Risolubilità per radicali di equazioni polinomiali

Lo scopo di questa tesi è lo studio della risolubilità per radicali di equazioni polinomiali nel caso in cui il campo dei coefficienti del polinomio abbia caratteristica zero. Nel primo capitolo vengono richiamati i principali risultati riguardanti la teoria di Galois. Nel secondo capitolo si introducono le nozioni di gruppo risolubile e gruppo semplice analizzandone le proprietà. Nel terzo capitolo si definiscono le estensioni di campi radicali e risolubili. Viene inoltre dimostrato il teorema di Galois che mette in evidenza il legame tra gruppi risolubili ed estensioni risolubili. Infine, nell'ultimo capitolo, si applicano i risultati ottenuti al problema della risolubilità per radicali delle equazioni polinomiali dando anche diversi esempi. In particolare viene analizzato il caso del polinomio universale di grado n.

Gruppi risolubili

I gruppi risolubili sono tra gli argomenti più studiati nella storia dell'algebra, per la loro ricchezza di proprietà e di applicazioni. Questa tesi si prefigge l'obiettivo di presentare tali gruppi, in quanto argomento che esula da quelli usualmente trattati nei corsi fondamentali, ma che diventa fondamentale in altri campi di studio come la teoria delle equazioni. Il nome di tale classe di gruppi deriva infatti dalla loro correlazione con la risolubilità per formule generali delle equazioni di n-esimo grado. Si ha infatti dalla teoria di Galois che un'equazione di grado n è risolubile per radicali se e solo se il suo gruppo di Galois è risolubile. Da questo spunto di prima e grande utilità, la teoria dei gruppi risolubili ha preso una propria strada, tanto da poter caratterizzare tali gruppi senza dover passare dalla teoria di Galois. Qui viene infatti presentata la teoria dei gruppi risolubili senza far uso di tale teoria: nel primo capitolo esporrò le definizioni fondamentali necessarie per lo studio dei gruppi risolubili, la chiusura del loro insieme rispetto a sottogruppi, quozienti, estensioni e prodotti, e la loro caratterizzazione attraverso la serie derivata, oltre all'esempio più caratteristico tra i gruppi non risolubili, che è quello del gruppo simmetrico. Nel secondo capitolo sono riportati alcuni esempi e controesempi nel caso di gruppi non finiti, tra i quali vi sono il gruppo delle isometrie del piano e i gruppi liberi. Infine nel terzo capitolo viene approfondito il caso dei gruppi risolubili finiti, con alcuni esempi, come i p-gruppi, con un’analisi della risolubilità dei gruppi finiti con ordine minore o uguale a 100.

Dalla geometria con riga e compasso alla geometria con origami

Lo scopo di questo lavoro è mostrare la potenza della teoria di Galois per caratterizzare i numeri complessi costruibili con riga e compasso o con origami e la soluzione di problemi geometrici della Grecia antica, quali la trisezione dell’angolo e la divisione della circonferenza in n parti uguali. Per raggiungere questo obiettivo determiniamo alcune relazioni significative tra l’assiomatica delle costruzioni con riga e compasso e quella delle costruzioni con origami, antica arte giapponese divenuta recentemente oggetto di studi algebrico-geometrici. Mostriamo che tutte le costruzioni possibili con riga e compasso sono realizzabili con il metodo origami, che in più consente di trisecare l’angolo grazie ad una nuova piega, portando ad estensioni algebriche di campi di gradi della forma 2^a3^b. Presentiamo poi i risultati di Gauss sui poligoni costruibili con riga e compasso, legati ai numeri primi di Fermat e una costruzione dell’eptadecagono regolare. Concludiamo combinando la teoria di Galois e il metodo origami per arrivare alla forma generale del numero di lati di un poligono regolare costruibile mediante origami e alla costruzione esplicita dell’ettagono regolare.

Risolubilità delle equazioni polinomiali

Scopo di questo elaborato è studiare la risolubilità per radicali di un polinomio a coefficienti in un campo di caratteristica zero attraverso lo studio del gruppo di Galois del suo campo di spezzamento. Dopo aver analizzato alcuni risultati su gruppi risolubili e gruppi semplici, vengono studiate le estensioni radicali e risolubili. Viene inoltre dimostrato su un campo K di caratteristica zero il Teorema di Galois, che caratterizza i polinomi risolubili per radicali f a coefficienti in K attraverso la risolubilità del gruppo di Galois G(L/K), dove L è il campo di spezzamento di f. La tesi contiene anche un'esposizione sintetica del metodo introdotto da Lagrange per la risoluzione di equazioni polinomiali di cui si conosca il gruppo di Galois.

Inter-Packet Symbol Approach To Reed-Solomon FEC Codes For RTP-Multimedia Stream Protection

This paper presents an alternative Forward Error Correction scheme, based on Reed-Solomon codes, with the aim of protecting the transmission of RTP-multimedia streams: the inter-packet symbol approach. This scheme is based on an alternative bit structure that allocates each symbol of the Reed-Solomon code in several RTP-media packets. This characteristic permits to exploit better the recovery capability of Reed-Solomon codes against bursty packet losses. The performance of our approach has been studied in terms of encoding/decoding time versus recovery capability, and compared with other proposed schemes in the literature. The theoretical analysis has shown that our approach allows the use of a lower size of the Galois Fields compared to other solutions. This lower size results in a decrease of the required encoding/decoding time while keeping a comparable recovery capability. Finally, experimental results have been carried out to assess the performance of our approach compared to other schemes in a simulated environment, where models for wireless and wireline channels have been considered.

Simulación en ordenadores de una cadena completa de transmisión de mensajes binarios en códigos BCH, con decodificación para corrección de errores múltiples

La finalidad última do codificación y decodificación es conseguir que el mensaje reconstituido sea idéntico al original. Sin la teoría de códigos los mensajes binarios se caracterizan por vectores o también por polinomios con coeficientes pertenecientes al cuerpo dé Galois GF [0,l]. Sobre los conceptos de código, código lineal, código cíclico,generación polinómica de códigos, distancia, síndrome, relaciones con los elementos de un cuerpo finito, detección y corrección, etc., el mejor autor de referencia sigue siendo Peterson

Efficient information reconciliation for Continuous-Variable QKD using Non-Binary Low-Density Parity-Check Codes

We present here an information reconciliation method and demonstrate for the first time that it can achieve efficiencies close to 0.98. This method is based on the belief propagation decoding of non-binary LDPC codes over finite (Galois) fields. In particular, for convenience and faster decoding we only consider power-of-two Galois fields.

Euler characteristics and elliptic curves

Let E be a modular elliptic curve over ℚ, without complex multiplication; let p be a prime number where E has good ordinary reduction; and let F∞ be the field obtained by adjoining to ℚ all p-power division points on E. Write G∞ for the Galois group of F∞ over ℚ. Assume that the complex L-series of E over ℚ does not vanish at s = 1. If p ⩾ 5, we make a precise conjecture about the value of the G∞-Euler characteristic of the Selmer group of E over F∞. If one makes a standard conjecture about the behavior of this Selmer group as a module over the Iwasawa algebra, we are able to prove our conjecture. The crucial local calculations in the proof depend on recent joint work of the first author with R. Greenberg.

The structure of Selmer groups

The purpose of this article is to describe certain results and conjectures concerning the structure of Galois cohomology groups and Selmer groups, especially for abelian varieties. These results are analogues of a classical theorem of Iwasawa. We formulate a very general version of the Weak Leopoldt Conjecture. One consequence of this conjecture is the nonexistence of proper Λ-submodules of finite index in a certain Galois cohomology group. Under certain hypotheses, one can prove the nonexistence of proper Λ-submodules of finite index in Selmer groups. An example shows that some hypotheses are needed.

Congruences between modular forms: Raising the level and dropping Euler factors

We discuss the relationship among certain generalizations of results of Hida, Ribet, and Wiles on congruences between modular forms. Hida’s result accounts for congruences in terms of the value of an L-function, and Ribet’s result is related to the behavior of the period that appears there. Wiles’ theory leads to a class number formula relating the value of the L-function to the size of a Galois cohomology group. The behavior of the period is used to deduce that a formula at “nonminimal level” is obtained from one at “minimal level” by dropping Euler factors from the L-function.

High-speed polynomial basis multipliers over GF(2(m)) for special pentanomial.

Efficient hardware implementations of arithmetic operations in the Galois field are highly desirable for several applications, such as coding theory, computer algebra and cryptography. Among these operations, multiplication is of special interest because it is considered the most important building block. Therefore, high-speed algorithms and hardware architectures for computing multiplication are highly required. In this paper, bit-parallel polynomial basis multipliers over the binary field GF(2(m)) generated using type II irreducible pentanomials are considered. The multiplier here presented has the lowest time complexity known to date for similar multipliers based on this type of irreducible pentanomials.

Lectures in abstract algebra.

v. 1. Basic concepts.--v. 2. Linear algebra.--v. 3. Theory of fields and Galois theory.

On Selmer groups and factoring p-adic L-functions

Thesis (Ph.D.)--University of Washington, 2016-06

Properties of sparse random matrices over finite fields

Typical properties of sparse random matrices over finite (Galois) fields are studied, in the limit of large matrices, using techniques from the physics of disordered systems. For the case of a finite field GF(q) with prime order q, we present results for the average kernel dimension, average dimension of the eigenvector spaces and the distribution of the eigenvalues. The number of matrices for a given distribution of entries is also calculated for the general case. The significance of these results to error-correcting codes and random graphs is also discussed.

Some new Results for Additive Self-Dual Codes over GF(4)

* Supported by COMBSTRU Research Training Network HPRN-CT-2002-00278 and the Bulgarian National Science Foundation under Grant MM-1304/03.