Contando infinitos ou de como Cantor enganou o próprio Sísifo

[...]. Seguindo o senso comum, em particular que o todo é maior (ou igual) do que a soma das partes, não haverá dúvidas em afirmar que existem mais números inteiros do que números pares e que mais janelas do que quartos. Assunto resolvido! Mas, se pensarmos com um pouco mais de cuidado, há uma infinidade de números pares e uma infinidade de números inteiros positivos. Para o comprovar podemos fazer o seguinte jogo: por maior que seja o número par que eu indique, o leitor consegue sempre fornecer-me um número par maior do que aquele que referi. Para tal basta adicionar dois ao número que indiquei. O mesmo acontece para os número inteiros positivos e por isso dizemos que estes conjuntos são infinitos. Mas como determinar qual destes infinitos é maior? Fará sequer sentido comparar dois infinitos? Neste artigo irei apresentar alguns argumentos que ajudarão o leitor a raciocinar sobre este tipos de questões. [...].

Matrizes e Quadrados Mágicos

Na sociedade atual, completamente dominada pela constante procura de informação, faz todo o sentido recorrer a formas organizadas de apresentar os dados recolhidos que permitam uma leitura rápida e acessível. As matrizes, pela sua estrutura, possibilitam este tipo de abordagem com vista ao tratamento de uma grande quantidade de informação. (...) Poucas áreas da Matemática sofreram nos últimos 30 anos uma evolução tão significativa como a Teoria de Matrizes. Isto deve-se ao desenvolvimento de computadores cada vez mais potentes do ponto de vista da capacidade computacional, bem como à introdução de métodos matriciais em diferentes áreas de aplicação. Atualmente, a Teoria de Matrizes é utilizada com frequência para modelar muitos fenómenos do mundo real. Mas quando é que surgiu este ramo da Matemática? (...) Embora este ramo da Matemática tenha sido desenvolvido a partir de meados do século XIX, conceitos elementares de matrizes remontam ao período anterior ao nascimento de Cristo, uma vez que os chineses aplicavam métodos matriciais para resolver certos sistemas de equações. Os quadrados mágicos constituem outro exemplo de aplicação rudimentar do conceito de matriz. As lendas sugerem que os quadrados mágicos são originários da China, tendo sido referidos pela primeira vez num manuscrito do tempo do imperador Yu, cerca de 2200 a. C. (...) Em 1514, Albrecht Dürer, conhecido artista da Renascença, pintou um quadro intitulado "Melancolia", onde figura um quadrado mágico, precisamente de ordem 4 (figura 2). De notar que os dois números centrais da última linha do quadrado permitem ler "1514", o ano em que o quadro foi pintado. O leitor pode comprovar que a soma dos números de cada linha, de cada coluna e de cada uma das duas diagonais desse quadrado é sempre igual a 34, a constante mágica. Além disso, 34 é a soma dos números dos cantos (16+13+4+1=34) e do quadrado central 2x2 (10+11+6+7=34). (...)

Quadrados mágicos para todos os gostos

Voltamos ao tema dos quadrados mágicos. (...) Vejamos alguns exemplos curiosos. Começamos pelo Quadrado Mágico do Aniversariante (figura A). Se o leitor fizer as contas, verificará que a soma dos números de cada linha, de cada coluna e de cada uma das duas diagonais do quadrado é sempre 22 (figura B). Este é, portanto, um quadrado mágico ideal para quem tem 22 anos. Contudo, a sua utilização é muito mais flexível do que à primeira vista se possa pensar. Isto porque também é possível utilizar este quadrado mágico para felicitar qualquer amigo com mais de 22 anos. Se quisermos que o quadrado da figura A tenha constante mágica igual a x, com x>22, basta adicionar a cada um dos números das quatro casas brancas o valor x-22. (...) Na figura D, apresenta-se um Quadrado Mágico Reversível. Este quadrado aparece no livro "Self-working Number Magic", de Karl Fulves, publicado em 1983. Para começar, uma observação atenta a cada linha, coluna ou diagonal do quadrado permite concluir que, em cada uma dessas filas, são utilizados os mesmos algarismos: 1, 6, 8 e 9. Um olhar ainda mais atento permite detetar duas ocorrências de cada um desses algarismos por fila. (...)

Quadrados mágicos místicos

Existem muitos exemplos interessantes de quadrados mágicos com histórias curiosas. Desde logo, se recuarmos no tempo e viajarmos até à antiga China. Segundo reza a lenda, por volta de 2200 a.C., o imperador Yu terá avistado uma tartaruga a sair do Rio Amarelo. Essa tartaruga apresentava um intrigante padrão formado por pontos pretos e brancos, que se assemelhava a uma grelha 3x3, preenchida com os primeiros 9 números naturais (1-9), dispostos de uma forma curiosa. (...) Outro aspeto curioso prende-se com o facto de os astrólogos da Renascença usarem quadrados mágicos associados aos diferentes planetas do Sistema Solar. (...) Outro aspeto que pode ser considerado nestes quadrados mágicos planetários é a soma de todos os números que compõem o quadrado, que se designa por soma mística (esta soma obtém-se multiplicando a constante mágica pelo número total de linhas do quadrado, isto porque ao adicionar os números de qualquer linha, obtém-se sempre a constante mágica). Por exemplo, o quadrado de Saturno tem soma mística igual a 15x3=45; o de Júpiter, 34x4=136; o de Marte, 65x5=325; e o do Sol, 111x6=666. Num quadrado planetário de ordem N, utilizam-se todos os números naturais, do 1 ao NxN, uma e uma só vez. Por este motivo, e tendo em conta as propriedades das progressões aritméticas, a soma mística de um quadrado planetário de ordem N pode ser obtida da fórmula NxN(NxN+1)/2, sendo a constante mágica igual a N(NxN+1)/2. (...)

Matemática no quotidiano : do BI aos números de identificação do Cartão de Cidadão

(...) O leitor que já possua Cartão de Cidadão poderá constatar que o algarismo suplementar do BI continua a marcar presença no novo documento: surge à frente do antigo número do BI, que se passou a designar por Número de Identificação Civil (NIC), imediatamente antes de duas letras. Mas qual é o papel deste algarismo? Na verdade, o algarismo suplementar não é assim tão misterioso. É simplesmente um algarismo de controlo ou dígito de verificação (check digit), que tem como objetivo detetar erros que possam ocorrer na escrita ou leitura do número do BI. Apresente-se como exemplo o número 6235008 0, em que 0 é o algarismo suplementar. (...) Ficam assim desvendados alguns dos mistérios do Cartão de Cidadão. Mas podemos não ficar por aqui: isto porque o Número de Identificação da Segurança Social (NISS), disponível no verso do Cartão de Cidadão, também é um número de identificação com algarismo de controlo! E o curioso é que se utilizam números primos para o cálculo da soma de teste (chama-se primo a todo o número natural superior a um que tenha apenas dois divisores naturais distintos, o número um e ele próprio). Concretamente, utilizam-se os primeiros dez números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. (...)

O papel da pressão positiva durante a broncofibroscopia: ventilação não invasiva vs válvula de pressão positiva contínua

Introdução: A realização de broncofibroscopia (BF) a doentes com insuficiência Respiratória grave tem riscos e muitas vezes está contra-indicada. A aplicação de ventilação mecânica não invasiva (VMNI) para assistir a ventilação espontânea durante a BF pode ser constituir uma boa alternativa . Objectivo: Comparar a utilização de VMNI e do CPAP Boussignac (CB), durante a BF, em doentes hipoxémicos e/ou hipercápnicos. Materiais e Metodos: 9 pacientes (1feminino) com hipoxemia definida por PaO2/FiO2<200 com necessidade de (BF) foram elegíveis para o estudo. Cinco indivíduos foram randomizados para o grupo VMNI (G1) e 4 para o grupo CB (G2). Resultados: A pressão parcial arterial de oxigénio (PaO2) melhorou no grupo total: 65,9 (21,9) vs de 94,4 (75,9) pós BF, p=0,03, assim como a relação PaO2/FiO2: 131,7 (129,0) e 150,7 (161, 3), pós BF, p=0,04. A saturação periférica de O2 média durante a BF não foi significativamente diferente comparando os dois grupos: 96,1 (6,9) no G1 vs 97,3 (0,3) no G2, (p=0,62). No G1, 1 paciente foi intubado. Conclusão: Estes resultados sugerem que a pressão positiva tem um papel importante como técnica coadjuvante da BF em pacientes hipoxémicos graves (PaO2/FiO2<200). Neste estudo preliminar nenhuma vantagem da VMNI vs CB.

Geografias de exclusão e inclusão : políticas migratórias e de deportação dos Estados Unidos da América e os cidadãos deportados em São Miguel (Açores)

Dissertação de Mestrado em Ciências Sociais, especialidade em Migrações e Sociedade.

A satisfação no trabalho : uma aplicação às instituições particulares de solidariedade social em São Miguel, Açores

Dissertação de Mestrado em Gestão de Empresas/MBA.

O quadrado mágico de Benjamin Franklin

Benjamin Franklin (1706-1790) foi jornalista, cientista, inventor, homem de estado e diplomata. (...) Benjamin Franklin era um entusiasta de quadrados mágicos. Chegou mesmo a criar os seus próprios quadrados. O mais conhecido é o quadrado 8 por 8 apresentado na imagem. Numa carta publicada em 1769, Franklin refere: "Na minha juventude, divertia-me a construir quadrados mágicos, de modo a que a soma dos números de cada linha, de cada coluna e de cada uma das duas diagonais principais fosse sempre a mesma; com o passar do tempo, conseguia criar quadrados mágicos, de tamanho razoável, tão depressa quanto conseguia escrever os números nas suas linhas e colunas; mas, por não estar totalmente satisfeito com estes quadrados, que eram demasiado fáceis, impus a mim mesmo o desafio de construir outro tipo de quadrados mágicos, que apresentassem propriedades mais ricas e que constituíssem, assim, um maior estímulo à curiosidade." Em relação ao quadrado mágico da imagem, são utilizados todos os números naturais, do 1 ao 8x8=64, uma e uma só vez. Além disso, a soma dos números de cada linha e de cada coluna é sempre igual a 260, a constante mágica. Existem muitas outras formas de obter o valor 260 (...)

Utilização do Programa de Saúde da Família em regiões metropolitanas: abordagem metodológica

OBJETIVO: Apresentar a abordagem metodológica de pesquisa para definição do perfil de utilização de serviços de saúde pela população adstrita ao Programa Saúde da Família. MÉTODOS: Considerou-se a existência de três padrões de uso dos serviços acessados pela população: residual, parcial e completo, definidos a partir do leque de ações do Programa Saúde da Família que são acessadas pela população. Foi realizado inquérito com amostragem em duas fases em área de elevada exclusão social do município de São Paulo (SP), em 2006. Na primeira fase, 960 pessoas participantes de equipes de saúde da família foram sorteadas e classificadas pelos agentes comunitários de saúde em "uso completo" ou não dos serviços de saúde. Na segunda fase, 173 sorteados foram então classificados segundo os padrões de uso dos serviços. RESULTADOS: Os usuários foram classificados em completos (16%), parciais (57%) e residuais (26%), mostrando-se distintos em relação a características sociodemográficas. Houve utilização seletiva e focada dos serviços oferecidos pelo Programa Saúde da Família, na qual pertencer ao sexo masculino, ter escolaridade superior à quinta série do ensino fundamental, exercer atividade remunerada e acessar planos de saúde implicou menor adesão aos serviços, mesmo se tratando de regiões com pouca oferta de serviços assistenciais. Mesmo em áreas de alta exclusão social e baixa oferta de serviços de saúde, 25% da população cadastrada não utiliza serviços ofertados, recebendo apenas visitas domiciliares. CONCLUSÕES: Metodologias capazes de captar distintos padrões de utilização de serviços de saúde pela população podem contribuir para aprimorar a avaliação de serviços.

Otimização de estruturas de destilação azeotrópica com recurso a planeamento experimental

Trabalho Final de Mestrado para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Química e Biológica

A prova dos 9 : "valores sigma"

Neste artigo abordam-se as provas dos nove para quatro operações aritméticas elementar, bem como o valor sigma que é a soma dos algarismos de um numeral retirados os noves.

ECO-betão com adição de resíduo da indústria petrolífera

Dissertação de natureza Científica para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Civil na Área de Especialização em Edificações

Estudo de uma solução alternativa para o prolongamento do Molhe - Cais do Porto das Velas, Açores

Trabalho Final de Mestrado para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Civil Especialização em Hidráulica

Contribuição para o conhecimento das propriedades pozolânicas da fracção fina resultante da produção de areia de origem granítica

O presente estudo diz respeito a um trabalho de pesquisa no âmbito de uma Tese de Mestrado incluída no segundo ciclo de estudos do curso de Engenharia Geotécnica e Geoambiente, realizado sobre as condições de desidroxilação para a obtenção de metacaulino com propriedades cimentíceas, a partir da fracção argilosa proveniente dos finos residuais da produção de areias de natureza granítica. O produto resultante da alteração e desintegração dos feldspatos constituintes dos granitos são ricos em caulinite. Na natureza e em particular no Norte de Portugal, existem significativos depósitos cauliníticos com características potenciadoras para a produção de metacaulino. O metacaulino utilizado neste estudo foi obtido de uma amostra de argila submetida a 750oC, por um período de tempo de 30 minutos, processo que permitiu a desidroxilação quase total da matéria-prima, transformando esta numa fase amorfa e irreversível, com propriedades pozolânicas. Os metacaulinos, também conhecidos por geopolímeros, são produtos de fácil produção utilizando uma matéria-prima abundante e proporcionam a obtenção de novos produtos que permitem a substituição parcial do cimento Portland normal na composição das pastas de betão, com vantagens significativas no comportamento mecânico e na resistência aos agentes atmosféricos. Neste estudo são apresentados os resultados dos ensaios de caracterização da matéria-prima, das condições de calcinação e do produto resultante da desidroxilação, nomeadamente a determinação da pozolanicidade e das características fundamentais para a aplicabilidade do produto. No âmbito da especialidade de Georrecursos, consideramos que este trabalho está perfeitamente adequado, já que, para além do estudo para o conhecimento das propriedades da matéria-prima, foi possível, através das alterações introduzidas com o tratamento térmico, obter um novo produto, cuja utilização terá importantes reflexos na sustentabilidade dos recursos naturais e sua utilização.