Un estudio sobre la desarticulación entre la semejanza y la trigonometría en el bachillerato

Se reporta parte de una investigación que trata sobre el estudio local de la proporcionalidad geométrica y su articulación con el resto de los temas –particularmente la trigonometría– que conforman el curso de Matemáticas III del plan de estudios de escuelas preparatorias incorporadas a la Universidad de Sonora. En este extracto, se proponen algunos constructos de la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) que fundamentaron el estudio, y que en este documento tienen el propósito de darle sentido a la presentación del Marco Epistemológico de Referencia, el cual fue pieza clave en el estudio mencionado, tanto para determinar el nivel de articulación existente, como para contar con una base para proponer acciones específicas acordes a la articulación propuesta, de tal modo que mediante ellas fuera factible una construcción funcional de los conocimientos geométricos.

Una ingeniería didáctica para calcular el volumen del icosaedro

Los 5 poliedros regulares han sido modelo de la ciencia para los griegos y modelo de la astronomía para Kepler. Sin embargo, a pesar de su gran valor epistemológico su estudio es normalmente muy superficial en los cursos de Secundaria. Hace 20 años me formulé esta sencilla pregunta: ¿Cómo podemos calcular el volumen del icosaedro y del dodecaedro regular, conociendo solamente la medida de la arista? Esta pregunta dio lugar a una fascinante investigación, que comenzó en la búsqueda de diferentes medios para construir poliedros (se puede ver en la foto de la derecha un modelo a usar durante el taller) , un trabajo muy interesante con el álgebra de los irracionales cuadráticos, el uso de la trigonometría y el descubrimiento de varias y sorpresivas propiedades geométricas relacionadas algunas con el número áureo. Durante el curso los participantes aprenderán a construir, con regla y compás el pentágono regular(comenzando con su lado) , de la forma más simple y exacta, con su justificación paso a paso. Esto es imprescindible ya que en ambos el icosa y el dode hay numerosos pentágonos regulares. Este curso o taller es tan sólo un pequeño paseo en el increíble mundo de los 5 poliedros regulares, un mundo lleno de tesoros matemáticos, un mundo que espera a ser explorado y descubierto.

De la generación espontánea de las fórmulas de volumen a su construcción

En la primera parte del artículo el autor muestra que las fórmulas de volumen del prisma, pirámide y esfera no se justifican adecuadamente a los estudiantes. Esta afirmación la sustenta a partir de un análisis sucinto de lo que aparece en los textos que tradicionalmente dominan la enseñanza y de su experiencia como docente. En la segunda parte da a conocer una propuesta para construir las fórmulas del volumen de un prisma y una pirámide cualquiera; del área del círculo y la semiesfera y con base en esta última, obtener la del volumen de la esfera. Termina con la descripción de las ventajas de la estrategia.

La geometría dinámica con CABRI II

La utilización de una herramienta nueva, de cualquier tipo que sea, necesita de una reflexión sobre lo que hacemos, muchas veces cambia nuestro modo de trabajar (actitud) y hace surgir problemas sobre las verdades que teníamos. En matemática los conocimientos utilizados pueden ser diferentes: comparar una construcción geométrica con regla y compás o con regla y escuadra (mecánica) o solamente con compás. En este curso se explora de manera activa el software Cabri II. En una primera etapa se realiza la construcción de triángulos -sus elementos secundarios- y circunferencias inscritas y circunscritas así como exploraciones de simetría. En una segunda etapa se elaboran macro construcciones o construcciones que podemos grabar, para luego reutilizar en figuras más complejas, sin necesidad de rehacerlas. A través de la exploración ya descrita se reflexiona sobre el aporte de esta herramienta al quehacer pedagógico y/o científico. El uso del software es muy cercano a la forma de pensar en la geometría clásica, lo que permite a los estudiantes acercarse a esta disciplina y hacer conjeturas. Corresponde advertir que, como Cabri II no es un software de dibujo ni de demostración sino que está basado en un ambiente numérico, hay errores de aproximación. aunque leves. Se inicia el curso explicando brevemente el funcionamiento del software Cabri II para pasar a realizar actividades de construcción y comprobación de relaciones geométricas.

El sorprendente número pi

Parece increíble que algo aparentemente tan sencillo como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro haya preocupado al hombre desde la más remota antigüedad hasta el presente más actual. A unos, porque han querido aprender sus cifras de memoria y, a otros, porque han querido conocer todas sus cifras con exactitud, lo cierto es que siempre el número pi ha estado presente en el pensamiento de la especie humana.

¿Es posible? ¿Es deseable? especificar las competencias esperadas al final de la formación

A partir del inicio del curso 87-88, un nuevo programa de matemáticas se puso en práctica en los colegios franceses. (87/88 para la clase (le 6°, 88/89 para la clase de 5°. etc ...) Hasta el momento presente, los programas venían etiquetados en términos de contenidos que había que enseñar, eventualmente acompañados por consideraciones generales relativas a los fines y objetivos globales. Estos programas describían más el comportamiento esperado del enseñante (defendiéndose de ellos como podía) que el del alumno.

Análisis de los grafismos conducentes al dibujo y a la escritura en las edades de 3, 4 y 5 años.

Abordar el nacimiento y desarrollo de los primeros trazados del niño, habitualmente conocidos como garabatos, dentro de los cuales es posible discernir aquellos que configurarán un lenguaje gráfico básico de comunicación, que se manifestará en los primeros dibujos infantiles y en la escritura, dentro del trazado de las letras manuscritas, tanto mayúsculas como minúsculas. Los sujetos de la investigación son niños y niñas del tramo de Educación Infantil, con edades medias de 3, 4 y 5 años. Su número por curso oscilaba entre 24-25. Las pruebas se agrupan en cinco grandes bloques: 1.- Grafismos 2.- Relaciones geométricas 3.- Relación garabato-escritura 4.-Dibujo 5.- Escritura. A lo largo de los dos años se realizan 25 pruebas con 79 aplicaciones y con un total de 1.715 láminas realizadas por los niños: 15 de ellas con criterios de tipo cuantitativo-estadístico y 10 con un enfoque de corte eminentemente cualitativo. El amplio número de pruebas responde, por un lado, a la necesidad de variar las actividades ante los niños de edades pequeñas y, por otro, a la de alcanzar con cierto rigor conclusiones que estén suficientemente fundamentadas tanto cualitativa como cuantitativamente. Las conclusiones responden a los tres bloques de los objetivos planteados como respuesta final a las interrogantes que han marcado este trabajo 1.- Grafismos 2.- Dibujo 3.- Escritura. Se llega a sólidas conclusiones referidas tanto a los aspectos psicomotores en la gestación de los garabatos, como en las formas de representación de los dibujos y de la escritura, sistemas expresivos y comunicativos fuertemente entrelazados en los inicios del aprendizaje infantil.

Las Matemáticas como herramienta de conocimiento de Cantabria.

Este Proyecto se realizará en el Centro Educativo Castroverde, de Santander. Los objetivos de este Proyecto son los siguientes: Diseñar y desarrollar un CD-Rom interactivo como tutorial de los contenidos señalados en Matemáticas de primero de ESO. Utilizar el CD como complemento educativo en el Área de Matemáticas. Analizar las cualidades educativas de este formato educativo y buscar la implementación más eficaz en el contexto escolar. Los objetivos específicos del área de Matemáticas desarrollados en el CD-Rom, son estos: Incorporar la terminología matemática al lenguaje habitual, con el fin de mejorar el rigor y la precisión en la comunicación. Identificar e interpretar los elementos matemáticos presentes en la información que llega del entorno, analizando críticamente el papel que desempeñan. Incorporar los números enteros al campo numérico conocido y profundizar en el conocimiento de las operaciones con números decimales y fracciones. Conocer estrategias de cálculo mental y de estimación de medidas. Iniciar el estudio de las relaciones numéricas de divisibilidad y de proporcionalidad, incorporando los recursos que ofrecen a la resolución de probemas aritméticos. Utilizar con soltura el Sistema Métrico Decimal. Identificar los elementos, las formas y figuras planas, analizando sus propiedades y relaciones geométricas. Iniciar la utilización de formas de pensamiento lógico en la resolución de problemas. Utilizar estrategias de elaboración personal para el análisis de situaciones concretas y la resolución de problemas. Organizar y relacionar informaciones diversas de cara a la consecución de un objetivo o la resolución de un problema, ya sea del entorno de las matemáticas o de la vida cotidiana. Reconocer la realidad como diversa y susceptible de ser interpretada desde distintos puntos de vista y analizada según diversos criterios y grados de profundidad.

Equivalencia entre cualquier polígono regular o irregular y un triángulo equilátero.

Resumen basado en el de la publicación

Desarrollo de materiales para la geometría en Secundaria.

Se continúa el proyecto iniciado en 1996-97, revisando los materiales elaborados en ese curso para la enseñanza y aprendizaje de la Geometría en tercero de la ESO. Se elaboran materiales para cuarto de la ESO siguiendo los mismos criterios de utilización del odenador y los medios audiovisuales y la atención a la diversidad en el aula. Se inicia el estudio de las posibilidades didácticas en el primer ciclo de la ESO. De los objetivos destacan la elaboración de estrategias personales para el análisis de situaciones concretas y resolver problemas; la identificación de las formas y relaciones espaciales que se presentan en la realidad, analizando las propiedades y relaciones geométricas implicadas. Se trabaja en equipo para la elaboración y revisión de los materiales, e individualmente para las actividades con el software. Se evalúa la adecuación a los conocimientos previos del alumnado, las dificultades técnicas de la utilización del software, la coherencia en el desarrollo de los contenidos, y la capacidad para resolver problemas.

Arte y matemáticas.

El proyecto propone una investigación de la geometría en las creaciones artísticas. Los objetivos son identificar formas y relaciones geométricas en la historia de la creación artística; analizar la obra de arte en su totalidad con la ayuda de otras ciencias; descubrir que la característica fundamental del número de oro es la belleza; adquirir un vocabulario básico y elemental; y descubrir y analizar los planteamientos matemáticos que subyacen en la obra de Le Corbusier, Mondrian y Oteiza. Para ello, los profesores estudian y debaten contenidos matemáticos y artísticos, y elaboran materiales didácticos. Los alumnos elaboran trabajos en grupo que son expuestos; trabajan las proporciones en esculturas, cuadros y edificios, y realizan murales con objetos relacionados con la sección áurea; se presentan al concurso de fotografía matemática; estudian in situ las obras de arte del entorno; y visitan el Museo Thyssen. Se evalúa la participación e implicación, la consecución de objetivos y la repercusión en el centro. Incluye ejercicios, fichas de trabajo y los informes de evaluación.

La geometría del plegado.

La obra es un manual de geometría euclídea, para profesores, con el objetivo de acercar dicha materia a alumnos-as de secundaria, mediante una serie de actividades guiadas, de carácter práctico, utilizando ejemplos con papel plegado. Con ello se pretende que el nuevo currículum de matemáticas, en el que la geometría es uno de los pilares fundamentales, se consolide y se valore la relación entre el espacio y las relaciones geométricas, de forma comprensiva y didáctica. Todas las propuestas de trabajo se organizan mediante ejercicios guiados con formatos en papel para ser desarrollados en forma de trabajo manual..

Estructuras espaciales desmontables y desplegables. Estudio de la obra del arquitecto Emilio Pérez Pinero.

La presente tesis estudia las realizaciones del arquitecto Emilio Pérez Pinero, todas dentro de las estructuras espaciales de barras desmontables y desplegables, elabora la documentación que hace transmisible su investigación y generaliza el estudio del comportamiento en la parcela de las desplegables. La obra de este arquitecto forma un conjunto original, atractivo y sin continuadores, y por otra parte, no abundan las" investigaciones sobre este tipo de estructuras ( mucho menos las realizaciones), en las que hay que resolver tanto su definición como su movilidad y comportamiento estructural. El contenido de la parte correspondiente a las estructuras desmontables se limita a las cúpulas reticuladas de una capa, con el sistema de reticulado y montaje ideado por Pinero, por considerar que se debe documentar su aportación pero no incidir mas en un campo de investigación que cuenta con abundantes estudios. Se aporta la solución matemática y un programa de ordenador para la definición geométrica completa del reticulado empleado. Las estructuras desplegables se caracterizan por el empleo de barras dispuestas en "x" en el espesor de la estructura, con generación de superficies tanto planas como curvas. En ambos casos se analiza la movilidad en fase de mecanismo, tanto a las soluciones de Pinero como a las complementarlas que se exponen. Se estudian las relaciones geométricas que deben de cumplirse para que sea posible el movimiento de las barras, relaciones particularmente complejas en las desplegables según superficies esféricas, y que determinan su definición geométrica. En la fase de estructura, además de analizar lo realizado por Pinero, documentando y definiendo sus componentes, se proponen varias estructuras posibles para cada mecanismo, y se desarrolla en detalle el tipo de los emparrillados de canto constante, donde se incluye un estudio comparativo de nueve variantes distintas. Se muestra el amplio campo de uso posible para estas estructuras. ABSTRACT The • present doctoral dissertation studies the work of de spanish architect Emilio Pérez Pinero, all of it within de field of spatial demountable and deployable structures. This contribution compiles the necessary documentation for research in this field and, besides, generalizes the theoretical background for the analysis of this type of structures. Pérez Pinero's contributions are original and attractive, but, so far, he has not any followers ; on the other hand research in this field is scarce (much less actual realizations). In the part corresponding to demountable structures the research is limited to reticulated domes of only one layer, following Pérez Pinero's sys~ tem, trying to give a comprehensive documentation of it. The mathematical solution is given and so is a computer program for the complete definition of the geometry of the structure. One characteristic of deployable structures is the use of struts placed - formix "X" in the thickness of the structure, making possible the generation of plañe as well as curved surfaces. In both cases, the operation in the phase of mechanism is studied, both fot Pinero's solution and for the other schemes presented. The geometrical relationships that must be maintained in order to guarantee strut's movements, are studied; these relationships are particularly complex in the case of spherical surfaces, and, in this last casey determine completely its geometrical definition. In regard of the structure behaviour, besides analysing Pinero's works, a variety of solutions are proposed for each mechanism. Particularly, the configuration for double layer grids of constant thickness is developed with great detall, and a comparative study of nine different solutions of this special case is included. A wide range of the possible applications of this structural type is shown.

Estudio de los mecanismos de inestabilidad en taludes y laderas del Flysch carbonatado de Alicante

Este trabajo de investigación, centrado en el Flysch carbonatado de Alicante, tiene como objetivos principales caracterizar los mecanismos de inestabilidad que afectan a los taludes de estas formaciones carbonatas heterogéneas, evaluar las medidas correctivas implementadas, y por último, caracterizar comportamiento diferencial frente a la degradación ambiental de las diferentes litologías aflorantes. Para ello, se ha realizado un extenso inventario de 194 taludes, permitiendo generar una base de datos que incluye las litologías, su competencia y la posición relativa entre ellas, las relaciones geométricas entre talud y estratificación y los mecanismos de inestabilidad asociados. También se han inventariado las medidas correctivas observadas y la valoración de su efectividad, ligadas al tipo de afloramiento y sus inestabilidades asociadas. Asimismo, se ha caracterizado el comportamiento frente al slaking de la roca matriz a través de cinco ciclos de slake, basado en los índices Id1, Id5, y en el Index of Weathering propuesto (IW5). Estos parámetros, junto con la identificación litológica y las propiedades mecánicas de las litologías representativas de la zona de estudio han permitido caracterizar su comportamiento frente a la degradación ambiental, que además ha sido relacionado con los patrones, longitudes y tasas de degradación observados in situ. Como resultado de lo anteriormente expuesto, este trabajo proporciona unas nuevas herramientas básicas, que pueden utilizarse fácilmente en fases de anteproyecto, para conocer los mecanismos de inestabilidad, el comportamiento frente a la degradación ambiental, así como recomendar las medidas correctivas adecuadas en estos taludes, u otros de características similares.

La educación de las relaciones espaciales en el niño deficiente mental.

La investigación analiza la educación de las relaciones espaciales en el niño deficiente mental. Hipótesis: a) Los sujetos que reciban un programa educativo adecuado a su estado evolutivo mejorarán su capacidad de representación del espacio topológico: lograrán una más rápida y mejor construcción de las relaciones más simples de la concepción espacial según la génesis propuesta por J. Piaget; b) Los sujetos deficientes mentales son capaces de desarrollar sus potencialidades de representación del espacio topológico si se les aplica un programa educativo adecuado a su capacidad intelectual. Los sujetos estudiados son niños de edades cronológicas situadas entre los 7 y los 10 años, que presentan un nivel evolutivo en la representación de las relaciones topológicas del primer y segundo estadio del período preoperacional según Piaget e Inhelder. La población la componen 26 sujetos de estas características, de entre los que, de forma aleatoria se seleccionaron 14, utilizando una tabla de números aleatorios, que componían la muestra de sujetos experimentales. Variables independientes: a) Capacidad mental del sujeto y b) Programa educativo propuesto por el investigador. Variable dependiente: nivel de desarrollo en la representación del espacio topológico del niño, que vendrá determinado y cuantificado por los resultados obtenidos en las pruebas operatorias que enuncian Piaget e Inhelder para el análisis genético de las relaciones constitutivas del espacio topológico. Las pruebas utilizadas son: a) Relaciones de vecindad medidas por una prueba de percepción háptica; b) Relaciones de separación medidas por una prueba de dibujo de figuras geométricas simples; c) Relaciones de orden medidas por una prueba de seriación y reunión y d) Relaciones de envolvimiento medidas por una prueba de nudos. Las pruebas se aplicaron durante 66 sesiones, con una duración que oscilaba entre 45 y 60 minutos. Se siguió esta cronología: a) Pre-test: antes de iniciar la aplicación del programa para conocer y determinar el nivel de desarrollo de las relaciones topológicas en la concepción espacial de los sujetos; b) Test: tras la aplicación del programa para comprobar la evaluación, tanto del grupo experimental como del grupo de control; c) Re-test: transcurridos 40 días desde la aplicación del test, para comprobar la estabilidad de los resultados. Se concluye que la variable 'programa educativo' provoca un aumento estadísticamente significativo en la evolución general de las relaciones constitutivas del espacio topológico en los niños del período pre-operacional. El resultado del análisis pone de relieve la importancia de aplicar un proceso educativo adecuado a los sujetos deficientes, que provoque un progreso en su desarrollo intelectual. a) La aplicación del programa educativo experimental repercute positivamente en la construcción de las relaciones espaciales en el niño del período pre-operacional; b) En el caso de aplicar el programa a niños con retraso intelectual se produce un aceleramiento significativo en la evolución de sus estructuras mentales hasta el punto que llega a ser superior al observado en niños normales de su mismo nivel inicial, pero que no han recibido el programa propuesto y c) Se constata que los resultados obtenidos tras la aplicación del programa se mantienen estables según la prueba de re-test efectuada tras un período considerable de tiempo sin la influencia de la programación especial y ello tanto en los sujetos del área de pre-escolar como en los del área de nivelación.