Géométrie nodale et valeurs propres de l’opérateur de Laplace et du p-laplacien

La présente thèse porte sur différentes questions émanant de la géométrie spectrale. Ce domaine des mathématiques fondamentales a pour objet d'établir des liens entre la géométrie et le spectre d'une variété riemannienne. Le spectre d'une variété compacte fermée M munie d'une métrique riemannienne $g$ associée à l'opérateur de Laplace-Beltrami est une suite de nombres non négatifs croissante qui tend vers l’infini. La racine carrée de ces derniers représente une fréquence de vibration de la variété. Cette thèse présente quatre articles touchant divers aspects de la géométrie spectrale. Le premier article, présenté au Chapitre 1 et intitulé « Superlevel sets and nodal extrema of Laplace eigenfunctions », porte sur la géométrie nodale d'opérateurs elliptiques. L’objectif de mes travaux a été de généraliser un résultat de L. Polterovich et de M. Sodin qui établit une borne sur la distribution des extrema nodaux sur une surface riemannienne pour une assez vaste classe de fonctions, incluant, entre autres, les fonctions propres associées à l'opérateur de Laplace-Beltrami. La preuve fournie par ces auteurs n'étant valable que pour les surfaces riemanniennes, je prouve dans ce chapitre une approche indépendante pour les fonctions propres de l’opérateur de Laplace-Beltrami dans le cas des variétés riemanniennes de dimension arbitraire. Les deuxième et troisième articles traitent d'un autre opérateur elliptique, le p-laplacien. Sa particularité réside dans le fait qu'il est non linéaire. Au Chapitre 2, l'article « Principal frequency of the p-laplacian and the inradius of Euclidean domains » se penche sur l'étude de bornes inférieures sur la première valeur propre du problème de Dirichlet du p-laplacien en termes du rayon inscrit d’un domaine euclidien. Plus particulièrement, je prouve que, si p est supérieur à la dimension du domaine, il est possible d'établir une borne inférieure sans aucune hypothèse sur la topologie de ce dernier. L'étude de telles bornes a fait l'objet de nombreux articles par des chercheurs connus, tels que W. K. Haymann, E. Lieb, R. Banuelos et T. Carroll, principalement pour le cas de l'opérateur de Laplace. L'adaptation de ce type de bornes au cas du p-laplacien est abordée dans mon troisième article, « Bounds on the Principal Frequency of the p-Laplacian », présenté au Chapitre 3 de cet ouvrage. Mon quatrième article, « Wolf-Keller theorem for Neumann Eigenvalues », est le fruit d'une collaboration avec Guillaume Roy-Fortin. Le thème central de ce travail gravite autour de l'optimisation de formes dans le contexte du problème aux valeurs limites de Neumann. Le résultat principal de cet article est que les valeurs propres de Neumann ne sont pas toujours maximisées par l'union disjointe de disques arbitraires pour les domaines planaires d'aire fixée. Le tout est présenté au Chapitre 4 de cette thèse.

Geometrical wave equation and the cauchy-like theorem for octonions

Riemann surfaces, cohomology and homology groups, Cartan's spinors and triality, octonionic projective geometry, are all well supported by Complex Structures [1], [2], [3], [4]. Furthermore, in Theoretical Physics, mainly in General Relativity, Supersymmetry and Particle Physics, Complex Theory Plays a Key Role [5], [6], [7], [8]. In this context it is expected that generalizations of concepts and main results from the Classical Complex Theory, like conformal and quasiconformal mappings [9], [10] in both quaternionic and octonionic algebra, may be useful for other fields of research, as for graphical computing enviromment [11]. In this Note, following recent works by the autors [12], [13], the Cauchy Theorem will be extended for Octonions in an analogous way that it has recentely been made for quaternions [14]. Finally, will be given an octonionic treatment of the wave equation, which means a wave produced by a hyper-string with initial conditions similar to the one-dimensional case.

The closed-string 3-loop amplitude and S-duality

Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP)

Gaiotto duality for the twisted A(2N-1) series

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)

Monodromy calculations for some differential equations

In vielen Teilgebieten der Mathematik ist es w"{u}nschenswert, die Monodromiegruppe einer homogenen linearen Differenzialgleichung zu verstehen. Es sind nur wenige analytische Methoden zur Berechnung dieser Gruppe bekannt, daher entwickeln wir im ersten Teil dieser Arbeit eine numerische Methode zur Approximation ihrer Erzeuger.rnIm zweiten Abschnitt fassen wir die Grundlagen der Theorie der Uniformisierung Riemannscher Fl"achen und die der arithmetischen Fuchsschen Gruppen zusammen. Auss erdem erkl"aren wir, wie unsere numerische Methode bei der Bestimmung von uniformisierenden Differenzialgleichungen dienlich sein kann. F"ur arithmetische Fuchssche Gruppen mit zwei Erzeugern erhalten wir lokale Daten und freie Parameter von Lam'{e} Gleichungen, welche die zugeh"origen Riemannschen Fl"achen uniformisieren. rnIm dritten Teil geben wir einen kurzen Abriss zur homologischen Spiegelsymmetrie und f"uhren die $widehat{Gamma}$-Klasse ein. Wir erkl"aren wie diese genutzt werden kann, um eine Hodge-theoretische Version der Spiegelsymmetrie f"ur torische Varit"aten zu beweisen. Daraus gewinnen wir Vermutungen "uber die Monodromiegruppe $M$ von Picard-Fuchs Gleichungen von gewissen Familien $f:mathcal{X}rightarrow bbp^1$ von $n$-dimensionalen Calabi-Yau Variet"aten. Diese besagen erstens, dass bez"uglich einer nat"urlichen Basis die Monodromiematrizen in $M$ Eintr"age aus dem K"orper $bbq(zeta(2j+1)/(2 pi i)^{2j+1},j=1,ldots,lfloor (n-1)/2 rfloor)$ haben. Und zweitens, dass sich topologische Invarianten des Spiegelpartners einer generischen Faser von $f:mathcal{X}rightarrow bbp^1$ aus einem speziellen Element von $M$ rekonstruieren lassen. Schliess lich benutzen wir die im ersten Teil entwickelten Methoden zur Verifizierung dieser Vermutungen, vornehmlich in Hinblick auf Dimension drei. Dar"uber hinaus erstellen wir eine Liste von Kandidaten topologischer Invarianten von vermutlich existierenden dreidimensionalen Calabi-Yau Variet"aten mit $h^{1,1}=1$.

Quasi-isometries and isoperimetric inequalities

We consider the stability of isoperimetric inequalities under quasi-isometries between Riemann surfaces. Kanai observed that quasi-isometries preserve isoperimetric inequalities on complete Riemannian manifolds with finite geometry: positive injectivity radius and Ricci curvature bounded from below (see [2]). In [1], it is shown that the linear isoperimetric inequality is a quasi-isometric invariant for planar Riemann surfaces (genus zero surfaces) with vanishing injectivity radius. Moreover, it is proved that non-linear isoperimetric inequalities can only hold for Riemann surfaces with positive injectivity radius, and hence, by Kanai's observation, preserved by quasi-isometries. In this talk we present an overview on isoperimetric inequalities and give some of the ideas of the proofs of the results cited above.

Zur Theorie der Functionen in einer zweiblättrigen Fläche.

Mode of access: Internet.

Riemannian geometry.

Bibliography: p. [289]-300.

Séries universelles dans CN et sur les surfaces de Riemann non compactes

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Flat connections, geometric invariants and the symplectic nature of the fundamental group of surfaces

In this paper we associate a new geometric invariant to the space of fiat connections on a G (= SU(2))-bundle on a compact Riemann surface M and relate it tcr the symplectic structure on the space Hom(pi(1)(M), G)/G consisting of representations of the fundamental group pi(1)(M) Of M into G module the conjugate action of G on representations.

Some surface profiles of a strip after plane-strain indentation by rigid bodies with serrated surfaces

This paper is concerned with the surface profiles of a strip after rigid bodies with serrated (saw-teeth) surfaces indent the strip and are subsequently removed. Plane-strain conditions are assumed. This has application in roughness transfer of final metal forming process. The effects of the semi-angle of the teeth, the depth of indentation and the friction on the contact surface on the profile are considered.