Periodic orbits of integrable birational maps on the plane: blending dynamics and algebraic geometry, the Lyness' case

Contingut del Pòster presentat al congrés New Trends in Dynamical Systems

On the approximation of the subgrid scale for systems of equations

Postprint (published version)

Rational periodic sequences for the Lyness recurrence

Consider the celebrated Lyness recurrence $x_{n+2}=(a+x_{n+1})/x_{n}$ with $a\in\Q$. First we prove that there exist initial conditions and values of $a$ for which it generates periodic sequences of rational numbers with prime periods $1,2,3,5,6,7,8,9,10$ or $12$ and that these are the only periods that rational sequences $\{x_n\}_n$ can have. It is known that if we restrict our attention to positive rational values of $a$ and positive rational initial conditions the only possible periods are $1,5$ and $9$. Moreover 1-periodic and 5-periodic sequences are easily obtained. We prove that for infinitely many positive values of $a,$ positive 9-period rational sequences occur. This last result is our main contribution and answers an open question left in previous works of Bastien \& Rogalski and Zeeman. We also prove that the level sets of the invariant associated to the Lyness map is a two-parameter family of elliptic curves that is a universal family of the elliptic curves with a point of order $n, n\ge5,$ including $n$ infinity. This fact implies that the Lyness map is a universal normal form for most birrational maps on elliptic curves.

Integrability and non-integrability of periodic non-autonomous Lyness recurrences

This paper studies non-autonomous Lyness type recurrences of the form x_{n+2}=(a_n+x_n)/x_{n+1}, where a_n is a k-periodic sequence of positive numbers with prime period k. We show that for the cases k in {1,2,3,6} the behavior of the sequence x_n is simple(integrable) while for the remaining cases satisfying k not a multiple of 5 this behavior can be much more complicated(chaotic). The cases k multiple of 5 are studied separately.

Integrability and non-integrability of periodic non-autonomous Lyness recurrences (revised and enlarged version)

This paper studies non-autonomous Lyness type recurrences of the form xn+2 = (an+xn+1)=xn, where fang is a k-periodic sequence of positive numbers with primitive period k. We show that for the cases k 2 f1; 2; 3; 6g the behavior of the sequence fxng is simple (integrable) while for the remaining cases satisfying this behavior can be much more complicated (chaotic). We also show that the cases where k is a multiple of 5 present some di erent features.

On periodic solutions of 2-periodic Lyness difference equations

We study the existence of periodic solutions of the non--autonomous periodic Lyness' recurrence u_{n+2}=(a_n+u_{n+1})/u_n, where {a_n} is a cycle with positive values a,b and with positive initial conditions. It is known that for a=b=1 all the sequences generated by this recurrence are 5-periodic. We prove that for each pair (a,b) different from (1,1) there are infinitely many initial conditions giving rise to periodic sequences, and that the family of recurrences have almost all the even periods. If a is not equal to b, then any odd period, except 1, appears.

Clasificación de los proyectos informáticos y establecimiento de sus EDT's

El objetivo principal del presente proyecto es plasmar una clasificación de los diferentes tipos de proyectos informáticos existentes hoy en día. Presentamos una clasificación basada en algunos criterios diferenciadores para finalmente seleccionar una tipología de proyectos informáticos fuertemente diferenciados entre sí. Posteriormente analizaremos de forma exhaustiva las diferentes etapas y fases de las que se componen, con el fin de conocer las diferentes técnicas de trabajo para la correcta consecución de cada uno de los tipos indicados.

L'estadística i els nous mitjans de càlcul

Aquesta exposició vol presentar breument el ventall d'eines disponibles, la terminologia utilitzada i, en general, el marc metodològic de l'estadística exploratoria i de l'analisi de dades, el paradigma de la disciplina.En el decurs dels darrers anys, la disciplina no ha estat pas capgirada, però de tota manera sí que cal una actualització permanent.S'han forjat i provat algunes eines gairebé només esbossades, han aparegut nous dominis d'aplicació. Cal precisar la relació amb els competidors i dinamics veïns (intel·ligencia artificial, xarxes neurals, Data Mining). La perspectiva que presento dels mètodes d'anàlisi de dades emana evidentment d'un punt de vista particular; altres punts de vista poden ser igualment vàlids

Equacions diferencials i models

En tot cas, jo voldria que aquesta conferència fos això que he dit: una breu lliçó sobre la importància de les equacions diferencials. Parlaré d'elles des de el punt de vista del models, és a dir, dels fenòmens que modelitzeu. I intentaré explicar que malgrat el seu origen antic, totes elles segueixen presentant avui en dia problemes nous i interessants, tant des de el punt de vista teòric com pràctic.

Leonhard Euler: quatre lIiçons escollides

L'FME dedica el curs acadèmic 2006-2007 a la figura del matemàtic suís Leonhard Euler, una de les ments més importants de la història, comparable a Gauss o Arquímedes. La lliçó inaugural va anar a càrrec d'Enric Fossas, catedràtic i director de l'Institut d'Organització i Control de Sistemes Industrials de la UPC

La funció Z de Riemann

El novembre de 1859 Riemann envià un manuscrit de sis fulls a l’Acadèmia de Berlín titulat Sobre el nombre de primers menors que una quantitat donada, el qual seria l’única publicació dedicada a la teoria de nombres de tota la seva producció científica. Aquest treball, sens dubte una de les peces mestres de les matemàtiques de tots els temps, és pioner en l’aplicació de tècniques analítiques per a l’estudi de problemes aritmètics. En ell Riemann introdueix la funció Z i en dóna diverses propietats, de les quals en treu conseqüències sobre l’acumulació dels nombres primers. També hi enuncia la famosa conjectura sobre els seus zeros que ha passat a la història amb el nom d’hipòtesi de Riemann, i que, havent resistit els esforços de molts dels millors matemàtics del segle xx, és considerada avui dia el problema obert més important de les matemàtiques. L’objectiu d’aquestes notes és explicar el contingut del treball de Riemann i el paper fonamental que ha jugat en l’estudi de la distribució dels nombres primers.

La ecuación del calor

La ecuación del calor fue propuesta por Fourier en 1807-en su memoria sobre la propagación del calor en los cuerpos sólidos.En ella proponía además el germen de lo que pasaria a ser la Teoría de las Series de Fourier.Tan controvertida fue esta última, que tomó quince años, hasta 1822, para que la Academia de Ciencias decidiese publicarla.

Geometria de superficies: una aproximació a la figura de Gausss

Gauss va publicar l’any 1827 Disquisitiones generales circa superficies curvas, obra que ha resultat fonamental en el desenvolupament de la geometria diferencial a partir del segle XIX. La documentació de la qual es disposa sobre la gènesi i el desenvolupament de les idees d’aquesta obra, ens permet, a més de presentar els principals resultats que hi apareixen, fer una aproximació a la figura de Gauss, al seu estil matemàtic

Ancient protostome origin of chemosensory ionotropic glutamate receptors and the evolution of insect taste and olfaction.

Ionotropic glutamate receptors (iGluRs) are a highly conserved family of ligand-gated ion channels present in animals, plants, and bacteria, which are best characterized for their roles in synaptic communication in vertebrate nervous systems. A variant subfamily of iGluRs, the Ionotropic Receptors (IRs), was recently identified as a new class of olfactory receptors in the fruit fly, Drosophila melanogaster, hinting at a broader function of this ion channel family in detection of environmental, as well as intercellular, chemical signals. Here, we investigate the origin and evolution of IRs by comprehensive evolutionary genomics and in situ expression analysis. In marked contrast to the insect-specific Odorant Receptor family, we show that IRs are expressed in olfactory organs across Protostomia--a major branch of the animal kingdom that encompasses arthropods, nematodes, and molluscs--indicating that they represent an ancestral protostome chemosensory receptor family. Two subfamilies of IRs are distinguished: conserved "antennal IRs," which likely define the first olfactory receptor family of insects, and species-specific "divergent IRs," which are expressed in peripheral and internal gustatory neurons, implicating this family in taste and food assessment. Comparative analysis of drosophilid IRs reveals the selective forces that have shaped the repertoires in flies with distinct chemosensory preferences. Examination of IR gene structure and genomic distribution suggests both non-allelic homologous recombination and retroposition contributed to the expansion of this multigene family. Together, these findings lay a foundation for functional analysis of these receptors in both neurobiological and evolutionary studies. Furthermore, this work identifies novel targets for manipulating chemosensory-driven behaviours of agricultural pests and disease vectors.

Converses ribagorçanes -el parlar de la Vall de Boí-

Aquest treball consisteix en una visió general del ribagorçà concentrada en un sol parlant de la Vall de Boí, i més concretament del municipi de Boí. La informació l’hem extret d’una entrevista realitzada per Susana Ariño a Lluís Pifarré. L’objectiu és estudiar el dialecte utilitzant el mètode inductiu: des d’un informant concret per arribar a una caracterització general. L’informant ha estat escollit escrupolosament seguint uns criteris; s’ha valorat l’edat, 92 anys, el sexe, masculí, la professió, vaquer i taxista, les experiències, èpoques de transhumància a la plana de Lleida, i la seva procedència, les seves arrels les trobem a la Vall Fosca. Després de fer una classificació per nivells de llengua: lèxic, morfològic, fonètic i sintàctic, observem les diferents característiques del dialecte i ens adonem dels trets que resten vius i d’aquells que estan en procés de recessió. Per acabar, cal remarcar que l’interès d’aquest treball era pràctic i no pas biogràfic o bibliogràfic, i reserva el seu atractiu en la conversa ribagorçana i en el dialecte, per extensió. Un factor que ha contribuït a la millora de l’enteniment del treball ha estat el coneixement previ del dialecte i l’atractiu que hom sent per la zona.