Visualización y pensamiento matemático

La propuesta didáctica que mostramos en este curso fue desarrollada en un libro dirigido a profesores y continuada en un artículo más en profundidad (Cantoral y Montiel, 2001 y 2003) Dicha propuesta nace en una aproximación teórica de naturaleza sistémica que denominamos socioepistemología. En términos generales, la propuesta trata de una forma particular de entender a la visualización de las funciones, aunque en este escrito nos ocuparemos en particular y sólo como un ejemplo, de la construcción del polinomio de interpolación de Lagrange mediante estrategias de visualización. No abordamos aspectos del tratamiento curricular de los polinomios de Lagrange y de las concepciones que los “alumnos desarrollan en su paso por la universidad, sino que presentamos una propuesta didáctica basada en la visualización y en el desarrollo del pensamiento matemático del concepto de función. En nuestra opinión, esta propuesta favorece la evolución de las concepciones entre los alumnos.

Optimización de una Función de Utilidad Para un Hogar Promedio de El Salvador.

En esta investigación se esboza una breve historia de cómo y porque surge la teoría de la elección racional, además de exponer los principios generales aplicables a las Ciencias que estudian el comportamiento de la interacción humana, es decir, las Ciencias Sociales. Dichos principios se recogen en economía bajo la rama conocida como microeconomía, específicamente en la teoría de la conducta del consumidor. Es por ello que esta teoría es el pilar fundamental de esta investigación. Dicha teoría se retoma para poder aplicarla al hogar salvadoreño promedio visto como la unidad de consumo dentro de la economía, ya que con la teoría de la conducta del consumidor es posible medir su bienestar (conocida en microeconomía como utilidad) a través la variable proxy consumo mediante la estimación de una función de consumo. Para ello se realizó un diagnóstico del consumo de los hogares salvadoreños en el que se determinó la importancia que tienen en la dinámica económica del país, resultando ser el que mayor peso tiene respecto a los diferentes componentes que conforman el Producto Interno Bruto (PIB). Para tal propósito se realizan tres ejercicios: El primero es una comparación gráfica de cada componente con el PIB a nivel de tasas de crecimiento, en el segundo ejercicio se determinó el porcentaje de contribución de cada componente en el crecimiento del PIB, mientras que en el tercero se realiza una regresión simple para conocer el grado de correlación que tiene cada componente con el PIB. Dicho diagnóstico también permitió conocer la estructura de consumo de los hogares, y cómo esta se ve afectada por los niveles de ingreso e inflación, se determina en grado de importancia de mayor a menor la siguiente estructura de cestas de bienes y consumo constituido por: Alimentos, servicios de vivienda, educación, bienes y servicios diversos, y, salud. Se construyeron las gráficas de Engels y Demanda-Precio para cada canasta de bienes y servicios, con el objetivo de conocer el comportamiento que ha tenido el consumidor ante los precios y los ingresos. Una vez conocida la estructura de consumo se procedió a estimar la función de utilidad del hogar salvadoreño, mediante el método de regresión lineal múltiple, la cual toma la forma de una función del tipo Cobb-Douglas. Estimada la función de utilidad el siguiente que se realizó fue optimizar los niveles de consumo, por el método de los multiplicadores de Lagrange, lo que permitió realizar comparaciones entre los niveles observados de consumo y los niveles óptimos que el hogar puede haber realizado de acuerdo a sus niveles de consumo, lo que revela que los hogares se encuentran consumiendo por debajo de sus niveles óptimos. Bajo un escenario en donde los hogares logren optimizar su consumo, el nivel de bienestar más alto se encuentra en el año 2000 y para alcanzar dicho nivel de utilidad en el año 2013 los hogares necesitan tener ingresos de $672 aproximadamente. Lo anterior se realizó bajo un contexto sin impuestos de ningún tipo, sin embargo, al considerar el impuesto sobre la renta, el óptimo del consumidor sufre un impacto negativo entre el 3% y 5% En base a lo expuesto se presentan algunas recomendaciones atinentes al cuido del bienestar de los hogares.

Corrigendum to “The envelope theorem for multiobjective convex programming via contingent derivatives” [J. Math. Anal. Appl. 372 (1) (2010) 197–207]

The aim of this note is to formulate an envelope theorem for vector convex programs. This version corrects an earlier work, “The envelope theorem for multiobjective convex programming via contingent derivatives” by Jiménez Guerra et al. (2010) [3]. We first propose a necessary and sufficient condition allowing to restate the main result proved in the alluded paper. Second, we introduce a new Lagrange multiplier in order to obtain an envelope theorem avoiding the aforementioned error.

Sensitivity Analysis in Convex Optimization through the Circatangent Derivative

The main goal of this paper is to analyse the sensitivity of a vector convex optimization problem according to variations in the right-hand side. We measure the quantitative behavior of a certain set of Pareto optimal points characterized to become minimum when the objective function is composed with a positive function. Its behavior is analysed quantitatively using the circatangent derivative for set-valued maps. Particularly, it is shown that the sensitivity is closely related to a Lagrange multiplier solution of a dual program.

A natural extension of the classical envelope theorem in vector differential programming

The aim of this paper is to extend the classical envelope theorem from scalar to vector differential programming. The obtained result allows us to measure the quantitative behaviour of a certain set of optimal values (not necessarily a singleton) characterized to become minimum when the objective function is composed with a positive function, according to changes of any of the parameters which appear in the constraints. We show that the sensitivity of the program depends on a Lagrange multiplier and its sensitivity.

Scaling laws and thermodynamic analysis for vascular branching of microvessels

When blood flows through small vessels, the two-phase nature of blood as a suspension of red cells (erythrocytes) in plasma cannot be neglected, and with decreasing vessel size, a homogeneous continuum model become less adequate in describing blood flow. Following the Haynes’ marginal zone theory, and viewing the flow as the result of concentric laminae of fluid moving axially, the present work provides models for fluid flow in dichotomous branching composed by larger and smaller vessels, respectively. Expressions for the branching sizes of parent and daughter vessels, that provides easier flow access, are obtained by means of a constrained optimization approach using the Lagrange multipliers. This study shows that when blood behaves as a Newtonian fluid, Hess – Murray law that states that the daughters-to-parent diameter ratio must equal to 2^(-1/3) is valid. However, when the nature of blood as a suspension becomes important, the expression for optimum branching diameters of vessels is dependent on the separation phase lengths. It is also shown that the same effect occurs for the relative lengths of daughters and parent vessels. For smaller vessels (e. g., arterioles and capillaries), it is found that the daughters-to-parent diameter ratio may varies from 0,741 to 0,849, and the daughters-to-parent length ratio varies from 0,260 to 2,42. For larger vessels (e. g., arteries), the daughters-to-parent diameter ratio and the daughters-to-parent length ratio range from 0,458 to 0,819, and from 0,100 to 6,27, respectively. In this paper, it is also demonstrated that the entropy generated when blood behaves as a single phase fluid (i. e., continuum viscous fluid) is greater than the entropy generated when the nature of blood as a suspension becomes important. Another important finding is that the manifestation of the particulate nature of blood in small vessels reduces entropy generation due to fluid friction, thereby maintaining the flow through dichotomous branching vessels at a relatively lower cost.