Pensamiento numérico en educación secundaria obligatoria

Con el modelo presentado para caracterizar la corriente Pensamiento Numérico hemos hecho una aproximación a las estructuras numéricas que se estudian en Secundaria Obligatoria, tratando de ajustarnos al marco conceptual propuesto en el Currículo de Matemáticas. Como resultado de esta exploración se abren vias de reflexión muy sugerentes para pensar los viejos conceptos de la aritmética con ideas nuevas y potentes Los apuntes aquí presentados son una primera reflexión, explorada y desarrollada con cierto detalle, en algún caso, y sólo con ideas generales, en otros. Se trata de una línea de investigación emergente en nuestro país, con resultados contrastados en otras comunidades, que aquí proponemos a debate público y como materia de trabajo para profesores e investigadores interesados.

Errores y dificultades en procesos de representación: el caos de la generalización y el razonamiento algebraico

Al respecto de las múltiples angustias surgidas por docentes de matemáticas en formación entorno a las dificultades y errores evidenciados por estudiantes de básica segundaria y media en la construcción de pensamiento algebraico, se expone a continuación para el caso de la generalización algebraica los hallazgos logrados desde la investigación que recupera en primera instancia a manera de reseña los referentes teórico conceptuales, las definiciones pertinentes y la clasificación de las dificultades y errores en la educación matemática especialmente en el caso de algebra; de igual manera se detallan características y acuerdos conceptuales entorno a razonamiento, razonamiento algebraico; esta ponencia evidencia los presupuestos e ideales para la educación matemática y la enseñanza del algebra para finalmente establecer la relación y justificación conceptual entre: sistemas de representación (errores); las dificultades (comprensión) y razonamiento algebraico. Con la exposición de ejemplos logrados en las experiencias de aula y analizados producto del trabajo de campo en este estudio, se presenta a manera de propuesta los comentarios, reflexiones y recomendaciones que permitirán al futuro docente de matemáticas diseñar un modelo de competencia formal y cognitivo para entender y actuar en situaciones de la enseñabilidad que se dan en el entorno educativo en especial en relación al razonamiento algebraico.

Análisis de una propuesta de evaluación en relación con la estructura conceptual de la proporcionalidad

La presente propuesta es una aproximación reflexiva y critica de las prácticas evaluativas que se vienen desarrollando en la enseñanza básica y media en las instituciones de carácter privado de la ciudad de Cali, sustentada desde nuestra propia experiencia como docentes en ejercicio y estudiantes de último semestre en Licenciatura de Matemáticas y Física de la Universidad del Valle, y apoyada en el análisis de unas actividades piloto de intervención y evaluación matemática, en torno a diferentes nociones y conceptos relacionados con la estructura conceptual del tópico de proporción y proporcionalidad en los grados de séptimo de educación básica y décimo de educación media que se realizaron a fin de plantear una serie de interrogantes cruciales en torno a la evaluación, dado su carácter organizador, dinamizador y potencializador del currículo. Esta propuesta se apoyará en el marco metodológico de los organizadores del currículo, donde la evaluación es un eje fundamental en el análisis didáctico que permite la articulación y organización de un currículo significativo para los intereses de los educandos.

¿Es el agua un espejismo? algunas reflexiones desde la perspectiva de la educación matemática crítica

Teniendo en cuenta que la educación tradicional es vista como un modelo pedagógico que entre otras: i) se enfoca en desarrollar en los estudiantes conocimientos algorítmicos, ii) hace un énfasis en la ejercitación de procedimientos, iii) no tiene en cuenta el desarrollo social del individuo dentro de una comunidad y tampoco se enfoca en el proceso que tiene un estudiante al desarrollar una actividad con determinado objeto matemático; hoy en día se propende por buscar perspectivas que le permitan a los estudiantes encontrarle sentido a las actividades que el profesor lleva al aula. A la luz de lo anterior, en Colombia han surgido diversas tendencias que han buscado la renovación pedagógica, didáctica y conceptual en la educación escolar, enmarcadas –la mayoría de estas propuestas– dentro de la idea de que los estudiantes se relacionen directamente con el conocimiento, mientras que el profesor toma una postura de orientador del proceso de aprendizaje del estudiante. Teniendo en cuenta lo anterior, muchos profesores han buscado cambiar sus prácticas tradicionales de enseñanza, un ejemplo de ello lo encontramos en el colectivo de profesores de la Institución Educativa Distrital Colegio Paulo Freire de la localidad de Usme (Bogotá, Colombia); donde los profesores –en concordancia con las ideas del pedagogo Paulo Freire– comparten, como parte de su proyecto educativo, el hecho de ver a la enseñanza como un proceso que debe generar en los estudiantes una comprensión crítica de la realidad social, política y económica en la que él está inmerso.

Una propuesta para la construcción de los conceptos desigualdad e inecuación mediante el modelo de situaciones didácticas y a partir del desarrollo de la solución de problema

En la formación de estudiantes para docentes en matemáticas del proyecto curricular licenciatura en educación básica con énfasis en matemáticas (LEBEM), es importante para el desarrollo de nuestro quehacer profesional considerar aspectos relevantes que influyen en los procesos de enseñanza-aprendizaje, como lo son: las estructuras del pensamiento (en el sentido de los conocimientos previos de los estudiantes, sus dificultades, razonamientos y demás), el contexto y las situaciones de enseñanza que se proponen. Lo anterior nos llevó a reflexionar acerca de la manera en que tenemos en cuenta estos tres aspectos en el momento de diseñar un ambiente de aprendizaje, de manera que las construcciones realizadas por los estudiantes les sean significativas, lo cual implica que ellos puedan establecer conexiones con la utilidad que tiene el conocimiento en la resolución de problemas y la comprensión de fenómenos de la vida cotidiana.

Herramientas para el fortalecimiento conceptual en el desarrollo de las competencias matemáticas (IAP)

Se presenta una propuesta desarrollada en el Departamento del Magdalena, Distrito Cultural e Histórico de Santa Marta. A finales del año 2002 se hizo un análisis de los bajos resultados presentados por los estudiantes de grado Once en las diferentes pruebas aplicadas por el ICFES, específicamente en el área de Matemática durante los años 2001 y 2002. A partir de estos resultados se organizó un equipo de trabajo donde se asumió que la evaluación es un proceso continuo e integral en la enseñanza de la matemática que no solo basta dar información a diario, sino conocer realmente si los estudiantes están aprendiendo, si verdaderamente los alumnos son competentes a la hora de evaluarlos y además si se cumplen los estándares mínimos exigidos por MEN. Para lograr tal fin se diseño un plan estratégico a mediano plazo que ayuda a fortalecer los niveles de desempeño en el desarrollo de sus competencias tanto integrales ((interpretativa, argumentativa, propositiva) como básicas (la comunicación, el razonamiento y la solución de problemas), obteniéndose a partir del año 2006 resultados satisfactorios en el área.

Desarrollo del conocimiento didáctico de los futuros profesores de matemáticas: el caso de la estructura conceptual y los sistemas de representación

Presentamos los primeros resultados de un estudio exploratorio sobre el desarrollo del conocimiento didáctico de futuros profesores de matemáticas con respecto a las nociones de estructura conceptual y sistemas de representación. Estos resultados se obtuvieron al codificar y analizar las grabaciones de clase y las producciones de estudiantes del último curso de Matemáticas en una asignatura de didáctica de las matemáticas. Se encontró que las producciones y las actuaciones de los alumnos pasan por diferentes estados que permiten identificar tanto algunas dificultades, como momentos en los que surgen reorganizaciones conceptuales.

Razonamiento covariacional aplicado a la modelación de eventos dinámicos: un marco conceptual y un estudio

Se desarrolla la noción de razonamiento covariacional y se propone un marco conceptual para describir las acciones mentales involucradas al aplicar razonamiento covariacional cuando se interpretan y representan funciones asociadas a eventos dinámicos. Se reporta la habilidad para razonar sobre cantidades covariantes en situaciones dinámicas, de estudiantes de alto desempeño en un curso de cálculo. El estudio reveló que ellos eran capaces de construir imágenes de la variable dependiente de una función que cambia simultáneamente con el cambio imaginado de la variable independiente, y en algunas ocasiones eran capaces de construir imágenes de la razón de cambio para intervalos contiguos del dominio de una función. Sin embargo, al parecer, tuvieron dificultad para formar imágenes de una razón cambiante de manera continua y no pudieron representar con exactitud o interpretar los puntos de inflexión ni la razón creciente y decreciente para funciones asociadas a situaciones dinámicas. Estos hallazgos sugieren que el currículo y la instrucción deberían aumentar el énfasis en el cambio que debe darse en los alumnos de una imagen coordinada de dos variables que cambian simultáneamente a una imagen coordinada de razón de cambio instantánea con cambios continuos en la variable independiente para funciones asociadas a situaciones dinámicas.

¿Existen situaciones cotidianas cuyo modelo matemático corresponde a una función de proporcionalidad?

La enseñanza y aprendizaje de temas matemáticos como la proporcionalidad directa usualmente se realiza modelando situaciones “reales” y “cotidianas”. Los profesores de matemáticas asumimos que tales situaciones se comportan en efecto de forma proporcional, pero en la realidad su comportamiento es diferente. Ello nos lleva a la tarea de identificar en la cotidianidad de los estudiantes, situaciones que se dejen modelar a través de funciones lineales, tarea difícilmente realizable, pero altamente formativa.

Dificultades para la construcción de un modelo algebraico de segundo orden a través de sucesiones, para definir el enésimo término

Esta investigación que forma parte de las tesis de maestría, se realiza en México con estudiantes de secundaria, de edades 14-15 años. El objetivo es dar a conocer las dificultades; que a partir de un análisis comparativo, tienen los alumnos al tratar de construir una expresión algebraica de segundo orden que defina el enésimo término al usar sucesiones figurativas. Para ello, se ha estado haciendo uso de dos de sus cuatro componentes del Modelo Teórico Local [MTL] (Filloy, 1999): modelo de enseñanza y de procesos cognoscitivos. Se realiza una evaluación diagnóstica, se clasifica a la población según los distintos perfiles: alto, medio y bajo rendimiento, para observar en entrevista clínica videograbada y elaborar un reporte de observaciones acorde al esquema de desarrollo de experimentación perteneciente al MTL.

Modelos matemáticos a partir del modelo nomológico–deductivo de la explicación científica

Mostraremos a continuación la posibilidad de generar modelos matemáticos simples a partir de la explicación de un hecho físico. El marco teórico de partida es el de la explicación científica con la estructura del modelo nomológico deductivo. El uso de modelos matemáticos en este marco genera herramientas didácticas de distinto tipo, en este articulo desarrollamos brevemente el diseño de proyectos de investigación para los alumnos. El docente puede generar y luego utilizar estos proyectos de distintos modos, por ejemplo, como actividad de cierre de un curso, o también para generar una discontinuidad en el transcurso de la cursada, como actividad en paralelo que ocupe algún momento de las clases, etc.

Estructura conceptual de las razones trigonométricas

La estructura conceptual de las razones trigonométricas, como la de cualquier concepto de la matemática escolar, se caracteriza por las estructuras matemáticas involucradas, las relaciones conceptuales y las relaciones de representación. De esta manera, en esta comunicación presento el análisis sobre los hechos, conceptos y estructura conceptual del campo conceptual, y las destrezas, razonamientos y estrategias del campo procedimental de las razones trigonométricas.

Modelo matemático para la determinación de las tarifas sociales destinadas a los clientes residenciales del servicio eléctrico

Este trabajo tiene como objetivo principal mostrar, a los estudiantes de los niveles superiores, los procedimientos principales de construcción de modelos matemáticos para resolver situaciones problemáticas que se manifiestan en la realidad cotidiana en el desarrollo de una determinada actividad profesional y como objetivo específico establecer alternativas de tarifas sociales con destino a núcleos de clientes perfectamente identificados en cuanto a su calidad, por su escasa capacidad de pago, y aproximadamente delimitados en cuanto a la cantidad. Bajo la denominación de tarifa social de cualquier servicio público se entiende a aquellas tarifas que, siguiendo distintos mecanismos, se subsidian implícita o explícitamente, parcial o totalmente, para beneficiar a ciertos sectores de usuarios con un determinado fin. Para tener una herramienta de análisis que permita simular distintas escenarios con el fin de fijar los subsidios a la tarifa de los clientes residenciales y tomar decisiones al respecto, se elaboró un modelo matemático que describe esta situación. Después del análisis de validación del modelo, mediante el trazado de superficies y curvas de nivel con la ayuda del medio lógico Derive, se realizó una simulación numérica a fin de acotar los resultados posibles que satisfagan los requerimientos impuestos por la situación problemática a resolver. Finalmente se concluye el trabajo con la especificación de la tarifa social buscada.

Un modelo para caracterizar el razonamiento estadístico de estudiantes de secundaria al comparar conjuntos de datos representados mediante gráficos de caja

En este trabajo se presenta un modelo para caracterizar el razonamiento estadístico de los estudiantes al interpretar la información que es representa por el gráfico de gajas. El origen de dicho modelo se motiva en una experiencia de aula que considera y aplica los resultados obtenidos en una investigación realizada como trabajo de grado de la Maestría en Docencia de las Matemáticas y adscrita a la línea de investigación en Educación Estadística de la Universidad Pedagógica Nacional en el año 2009. Esta investigación pretende categorizar el razonamiento estadístico de un grupo de estudiantes de secundaria en un colegio público de la ciudad de Bogotá. Para obtener dicha categorización se propuso comparar conjuntos de datos representados mediante gráficos de caja. y, se empleó la teoría de clasificación conocida como taxonomía SOLO, la cual a su vez fue articulada con siete elementos de razonamiento sugeridos por los autores del presente trabajo.

Aspectos comparativos en la extensión del modelo de Van Hiele al concepto de aproximación local

En el contexto del modelo de Van Hiele, se ha llevado a cabo un estudio comparativo de dos colecciones de descriptores para el mismo concepto: El de aproximación local en su manifestación de la recta tangente a la gráfica de una curva en un punto. A partir de las visualizaciones que se obtienen de los mecanismos llamados "haz de secantes" y del "zoom", se concluye que, en efecto, el nivel de razonamiento es independiente de la forma de abordar el concepto, de ese mecanismo particular usado para acercarse al mismo.