Viaje a la teoría analítica de números desde un problema elemental

El trabajo que presentamos es una experiencia desarrollada por los autores y que consiste en trabajar a diferentes niveles (secundaria, bachillerato y universidad) los conceptos que, de forma natural, aparecen al utilizar la generalización como estrategia de resolución de problemas. Con esta estrategia y resolviendo problemas de los libros de texto de bachillerato, se estudian algunas propiedades de la teoría de números. Esta experiencia permite, además, realizar un trabajo interdisciplinar física-matemáticas.

Isoperímetros: el problema de los isoperímetros veinticuatro siglos después

Todo tiene un final, incluso una etapa de progreso y buen haber como este último periodo de nuestra querida suma. Emilio y Julio cumplido de sobra y pasan el testigo. Sirvan estas líneas introductoriass a nuestra también última entrega isoperimétrica para mostrarle nuestro reconocimiento. Sobresaliente, cum laude por unanimidad, amigos.

El cálculo diferencial y el problema isoperimétrico

Hemos dejado para el final aquella resolución por la que comienza la mayoría del profesorado de matemáticas: la basada en el uso del cálculo diferencial. Siempre que hemos propuesto el problema que planteábamos en la primera entrega en algún curso o seminario, la forma de abordarlo ha sido echando mano de las derivadas para la búsqueda de extremos de determinada función área. Como se habla de enmarcar un cuadro de 3 m de perímetro, siempre han comenzado pensando en formas rectangulares, por lo que el problema que se planteaban solía ser el siguiente: entre todos los rectángulos de igual perímetro P, el cuadrado de lado P/4 es el que encierra la mayor área.

Isoperímetros: el problema de la existencia de solución en el problema isoperimétrico

A lo largo de la historia han existido una serie de problemas que han intrigado, a la vez, frustrado los matemáticos de todos los tiempos. Algunos de ellos siguen sin resolverse y otros como problemas isoperimétricos del que venimos preocupándonos desde el número 33 de suma tan sencillo de enunciar y sin embargo tan difícil de demostrar, se resolvieron tras siglos de esfuerzo. Cuando decimos anterior lo hacemos teniendo muy en cuenta lo que tal afirmación significa. Es decir, resolver un problema no consiste sólo en dar una solución sino demostrar que tal solución existe. De esta cuestión nos ocupamos ahora.

El problema del dado con partidas no jugadas

El problema de los puntos, –que ya habían abordado autores, como Pacioli, Tartaglia y Cardano–, es un problema de decisión bajo incertidumbre, que motivó la correspondencia entre Pascal y Fermat en 1654. Ahora bien, en la primera carta que escribe Pascal a Fermat, introduce un nuevo problema sobre dados, también de decisión bajo incertidumbre, «el problema de las partidas no jugadas», que ha motivado el presente trabajo. Aunque más sencillo que el problema de los puntos, ambos tienen cosas en común. Fermat aportará soluciones a estos problemas basadas en la enumeración de todos los posibles resultados, lo que Pascal denomina «el método combinatorio». Al tratar de evitar las enumeraciones de todos los resultados, Pascal descubrirá lo que llamó «método universal»: la esperanza matemática. Igualmente, y a requerimientos de Pascal, Fermat, descubrirá lo que llamamos el modelo de Pascal o modelo geométrico. En el presente trabajo aplicamos estos nuevos métodos al problema de las partidas no jugadas, lo que permitirá apreciar el trabajo que desarrollaron ambos matemáticos.

El problema isoperimétrico y el cálculo de variaciones

¿cuál es el camino más corto entre dos puntos del plano? ¿Y del espacio? ¿Y sobre una superficie cualquiera? ¿Qué forma tiene el tobogán más rápido? ¿Cuál es la curva plana que encierra mayor área entre todas las que tienen una misma longitud?

El problema isoperimétrico en la arquitectura, literatura, música…, en la naturaleza

Siempre me ha interesado la historia de las matemáticas cuando la resolución de problemas ha sido su columna vertebral. Ahora que estamos en el 2000, tenemos muy presente aquella famosa lista de 23 problemas dados por Hilbert hace 100 años.

Un problema interesante: maridos engañados en un pueblo integrista

Este articulo lo presento como humilde homenaje a Rafael Montoya (profesor, matemático, ajedrecista, amigo). Nos conocimos jóvenes estudiantes, en Ceuta y compartimos durante muchos años largas horas jugando al ajedrez; resolviendo problemas de matemáticas, de ajedrez o de ingenio; preparando oposiciones; o, simplemente, charlando, conviviendo.

Explorando un problema de extremos con un programa de geometría dinámica

Este articulo ilustra cómo un problema ambiguamente formulado admite diferentes lecturas y soluciones, permitiendo así distintas aproximaciones según el nivel y las capacidades del alumno. El problema de optimización es explorado en un entorno de geometría dinámica (The Geometer's Sketchpad). Esta aproximación geométrica facilita la formulación de conjeturas y su prueba visual, allanando el camino a la prueba analítica, si ésta se considera pertinente.

El problema P-S de McCarthy y otros acertijos

Usualmente, los problemas de ingenio (puzles) han sido considerados ejemplos motivadores para la enseñanza de la programación. Muchos autores han defendido el lenguaje PROLOG como un primer acercamiento a la programación y a las ciencias de la computación.

La calculadora gráfica. Una herramienta para resolver un problema de evolución de especies

En este artículo se recoge brevemente el contenido y resultado de una experiencia llevada a cabo en clase, con un grupo de alumnos de 4.° curso de ESO. Se plantea el problema inicial de la evolución de un grupo de peces en una charco se obtiene un modelo matemático simple (la llamada función logística), que aproxima el problema, y después se estudian algunos casos interesantes de los que se obtienen diversos comportamientos, tanto regulares como caóticos.

Un problema cualquiera

Con frecuencia, al leer el encabezamiento de un artículo, el lector intenta hacerse una idea aproximada de lo que puede estar escrito bajo él, aunque no siempre coincida con lo que realmente hay. Para evitar que esto ocurra entre nosotros, y dado que el título resulta bastante genérico, trataré de introducirle con unos breves comentarios, de manera que si no se siente interesado pueda pasar al próximo artículo. Pero si es un aficionado a los problemas de pasatiempos, o le gusta entretenerse en averiguar" cómo otra gente resuelve problemas, o quiere reflexionar sobre el propio pensamiento cuando es usted el resolutor, o está preocupado en líneas generales por la enseñanza, deténgase un momento y concédame un margen de confianza. Esto quizá le pueda interesar.

La reina Dido de Cartago y el primer problema isoperimétrico conocido

Se presenta el problema original de la Reina Dido y se hace un recuento de los intentos de solución del problema isoperimétrico a lo largo de muchos siglos.

Montagem de câmaras de vigilância: o problema do balanceamento

Este relatório apresenta o estudo de duas linhas de montagem de câmaras de vigilância da empresa Bosch Security Systems, S.A. de Ovar. Numa primeira fase procedeu-se à elaboração das listas de tarefas e respectivas precedências, seguindo-se a medição de trabalho, com o intuito de se actualizarem os tempos padrão existentes. Procedeu-se à comparação dos tempos obtidos com os que se encontravam em vigor de modo a perceber as diferenças e motivos das mesmas. Numa segunda fase, realizaram-se balanceamentos para as duas linhas tendo como cenários a manutenção das duas linhas e a possibilidade da sua junção numa linha única. Analisaram-se todos os resultados e efectuou-se um levantamento do investimento necessário associado a cada um dos cenários. Realizou-se deste modo uma análise de viabilidade com vista ao apoio à decisão. Por fim, realizou-se o workshop Lean Line Design que teve como resultado a configuração física da linha final. Este projecto permitiu chegar a resultados aliciantes, com ganhos a vários níveis. Constituiu mais uma acção de melhoria da empresa, levando-a a rectificar lacunas existentes e ao cumprimento de procedimentos ergonómicos que já se encontravam definidos.

O problema da árvore de suporte de custo mínimo com restrições de peso

Nesta tese abordam-se várias formulações e diferentes métodos para resolver o Problema da Árvore de Suporte de Custo Mínimo com Restrições de Peso (WMST – Weight-constrained Minimum Spanning Tree Problem). Este problema, com aplicações no desenho de redes de comunicações e telecomunicações, é um problema de Otimização Combinatória NP-difícil. O Problema WMST consiste em determinar, numa rede com custos e pesos associados às arestas, uma árvore de suporte de custo mínimo de tal forma que o seu peso total não exceda um dado limite especificado. Apresentam-se e comparam-se várias formulações para o problema. Uma delas é usada para desenvolver um procedimento com introdução de cortes baseado em separação e que se tornou bastante útil na obtenção de soluções para o problema. Tendo como propósito fortalecer as formulações apresentadas, introduzem-se novas classes de desigualdades válidas que foram adaptadas das conhecidas desigualdades de cobertura, desigualdades de cobertura estendida e desigualdades de cobertura levantada. As novas desigualdades incorporam a informação de dois conjuntos de soluções: o conjunto das árvores de suporte e o conjunto saco-mochila. Apresentam-se diversos algoritmos heurísticos de separação que nos permitem usar as desigualdades válidas propostas de forma eficiente. Com base na decomposição Lagrangeana, apresentam-se e comparam-se algoritmos simples, mas eficientes, que podem ser usados para calcular limites inferiores e superiores para o valor ótimo do WMST. Entre eles encontram-se dois novos algoritmos: um baseado na convexidade da função Lagrangeana e outro que faz uso da inclusão de desigualdades válidas. Com o objetivo de obter soluções aproximadas para o Problema WMST usam-se métodos heurísticos para encontrar uma solução inteira admissível. Os métodos heurísticos apresentados são baseados nas estratégias Feasibility Pump e Local Branching. Apresentam-se resultados computacionais usando todos os métodos apresentados. Os resultados mostram que os diferentes métodos apresentados são bastante eficientes para encontrar soluções para o Problema WMST.