secondo biennio in cui è prevista una revisione dei problemi della cinematica attraverso le parole di Galileo. L’analisi di documenti storici permette di approfondire le relazioni tra grandezze cinematiche e di mettere in evidenza la struttura matematica di tali relazioni. Le scelte che abbiamo fatto nella nostra proposta sono state messe in discussione da alcuni insegnanti all’inizio della formazione per avere un primo riscontro sulla sua validità e sulle sue potenzialità. Le riflessioni raccolte sono state lo spunto per trarre delle considerazioni finali. Nelle appendici, è presente materiale di lavoro utilizzato per la progettazione e discussione del percorso: alcuni testi originali di Aristotele e di Galileo, le diapositive con cui la proposta è stata presentata agli studenti universitari e un esempio di protocollo di costruzione di Geogebra sul moto parabolico.

Sulla precisazione matematica delle scoperte astronomiche nel corso dei secoli: gli esempi dei satelliti di Giove e dei pianeti Urano e Nettuno

Dai Sumeri a Galileo lo studio dei cinque pianeti conosciuti era stato effettuato ad occhio nudo e aveva consentito di comprendere le modalità del loro moto. Con Galileo gli strumenti tecnologici sono posti a servizio della scienza, per migliorare le prestazioni dei sensi umani. La ricerca subisce così una netta accelerazione che porta, nell'arco di soli tre secoli, alla scoperta dei satelliti di Giove e dei pianeti Urano e Nettuno. Quest'ultima è considerata il trionfo della matematica perché effettuata esclusivamente con lunghi e complessi calcoli.

Storia, sviluppi e applicazioni dei logaritmi.

Scopo della tesi è la trattazione dei logaritmi a partire dalla storia di quest'ultimi, al loro sviluppo, fino ad arrivare alle diverse applicazioni dei logaritmi in svariate discipline. La tesi è strutturata in quattro capitoli, nel primo dei quali si parte analizzando quali istanze teoriche e necessità pratiche abbiano preparato la strada all'introduzione dei logaritmi. Vengono riportati alcuni passi del testo più importante dedicato da Nepero ai logaritmi, Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio, la modifica ad opera di Henry Briggs e la diffusione dei logaritmi in gran parte dell' Europa. Nel secondo capitolo viene evidenziato il legame tra i logaritmi e la geometria dell'iperbole per poi passare alla trattazione dei primi studi sulla curva logaritmica. Nel terzo capitolo viene esaminata la controversia tra Leibniz e Bernoulli sul significato da attribuire ai logaritmi dei numeri negativi soffermandosi su come Eulero uscì da una situazione di stallo proponendo una teoria dei logaritmi dei numeri complessi. Nel quarto ed ultimo capitolo vengono analizzati i diversi utilizzi della scala logaritmica ponendo soprattutto l'attenzione sul regolo calcolatore, arrivando infine a mostrare le applicazioni dei logaritmi in altre discipline.

Alle origini dei logaritmi

Scopo della tesi è illustrare l'origine della nozione di logaritmo nei suoi primi decenni dalla nascita, partendo dalle opere di J. Napier (Nepero, 1550-1617) fino a B. Cavalieri (1598-1647), che insieme a J. Keplero (1571-1630) concludono la cosiddetta età pioneristica. Nel primo capitolo sono esposti alcuni mezzi di calcolo usati nel XVI secolo, come i "bastoncini di Nepero"; e il confronto della progressione geometrica con quella aritmetica, che con la conoscenza delle leggi esponenziali, porterà all'invenzione dei logaritmi. Il secondo capitolo è dedicato interamente a Napier (fatto salvo un cenno all'opera di Burgi), con lo scopo di illustrare i suoi due maggiori trattati sui logaritmi: il primo fu sostanzialmente una tavola di numeri da lui inizialmente chiamati "numeri artificiali" e successivamente definiti "logaritmi"; il secondo, curato e pubblicato dal figlio, è un trattato nel quale giustifica il nuovo concetto da lui ottenuto ed i metodi usati per il calcolo delle tavole. Con Henry Briggs (capitolo III) la teoria del logaritmo giunge a maturazione. Egli stesso definì una propria funzione logaritmica Bl_1 che, in seguito, mutò dopo un paio di incontri con Napier. Nelle tavole di Briggs il logaritmo da lui introdotto avrà base 10 e il logaritmo di 1 sarà nullo, definendo così il nostro usuale logaritmo decimale. Nel quarto capitolo mi occupo della diffusione in Italia e in Germania delle nozioni di logaritmo, da parte, rispettivamente di B. Cavalieri e J. Keplero. Cavalieri scrisse parecchio sui logaritmi, pubblicando anche proprie tavole, ma non sembra che abbia raggiunto risultati di grande rilevanza nel campo, tuttavia seppe usare la teoria dei logaritmi in campo geometrico giungendo a formule interessanti. La parte storica della tesi si conclude con alcune notizie sul contributo di Keplero e la diffusione della nozione dei logaritmi neperiani in Germania. La mia esposizione si conclude con qualche notizia sull'uso dei logaritmi e sul regolo calcolatore dalla fine del XIX secolo fin verso gli anni ’70 del secolo scorso.

L'irrazionalità. Un caso di studio sull'uso della storia nella trasmissione del sapere matematico.

L’impiego della storia della matematica è auspicato oggi più di ieri dalle attuali Indicazioni nazionali per i Licei ed è supportato da numerosi quadri teorici,che traghettano la storia della matematica dalle rive dell’essere artefatto all’essere conoscenza. In particolare nel secondo paragrafo del primo capitolo di questa tesi vengono presentati gli ostacoli epistemologici di Guy Brousseau, l’approccio socio-culturale di Louis Radford, l’approccio ”voci ed echi” di Paolo Boero ed infine lo spaesamento di Barbin. Nel terzo paragrafo vengono analizzati quei contributi che mirano a rendere più operativo l’entusiasmo suscitato dall’uso della storia nell’insegnamento della matematica. Quindi il primo capitolo ha l’obiettivo di porre le basi teoriche all’uso della storia nella trasmissione del sapere matematico; pertanto ho deciso di mettere a punto una sperimentazione da condurre in una classe seconda di Liceo Scientifico avente come oggetto una fonte storica. Come argomento è stato scelto l’irrazionalità, introdotto in tale trattazione nel secondo capitolo: nel primo paragrafo viene trattato il problema della nascita dell’incommensurabilità, mentre nel secondo vengono analizzate le numerose dimostrazioni che sono state proposte nel corso dei secoli in merito all’incommensurabilità di lato e diagonale di un quadrato partendo da Aristotele ed Euclide, passando per Alessandro d’Aforisia e Platone, attraversando le dimostrazioni geometriche e quelle che sfruttano il metodo dell’anthyphairesis, per giungere ad una dimostrazione moderna che non presta il fianco alle critiche aristoteliche proposte da Salomon Ofman. Nel terzo capitolo viene presentata la sperimentazione che ho condotto, anteponendo a ciò i criteri adottati per la scelta del brano, ossia le lezione di Geometria tratta dal Menone di Platone ed un breve tributo alla figura di Platone e alla sua opera da cui è tratto il brano scelto come fonte storica. Tale capitolo è articolato in tre paragrafi: nel terzo vengono descritte dettagliatamente tutte le attività condotte in classe e vengono presentati i lavori e le risposte degli studenti. Infine, nel quarto capitolo, vengono esaminati dettagliatamente i risultati dei ragazzi alla luce dei quadri teorici precedentemente introdotti e vengono messe in luce le peculiarità dell’attività dell’argomentare e le doti e mancanze relative a ciò degli studenti.

Analisi comparata di sistemi scolastici: la matematica e il caso finlandese

Dalle rilevazioni PISA condotte dall'OCSE nel 2003, gli studenti finlandesi sono risultati i migliori in Europa in capacità di lettura e competenze matematiche. Vari esperti in didattica si sono quindi interrogati cercando quali aspetti rendessero eccellente il sistema finlandese. Altri, invece, hanno sostenuto che le prove PISA rilevassero solo alcune abilità senza tener conto delle conoscenze apprese a scuola, quindi il successo finlandese potrebbe essere dovuto al caso. Infatti nei test TIMSS, gli alunni finlandesi hanno avuto risultati mediocri. La tesi cerca di spiegare i “segreti” del sistema scolastico finlandese e di confrontarlo con la scuola italiana. Sono state osservate in loco le lezioni di matematica in alcune classi campione di una scuola finlandese all’ottavo e nono anno di scolarità. Si analizza la didattica sotto diversi punti di vista e si confrontano i libri di testo finlandesi e italiani su uno specifico argomento ritenuto di cruciale importanza: i polinomi. Si evidenzia che la differenza nei risultati delle rilevazioni non dipende tanto dalle differenze dei sistemi scolastici quanto all'impostazione culturale dei giovani finlandesi.

Cittadinanza scientifica e educazione al futuro: analisi di una sperimentazione didattica sui cambiamenti climatici in una classe quarta di liceo scientifico

Questo lavoro di tesi nasce per fornire un contributo originale alle ricerche già portate avanti dal gruppo di didattica della fisica volte a rispondere a tre principali esigenze evidenziate dai report europei: rendere la cittadinanza sempre più attiva e sensibile verso azioni di mitigazione e adattamento ai cambiamenti climatici, orientare i giovani verso professioni in settori denominati dall’acronimo STEM (Scienza, Tecnologia, Ingegneria e Matematica), colmare il divario tra le competenze possedute da chi entra nel mondo del lavoro e quelle richieste dalle aziende che operano in campo tecnologico per affrontare le sfide dello sviluppo e dell’innovazione. Per integrare le tre esigenze, il gruppo di ricerca ha avviato nell’ultimo anno una collaborazione con l’Area della Ricerca dell’Università di Bologna (ARIC) al fine di individuare modalità per fare entrare gli strumenti di progettazione noti come Project Cycle Management (PCM) e Goal Oriented Project Planning (GOPP) nelle scuole e sviluppare competenze progettuali a partire dall’analisi di tipo logico dei problemi in situazioni complesse. La collaborazione ha portato alla produzione di nuovi materiali sui cambiamenti climatici finalizzati a guidare gli studenti ad analizzare documenti di sintesi dei report dell’IPCC con tecniche di analisi per problemi e obiettivi tipiche del PCM e del GOPP e, quindi, a progettare azioni di mitigazione o adattamento. Il lavoro di tesi si colloca in questo contesto e si è concretizzato nell’analisi di una sperimentazione realizzata in una classe IV del Liceo Scientifico “A. Einstein” di Rimini tra aprile e maggio, 2015.

Introduzione alla logica e alla matematica intuizioniste

L'elaborato propone un'introduzione alla matematica intuizionista e alla sua formalizzazione. Dopo aver inquadrato storicamente il movimento e averne tratteggiato il pensiero, si approfondiscono la sintassi e la semantica ad esso associate grazie ai lavori di Heyting e Kripke, si confronta la teoria con quella classica, e si indica il legame tra la logica intuizionista e quella modale. Il capitolo conclusivo è dedicato alla costruzione dei numeri naturali e reali, con particolare attenzione alle conseguenze metodologiche del pensiero intuizionista, ai concetti originali e alle nozioni più fini in cui si suddividono alcune nozioni fondamentali della matematica tradizionale.

Matematica, musica e Doremat

Analisi storica dei legami tra matematica e musica dall'antica Grecia fino alla scala cromatica moderna. Descrizione del progetto Doremat, progetto che vede l'insegnamento della matematica con la musica, e delle analisi fatte in aula sui fattori affettivi.