On the design of customized risk measures in insurance, the problem of capital allocation and the theory of fluctuations for Lévy processes

Dans cette thèse, nous étudions quelques problèmes fondamentaux en mathématiques financières et actuarielles, ainsi que leurs applications. Cette thèse est constituée de trois contributions portant principalement sur la théorie de la mesure de risques, le problème de l’allocation du capital et la théorie des fluctuations. Dans le chapitre 2, nous construisons de nouvelles mesures de risque cohérentes et étudions l’allocation de capital dans le cadre de la théorie des risques collectifs. Pour ce faire, nous introduisons la famille des "mesures de risque entropique cumulatifs" (Cumulative Entropic Risk Measures). Le chapitre 3 étudie le problème du portefeuille optimal pour le Entropic Value at Risk dans le cas où les rendements sont modélisés par un processus de diffusion à sauts (Jump-Diffusion). Dans le chapitre 4, nous généralisons la notion de "statistiques naturelles de risque" (natural risk statistics) au cadre multivarié. Cette extension non-triviale produit des mesures de risque multivariées construites à partir des données financiéres et de données d’assurance. Le chapitre 5 introduit les concepts de "drawdown" et de la "vitesse d’épuisement" (speed of depletion) dans la théorie de la ruine. Nous étudions ces concepts pour des modeles de risque décrits par une famille de processus de Lévy spectrallement négatifs.

Impacts d’une formation établissant des liens entre les sciences et la cuisine sur l’enseignement des sciences au primaire

Depuis plusieurs années, l’enseignement des sciences joue un rôle de 2e plan, après le français et les mathématiques, chez plusieurs enseignants du primaire (Lenoir, 2000). Peinant à établir des liens entre les savoirs à enseigner et la réalité quotidienne, ces enseignants ayant souvent une formation lacunaire semblent rechercher de nouveaux outils didactiques efficaces. À cet effet, l’intégration de pratiques sociales de référence (Martinand, 1986) aux situations d’apprentissage peut constituer une pratique innovante favorisant la transposition didactique des savoirs disciplinaires. Misant sur l’intérêt grandissant des Québécois pour la cuisine, cette recherche tente de déterminer l’impact d’une formation continue établissant des liens entre les sciences et les pratiques culinaires sur l’enseignement des sciences au primaire. Pour cette étude de cas descriptive, six enseignants du primaire ont participé à deux rencontres de formation durant lesquelles elles ont expérimenté une situation d’apprentissage et d’évaluation (SAÉ) intégrant des activités culinaires. À la suite d’une période de mise à l’essai de cette SAÉ en classe, les sujets ont été interviewés afin d’établir les apprentissages réalisés durant la formation et de dresser une liste des avantages et des obstacles associés à l’utilisation d’activités culinaires pour enseigner les sciences. De plus, les suggestions émises visant l’amélioration de la SAÉ (rapport bilan écrit) ont permis de mettre en relief la prédominance de préoccupations de nature pédagogique, organisationnelle et socioaffective chez les sujets de l’échantillon. Cette recherche entraîne des retombées pour les didacticiens puisqu’elle fournit des données supplémentaires pouvant contribuer à améliorer la qualité du matériel didactique mis à la disposition des praticiens. De plus, la SAÉ développée pour cette étude constitue un outil didactique novateur pouvant être utilisé par les enseignants du primaire.

Modélisation mathématique de la propagation de la malaria.

Un modèle mathématique de la propagation de la malaria en temps discret est élaboré en vue de déterminer l'influence qu'un déplacement des populations des zones rurales vers les zones urbaines aurait sur la persistance ou la diminution de l'incidence de la malaria. Ce modèle, sous la forme d'un système de quatorze équations aux différences finies, est ensuite comparé à un modèle analogue mais en temps continu, qui prend la forme d'équations différentielles ordinaires. Une étude comparative avec la littérature récente permet de déterminer les forces et les faiblesses de notre modèle.

Mesures subjectives et épidémiologie : problèmes méthodologiques liés à l'utilisation des techniques psychométriques

L’utilisation des mesures subjectives en épidémiologie s’est intensifiée récemment, notamment avec la volonté de plus en plus affirmée d’intégrer la perception qu’ont les sujets de leur santé dans l’étude des maladies et l’évaluation des interventions. La psychométrie regroupe les méthodes statistiques utilisées pour la construction des questionnaires et l’analyse des données qui en sont issues. Ce travail de thèse avait pour but d’explorer différents problèmes méthodologiques soulevés par l’utilisation des techniques psychométriques en épidémiologie. Trois études empiriques sont présentées et concernent 1/ la phase de validation de l’instrument : l’objectif était de développer, à l’aide de données simulées, un outil de calcul de la taille d’échantillon pour la validation d’échelle en psychiatrie ; 2/ les propriétés mathématiques de la mesure obtenue : l’objectif était de comparer les performances de la différence minimale cliniquement pertinente d’un questionnaire calculée sur des données de cohorte, soit dans le cadre de la théorie classique des tests (CTT), soit dans celui de la théorie de réponse à l’item (IRT) ; 3/ son utilisation dans un schéma longitudinal : l’objectif était de comparer, à l’aide de données simulées, les performances d’une méthode statistique d’analyse de l’évolution longitudinale d’un phénomène subjectif mesuré à l’aide de la CTT ou de l’IRT, en particulier lorsque certains items disponibles pour la mesure différaient à chaque temps. Enfin, l’utilisation de graphes orientés acycliques a permis de discuter, à l’aide des résultats de ces trois études, la notion de biais d’information lors de l’utilisation des mesures subjectives en épidémiologie.

Droites sur les hypergraphes

Le Théorème de Sylvester-Gallai affirme que dans un ensemble fini S de points dans le plan, où les points ne sont pas tous sur une même droite, il y a une droite qui passe par exactement deux points de S. Chvátal [14] a étendu la notion de droites aux espaces métriques arbitraires et a fait une conjecture généralisant le Théorème de Sylvester-Gallai. Chen [10] a démontré cette conjecture qui s’appelle maintenant le Théorème de Sylvester-Chvátal. En 1943, Erdos [18] a remarqué un corollaire pour le Théorème de Sylvester-Gallai affirmant que, dans un ensemble fini V de points dans le plan, où les points ne sont pas tous sur une droite, le nombre de droites qui passent par au moins deux points de V est au moins |V |. De Bruijn et Erdos [7] ont généralisé ce corollaire, en utilisant une définition généralisée de droite (voir Chapitre 2) et ont prouvé que tout ensemble de n points, où les points ne sont pas tous sur une même droite, détermine au moins n droites distinctes. Dans le présent mémoire, nous allons étudier les théorèmes mentionnés ci-dessus. Nous allons aussi considérer le Théorème de De Bruijn-Erdos dans le cadre des hypergraphes et des espaces métriques.

Sur un modèle d'érythropoïèse comportant un taux de mortalité dynamique

Ce mémoire concerne la modélisation mathématique de l’érythropoïèse, à savoir le processus de production des érythrocytes (ou globules rouges) et sa régulation par l’érythropoïétine, une hormone de contrôle. Nous proposons une extension d’un modèle d’érythropoïèse tenant compte du vieillissement des cellules matures. D’abord, nous considérons un modèle structuré en maturité avec condition limite mouvante, dont la dynamique est capturée par des équations d’advection. Biologiquement, la condition limite mouvante signifie que la durée de vie maximale varie afin qu’il y ait toujours un flux constant de cellules éliminées. Par la suite, des hypothèses sur la biologie sont introduites pour simplifier ce modèle et le ramener à un système de trois équations différentielles à retard pour la population totale, la concentration d’hormones ainsi que la durée de vie maximale. Un système alternatif composé de deux équations avec deux retards constants est obtenu en supposant que la durée de vie maximale soit fixe. Enfin, un nouveau modèle est introduit, lequel comporte un taux de mortalité augmentant exponentiellement en fonction du niveau de maturité des érythrocytes. Une analyse de stabilité linéaire permet de détecter des bifurcations de Hopf simple et double émergeant des variations du gain dans la boucle de feedback et de paramètres associés à la fonction de survie. Des simulations numériques suggèrent aussi une perte de stabilité causée par des interactions entre deux modes linéaires et l’existence d’un tore de dimension deux dans l’espace de phase autour de la solution stationnaire.

Cobordismes lagrangiens et uniréglage

Ce mémoire traite de la question suivante: est-ce que les cobordismes lagrangiens préservent l'uniréglage? Dans les deux premiers chapitres, on présente en survol la théorie des courbes pseudo-holomorphes nécessaire. On examine d'abord en détail la preuve que les espaces de courbes $ J $-holomorphes simples est une variété de dimension finie. On présente ensuite les résultats nécessaires à la compactification de ces espaces pour arriver à la définition des invariants de Gromov-Witten. Le troisième chapitre traite ensuite de quelques résultats sur la propriété d'uniréglage, ce qu'elle entraine et comment elle peut être démontrée. Le quatrième chapitre est consacré à la définition et la description de l'homologie quantique, en particulier celle des cobordismes lagrangiens, ainsi que sa structure d'anneau et de module qui sont finalement utilisées dans le dernier chapitre pour présenter quelques cas ou la conjecture tient.

The Double Pareto-Lognormal Distribution and its applications in actuarial science and finance

Le but de ce mémoire de maîtrise est de décrire les propriétés de la loi double Pareto-lognormale, de montrer comment on peut introduire des variables explicatives dans le modèle et de présenter son large potentiel d'applications dans le domaine de la science actuarielle et de la finance. Tout d'abord, nous donnons la définition de la loi double Pareto-lognormale et présentons certaines de ses propriétés basées sur les travaux de Reed et Jorgensen (2004). Les paramètres peuvent être estimés en utilisant la méthode des moments ou le maximum de vraisemblance. Ensuite, nous ajoutons une variable explicative à notre modèle. La procédure d'estimation des paramètres de ce mo-\\dèle est également discutée. Troisièmement, des applications numériques de notre modèle sont illustrées et quelques tests statistiques utiles sont effectués.

Sur les prolongements de sous-copules

L’objet du travail est d’étudier les prolongements de sous-copules. Un cas important de l’utilisation de tels prolongements est l’estimation non paramétrique d’une copule par le lissage d’une sous-copule (la copule empirique). Lorsque l’estimateur obtenu est une copule, cet estimateur est un prolongement de la souscopule. La thèse présente au chapitre 2 la construction et la convergence uniforme d’un estimateur bona fide d’une copule ou d’une densité de copule. Cet estimateur est un prolongement de type copule empirique basé sur le lissage par le produit tensoriel de fonctions de répartition splines. Le chapitre 3 donne la caractérisation de l’ensemble des prolongements possibles d’une sous-copule. Ce sujet a été traité par le passé; mais les constructions proposées ne s’appliquent pas à la dépendance dans des espaces très généraux. Le chapitre 4 s’attèle à résoudre le problème suivant posé par [Carley, 2002]. Il s’agit de trouver la borne supérieure des prolongements en dimension 3 d’une sous-copule de domaine fini.

Complexe de Morse et bifurcations

Soit une famille de couples (ft,Xt)t∈J , où J est un intervalle, ft est une fonction lisse à valeurs réelles définie sur une variété lisse et compacte V , et Xt est un pseudo-gradient associé à la fonction ft. L’objet de ce mémoire est l’étude des bifurcations subies par les complexes de Morse associés à ces couples. Deux approches sont utilisées : l’étude directe des bifurcations et l’approche par homotopie. On montre que finalement ces deux approches permettent d’obtenir les mêmes résultats d’un point de vue fonctoriel.

L'astronomie nouvelle de Kepler et la logique de la découverte

Cette thèse propose une étude des raisons théoriques et empiriques impliquées dans l’élaboration d’une nouvelle astronomie par Johannes Kepler (1571-1630) tel qu’exposé dans son ouvrage Astronomia nova (1619). Cette thèse se déroule en deux temps : la première partie touche de près aux textes mêmes de Kepler, tandis que la seconde partie utilise la notion d’abduction pour interpréter logiquement ce processus de découverte et de justification. La première partie débute avec une analyse du projet de Kepler et de ses fondements philosophiques, métaphysiques et théologiques tels qu’exposés dans son premier ouvrage, le Mysterium cosmographicum. Ensuite, une étude des propos explicites de Kepler quant à la nature et au statut des hypothèses astronomiques est proposée via une étude de son traité intitulé Apologia pro Tychone contra Ursum. Une étude attentive des sources philosophiques, mathématiques et scientifiques ayant influencé Kepler pour sa nouvelle astronomie est ensuite proposée avant l’analyse détaillée des arguments scientifiques et des différentes étapes démonstratives qui sont présentés dans l’Astronomia nova. La deuxième partie vise à éclairer le débat sur l’abduction en se penchant d’abord sur trois approches traditionnelles (Platon, Aristote et Épicure) quant à la connaissance scientifique des phénomènes célestes permettant d’obtenir un discours vraisemblable ou une multiplicité d’explications concordantes avec les phénomènes. Enfin, quatre interprétations contemporaines et abductives du processus de découverte suivi par Kepler dans l’Astronomia nova sont présentées, reformulées et critiquées afin de proposer une nouvelle interprétation abductive laissant une plus grande place au projet même de construire une astronomie nouvelle fondée sur les causes. Cela nous donne des outils pour mieux saisir le sens et la portée de ce qui peut être désigné comme étant la « révolution képlérienne », soit le passage d’un système géocentrique à un système non pas simplement héliocentrique mais héliodynamique, ayant permis aux astronomes de s’affranchir du paradigme des orbites circulaires.

Problèmes de commande optimale stochastique généralisés

Cette thèse est divisée en deux grands chapitres, dont le premier porte sur des problèmes de commande optimale en dimension un et le deuxième sur des problèmes en dimension deux ou plus. Notons bien que, dans cette thèse, nous avons supposé que le facteur temps n'intervient pas. Dans le premier chapitre, nous calculons, au début, l'équation de programmation dynamique pour la valeur minimale F de l'espérance mathématique de la fonction de coût considérée. Ensuite, nous utilisons le théorème de Whittle qui est applicable seulement si une condition entre le bruit blanc v et les termes b et q associés à la commande est satisfaite. Sinon, nous procédons autrement. En effet, un changement de variable transforme notre équation en une équation de Riccati en G= F', mais sans conditions initiales. Dans certains cas, à partir de la symétrie des paramètres infinitésimaux et de q, nous pouvons en déduire le point x' où G(x')=0. Si ce n'est pas le cas, nous nous limitons à des bonnes approximations. Cette même démarche est toujours possible si nous sommes dans des situations particulières, par exemple, lorsque nous avons une seule barrière. Dans le deuxième chapitre, nous traitons les problèmes en dimension deux ou plus. Puisque la condition de Whittle est difficile à satisfaire dans ce cas, nous essayons de généraliser les résultats du premier chapitre. Nous utilisons alors dans quelques exemples la méthode des similitudes, qui permet de transformer le problème en dimension un. Ensuite, nous proposons une nouvelle méthode de résolution. Cette dernière linéarise l'équation de programmation dynamique qui est une équation aux dérivées partielles non linéaire. Il reste à la fin à trouver les conditions initiales pour la nouvelle fonction et aussi à vérifier que les n expressions obtenues pour F sont équivalentes.

Évaluation de la modélisation et des prévisions de la vitesse du vent menant à l'estimation de la production d'énergie annuelle d'une turbine éolienne

Suite à un stage avec la compagnie Hatch, nous possédons des jeux de données composés de séries chronologiques de vitesses de vent mesurées à divers sites dans le monde, sur plusieurs années. Les ingénieurs éoliens de la compagnie Hatch utilisent ces jeux de données conjointement aux banques de données d’Environnement Canada pour évaluer le potentiel éolien afin de savoir s’il vaut la peine d’installer des éoliennes à ces endroits. Depuis quelques années, des compagnies offrent des simulations méso-échelle de vitesses de vent, basées sur divers indices environnementaux de l’endroit à évaluer. Les ingénieurs éoliens veulent savoir s’il vaut la peine de payer pour ces données simulées, donc si celles-ci peuvent être utiles lors de l’estimation de la production d’énergie éolienne et si elles pourraient être utilisées lors de la prévision de la vitesse du vent long terme. De plus, comme l’on possède des données mesurées de vitesses de vent, l’on en profitera pour tester à partir de diverses méthodes statistiques différentes étapes de l’estimation de la production d’énergie. L’on verra les méthodes d’extrapolation de la vitesse du vent à la hauteur d’une turbine éolienne et l’on évaluera ces méthodes à l’aide de l’erreur quadratique moyenne. Aussi, on étudiera la modélisation de la vitesse du vent par la distributionWeibull et la variation de la distribution de la vitesse dans le temps. Finalement, l’on verra à partir de la validation croisée et du bootstrap si l’utilisation de données méso-échelle est préférable à celle de données des stations de référence, en plus de tester un modèle où les deux types de données sont utilisées pour prédire la vitesse du vent. Nous testerons la méthodologie globale présentement utilisée par les ingénieurs éoliens pour l’estimation de la production d’énergie d’un point de vue statistique, puis tenterons de proposer des changements à cette méthodologie, qui pourraient améliorer l’estimation de la production d’énergie annuelle.

A qualitative study of curriculum and instructional efforts in relation to high stakes federal and district policies in one low-performing elementary school

Les enjeux liés aux politiques éducatives ont considérablement changé au cours des dernières décennies. Ces changements sont liés, entre autres, à l’accroissement de l’imputabilité et de la reddition de compte qui est devenue une caractéristique importante des réformes curriculaires et pédagogiques. Les politiques à enjeux élevés exercent une pression énorme sur les districts et les écoles états-unienne afin qu’ils augmentent le rendement des élèves en utilisant des systèmes de conséquences (Hall & Ryan, 2011; Loeb & Strunk, 2007). Ces politiques envoient de puissants messages sur l'importance de certaines matières scolaires au détriment d'autres - circonscrivant les exigences en termes de compétences et de connaissances. La langue maternelle d’enseignement et les mathématiques sont devenues des mesures centrales sur lesquelles reposent l’évaluation et le degré de performance des districts et des écoles. Conséquemment, les administrateurs de districts et les directions d’écoles ont souvent recours à des réformes curriculaires et pédagogiques comme moyen d'augmenter le rendement des élèves dans les matières scolaires visées par ces politiques. Les politiques contraignent les acteurs scolaires de concentrer les ressources sur les programmes curriculaires et les évaluations, le développement professionnel, et la prise de décision pilotée par les données (Anagnostopoulos & Ruthledge, 2007; Honig & Hatch, 2004; Spillane, Diamond, et al., 2002; Weitz White & Rosenbaum, 2008). Cette thèse examine la manière dont les politiques à enjeux élevés opèrent quotidiennement dans les interactions et les pratiques au sein des écoles. Nous analysons plus particulièrement les différents messages provenant de la politique transmis aux acteurs scolaires sur les manières d'apporter des changements substantiels dans le curriculum et l'enseignement. Nous élargissons l’analyse en prenant en compte le rôle des administrateurs de district ainsi que des partenaires universitaires qui façonnent également la manière dont certains aspects des messages provenant des politiques sont transmis, négociés et/ou débattus et d’autres sont ignorés (Coburn & Woulfin, 2012). En utilisant l’analyse de discours, nous examinons le rôle du langage comme constituant et médiateur des interactions sociales entre les acteurs scolaires et d’autres parties prenantes. De telles analyses impliquent une investigation approfondie d’un nombre d’étude de cas limité. Les données utilisées dans cette thèse ont été colligées dans une école primaire états-unienne du mid-West. Cette étude de cas fait partie d’une étude longitudinale de quatre ans qui comprenait huit écoles dans les milieux urbains entre 1999 et 2003 (Distributed Leadership Studies, http://www.distributedleadership.org). La base de données analysée inclut des observations de réunions formelles et des entrevues auprès des administrateurs du district, des partenaires universitaires, de la direction d’école et des enseignants. En plus de l’introduction et de la problématique (chapitre 1) et de discussion et conclusion (chapitre 5), cette thèse comprend un ensemble de trois articles interdépendants. Dans le premier article (chapitre 2), nous effectuons une recension des écrits portant sur le domaine de l’implantation de politiques (policy implementation) et la complexité des relations locales, nationales et internationales dans les systèmes éducatifs. Pour démystifier cette complexité, nous portons une attention particulière à la construction de sens des acteurs scolaires comme étant une dimension clé du processus de mise en œuvre des réformes. Dans le deuxième article (chapitre 3), nous cherchons à comprendre les processus sociaux qui façonnent les réponses stratégiques des acteurs scolaires à l’égard des politiques du district et de l’état et en lien avec la mise en œuvre d’un curriculum prescrit en mathématiques. Plus particulièrement, nous explorons les différentes situations dans lesquelles les acteurs scolaires argumentent au sujet des changements curriculaires et pédagogiques proposés par les administrateurs de district et des partenaires universitaires afin d’augmenter les résultats scolaires en mathématiques dans une école à faible performance. Dans le troisième article (chapitre 4), nous cherchons à démystifier les complexités liées à l’amélioration de l’enseignement dans un environnement de politiques à enjeux élevés. Pour ce faire, nous utilisons l'interaction entre les notions d'agentivité et la structure afin d'analyser la manière dont les conceptions d’imputabilité et les idées qui découlent de l'environnement politique et les activités quotidiennes jouent dans les interactions entre les acteurs scolaires concernant sur l’enseignement de la langue maternelle. Nous explorons trois objectifs spécifiques : 1) la manière dont les politiques à enjeux élevés façonnent les éléments de l’enseignement qui sont reproduits et ceux qui sont transformés au fil du temps ; 2) la manière dont la compréhension des leaders de l’imputabilité façonne les aspects des messages politiques que les acteurs scolaires remarquent à travers les interactions et les conversations et 3) la manière les acteurs scolaires portent une attention particulière à certaines messages au détriment d’autres. Dans le dernier chapitre de cette thèse, nous discutons les forces et les limites de l’analyse secondaire de données qualitatives, les implications des résultats pour le domaine d’études de l’implantation de politiques et les pistes futures de recherches.

L'Approximation diophantienne simultanée et l'optimisation discrète

Étant donnée une fonction bornée (supérieurement ou inférieurement) $f:\mathbb{N}^k \To \Real$ par une expression mathématique, le problème de trouver les points extrémaux de $f$ sur chaque ensemble fini $S \subset \mathbb{N}^k$ est bien défini du point de vu classique. Du point de vue de la théorie de la calculabilité néanmoins il faut éviter les cas pathologiques où ce problème a une complexité de Kolmogorov infinie. La principale restriction consiste à définir l'ordre, parce que la comparaison entre les nombres réels n'est pas décidable. On résout ce problème grâce à une structure qui contient deux algorithmes, un algorithme d'analyse réelle récursive pour évaluer la fonction-coût en arithmétique à précision infinie et un autre algorithme qui transforme chaque valeur de cette fonction en un vecteur d'un espace, qui en général est de dimension infinie. On développe trois cas particuliers de cette structure, un de eux correspondant à la méthode d'approximation de Rauzy. Finalement, on établit une comparaison entre les meilleures approximations diophantiennes simultanées obtenues par la méthode de Rauzy (selon l'interprétation donnée ici) et une autre méthode, appelée tétraédrique, que l'on introduit à partir de l'espace vectoriel engendré par les logarithmes de nombres premiers.