Volcanoes of l-isogenies of elliptic curves over finite fields: the case l=3

This paper is devoted to the study of the volcanoes of l-isogenies of elliptic curves over a finite field, focusing on their height as well as on the location of curves across its different levels. The core of the paper lies on the relationship between the l-Sylow subgroup of an elliptic curve and the level of the volcano where it is placed. The particular case l = 3 is studied in detail, giving an algorithm to determine the volcano of 3-isogenies of a given elliptic curve. Experimental results are also provided.

Indicators for the characterization of discrete Choquet integrals

Ordered weighted averaging (OWA) operators and their extensions are powerful tools used in numerous decision-making problems. This class of operator belongs to a more general family of aggregation operators, understood as discrete Choquet integrals. Aggregation operators are usually characterized by indicators. In this article four indicators usually associated with the OWA operator are extended to discrete Choquet integrals: namely, the degree of balance, the divergence, the variance indicator and Renyi entropies. All of these indicators are considered from a local and a global perspective. Linearity of indicators for linear combinations of capacities is investigated and, to illustrate the application of results, indicators of the probabilistic ordered weighted averaging -POWA- operator are derived. Finally, an example is provided to show the application to a specific context.

The maximum voltage drop in an on-chip power distribution network: analysis of square, triangular and hexagonal power pad arrangements

A mathematical model of the voltage drop which arises in on-chip power distribution networks is used to compare the maximum voltage drop in the case of different geometric arrangements of the pads supplying power to the chip. These include the square or Manhattan power pad arrangement, which currently predominates, as well as equilateral triangular and hexagonal arrangements. In agreement with the findings in the literature and with physical and SPICE models, the equilateral triangular power pad arrangement is found to minimize the maximum voltage drop. This headline finding is a consequence of relatively simple formulas for the voltage drop, with explicit error bounds, which are established using complex analysis techniques, and elliptic functions in particular.

Pressure drop coefficients for elliptic and circular sections in one, two and three-row arrangements of plate fin and tube heat exchangers

The objective of the present work is the experimental determination of pressure drop coefficients (loss coefficients) for elliptic and circular sections in one, two and three-row arrangements of plate fin and tube heat exchangers. The experiments permitted to correlate the dimensionless loss coefficient with the flow Reynolds number in the rectangular channel formed by the plate fins. The experimental technique consisted of the measurement of the longitudinal pressure distribution along the flow channel, for several values of air mass flow rate. The total number of data runs, each one characterized by the flow Reynolds number, was 216. The present geometry is used in compact heat exchangers for air conditioning systems, heaters, radiators, and others. Also, it is verified the influence of the utilization of elliptic tubes, instead of circular ones, in the pressure drop. The measurements were performed for Reynolds numbers ranging from 200 to 1900.

New conserved vorticity integrals for moving surfaces in multi-dimensional fluid flow

For inviscid fluid flow in any n-dimensional Riemannian manifold, new conserved vorticity integrals generalizing helicity, enstrophy, and entropy circulation are derived for lower-dimensional surfaces that move along fluid streamlines. Conditions are determined for which the integrals yield constants of motion for the fluid. In the case when an inviscid fluid is isentropic, these new constants of motion generalize Kelvin’s circulation theorem from closed loops to closed surfaces of any dimension.

Superintégrabilité avec séparation de variables en coordonnées polaires et intégrales du mouvement d’ordre supérieur à deux

Dans cette thèse, nous proposons de nouveaux résultats de systèmes superintégrables séparables en coordonnées polaires. Dans un premier temps, nous présentons une classification complète de tous les systèmes superintégrables séparables en coordonnées polaires qui admettent une intégrale du mouvement d'ordre trois. Des potentiels s'exprimant en terme de la sixième transcendante de Painlevé et de la fonction elliptique de Weierstrass sont présentés. Ensuite, nous introduisons une famille infinie de systèmes classiques et quantiques intégrables et exactement résolubles en coordonnées polaires. Cette famille s'exprime en terme d'un paramètre k. Le spectre d'énergie et les fonctions d'onde des systèmes quantiques sont présentés. Une conjecture postulant la superintégrabilité de ces systèmes est formulée et est vérifiée pour k=1,2,3,4. L'ordre des intégrales du mouvement proposées est 2k où k ∈ ℕ. La structure algébrique de la famille de systèmes quantiques est formulée en terme d'une algèbre cachée où le nombre de générateurs dépend du paramètre k. Une généralisation quasi-exactement résoluble et intégrable de la famille de potentiels est proposée. Finalement, les trajectoires classiques de la famille de systèmes sont calculées pour tous les cas rationnels k ∈ ℚ. Celles-ci s'expriment en terme des polynômes de Chebyshev. Les courbes associées aux trajectoires sont présentées pour les premiers cas k=1, 2, 3, 4, 1/2, 1/3 et 3/2 et les trajectoires bornées sont fermées et périodiques dans l'espace des phases. Ainsi, les résultats obtenus viennent renforcer la possible véracité de la conjecture.

Algebraic Geometric Codes and their relation to Cryptography using Elliptic Curves

Communication is the process of transmitting data across channel. Whenever data is transmitted across a channel, errors are likely to occur. Coding theory is a stream of science that deals with finding efficient ways to encode and decode data, so that any likely errors can be detected and corrected. There are many methods to achieve coding and decoding. One among them is Algebraic Geometric Codes that can be constructed from curves. Cryptography is the science ol‘ security of transmitting messages from a sender to a receiver. The objective is to encrypt message in such a way that an eavesdropper would not be able to read it. A eryptosystem is a set of algorithms for encrypting and decrypting for the purpose of the process of encryption and decryption. Public key eryptosystem such as RSA and DSS are traditionally being prel‘en‘ec| for the purpose of secure communication through the channel. llowever Elliptic Curve eryptosystem have become a viable altemative since they provide greater security and also because of their usage of key of smaller length compared to other existing crypto systems. Elliptic curve cryptography is based on group of points on an elliptic curve over a finite field. This thesis deals with Algebraic Geometric codes and their relation to Cryptography using elliptic curves. Here Goppa codes are used and the curves used are elliptic curve over a finite field. We are relating Algebraic Geometric code to Cryptography by developing a cryptographic algorithm, which includes the process of encryption and decryption of messages. We are making use of fundamental properties of Elliptic curve cryptography for generating the algorithm and is used here to relate both.

Certified Rapid Solution of Parametrized Linear Elliptic Equations: Application to Parameter Estimation

We present a technique for the rapid and reliable evaluation of linear-functional output of elliptic partial differential equations with affine parameter dependence. The essential components are (i) rapidly uniformly convergent reduced-basis approximations — Galerkin projection onto a space WN spanned by solutions of the governing partial differential equation at N (optimally) selected points in parameter space; (ii) a posteriori error estimation — relaxations of the residual equation that provide inexpensive yet sharp and rigorous bounds for the error in the outputs; and (iii) offline/online computational procedures — stratagems that exploit affine parameter dependence to de-couple the generation and projection stages of the approximation process. The operation count for the online stage — in which, given a new parameter value, we calculate the output and associated error bound — depends only on N (typically small) and the parametric complexity of the problem. The method is thus ideally suited to the many-query and real-time contexts. In this paper, based on the technique we develop a robust inverse computational method for very fast solution of inverse problems characterized by parametrized partial differential equations. The essential ideas are in three-fold: first, we apply the technique to the forward problem for the rapid certified evaluation of PDE input-output relations and associated rigorous error bounds; second, we incorporate the reduced-basis approximation and error bounds into the inverse problem formulation; and third, rather than regularize the goodness-of-fit objective, we may instead identify all (or almost all, in the probabilistic sense) system configurations consistent with the available experimental data — well-posedness is reflected in a bounded "possibility region" that furthermore shrinks as the experimental error is decreased.

Els Mòduls integrals d'aprenentatge (MIAPS)

El pressupòsit bàsic d'aquesta experiència és que el nou model d'Espai Europeu d’Educació Superior pretén un major equilibri entre l'aprenentatge de l'alumnat i l'ensenyament del professor, fent més èmfasi en el primer. En aquest context, hem desenvolupat una eina que denominem "mòduls integrals d’aprenentatge (MIAPS)". L'experiència s'ha desenvolupat en els estudis de criminologia que, com bé es sap, va néixer en la cruïlla entre el model actual i el model de Bolonya, d'imminent implantació. Atès que no tenia sentit implantar un estudi sobre la base d'un model que ja estava condemnat a desaparèixer, centrat fonamentalment en l'ensenyament d'un temari, i en el qual el crèdit es corresponia amb 10 hores de classe; vàrem adoptar per un sistema més pròxim al nou model, basat en les hores del treball de l'alumne (1 cr = 25h). En aquest context, varem considerar que el 50% de les hores de treball de l'alumne haurien de correspondre's amb hores de contacte amb el professor, de les quals, almenys el 30% haurien de ser sessions presencials i la resta de tutories. L'altre 50% haurien de correspondre a hores de treball autònom. És precisament dintre d'aquestes hores de treball autònom que desenvolupem els MIAPS. Amb la finalitat d'homogeneïtzar l'estudi, es va establir que cada MIAP hauria de comportar unes 6 hores de treball de l'alumne. Els MIAPS són concebuts com a espais que combinen informació i activitat. Des d'aquest punt de vista, cada MIAP integra una unitat temàtica. En ella es recull la informació bàsica del tema i conté els vincles necessaris per a fitar adequadament el tema. Però addicionalment, el MIAP incorpora una sèrie d'activitats que es consideren necessàries i adequades per a aconseguir els coneixements i desenvolupar les competències vinculades al MIAP. Així, per exemple, si es pretén que una persona conegui els plantejaments d'una determinada teoria criminològica, el MIAP, a més de recollir la informació bàsica, relaciona, mitjançant vincles, altra informació que serveix per a contextualitzar el tema i ampliar i aprofundir la informació. Però el MIAP no es limita a un document que només proporciona informació, sinó que és també un document d'activitats. Si entre les competències relacionades està el treball en grup i l'anàlisi i resolució de problemes; el MIAP hauria d’incorporar, per exemple, un cas pràctic que han de treballar en grups i resoldre els problemes plantejats. El MIAP permet incorporar exercicis d'avaluació o autoavaluació. Els MIAPS estan pensats com a eines (documents interactius) que permeten treballar i desenvolupar aquelles temàtiques o aspectes que, en principi, no són objecte de classes presencials. Deixant les sessions presencials per fer coses diferents a repetir “allò que el professor sap”, i que generalment es pot trobar escrit. Des d'aquest punt de vista, els MIAPS són documents "complexos", en el sentit que incorporen una sèrie de recursos que van des de la informació a activitats d'avaluació o autoavaluació, passant per activitats de recerca, treballs en grups, elaboració de mapes conceptuals, etc. Així mateix, els MIAPS incorporen mecanismes que serveixen per a fer el seguiment de l'alumnat en el seu procés d'aprenentatge. Un aspecte important que vull ressaltar és que, entre els exercicis que l’alumnat pot desenvolupar, està la possibilitat fer les aportacions als MIAPS, a partir del seu procés d'aprenentatge. Aquesta eina es combina perfectament amb una avaluació continuada i amb metodologies com el portafolio o l'e-portafolio. Cal advertir que els MIAPS no tenen relació amb el tradicional "apunts" de classe o amb una recopilació de materials de lectura, sinó que constituïxen uns veritables documents de treball. El suport dels MIAPS és virtual i l’alumnat accedeix de forma restringida mitjançant la seva clau

Differentiation of Integrals pdf

Exam questions and solutions in PDF

Differentiation of Integrals

Exam questions and solutions in LaTex

Complex Variable and Integrals

Exercises and solutions for a third year engineering maths course. Diagrams for the question are all together in the support.zip file, as .eps files

Ecuaciones diferenciales estocásticas con condición final y soluciones de viscosidad de EDPS semilineales de segundo orden

El objetivo de este documento es recopilar algunos resultados clasicos sobre existencia y unicidad ´ de soluciones de ecuaciones diferenciales estocasticas (EDEs) con condici ´ on final (en ingl ´ es´ Backward stochastic differential equations) con particular enfasis en el caso de coeficientes mon ´ otonos, y su cone- ´ xion con soluciones de viscosidad de sistemas de ecuaciones diferenciales parciales (EDPs) parab ´ olicas ´ y el´ıpticas semilineales de segundo orden.