Cálculo mental com números racionais não negativos: um estudo sobre as estratégias utilizadas por alunos do 4.º ano de escolaridade

Relatório Final apresentado à Escola Superior de Educação de Lisboa para a obtenção de grau de mestre em Ensino do 1.º e 2.º Ciclo do Ensino Básico

A teaching-learning sequence of colour informed by history and philosophy of science

In this work, we present a teaching-learning sequence on colour intended to a pre-service elementary teacher programme informed by History and Philosophy of Science. Working in a socio-constructivist framework, we made an excursion on the history of colour. Our excursion through history of colour, as well as the reported misconception on colour helps us to inform the constructions of the teaching-learning sequence. We apply a questionnaire both before and after each of the two cycles of action-research in order to assess students’ knowledge evolution on colour and to evaluate our teaching-learning sequence. Finally, we present a discussion on the persistence of deep-rooted alternative conceptions.

A didactic sequence of elementary geometric optics Informed by history and philosophy of science

The concepts and instruments required for the teaching and learning of geometric optics are introduced in the didactic processwithout a proper didactic transposition. This claim is secured by the ample evidence of both wide- and deep-rooted alternative concepts on the topic. Didactic transposition is a theory that comes from a reflection on the teaching and learning process in mathematics but has been used in other disciplinary fields. It will be used in this work in order to clear up the main obstacles in the teachinglearning process of geometric optics. We proceed to argue that since Newton’s approach to optics, in his Book I of Opticks, is independent of the corpuscular or undulatory nature of light, it is the most suitable for a constructivist learning environment. However, Newton’s theory must be subject to a proper didactic transposition to help overcome the referred alternative concepts. Then is described our didactic transposition in order to create knowledge to be taught using a dialogical process between students’ previous knowledge, history of optics and the desired outcomes on geometrical optics in an elementary pre-service teacher training course. Finally, we use the scheme-facet structure of knowledge both to analyse and discuss our results as well as to illuminate shortcomings that must be addressed in our next stage of the inquiry.

Matemática na hora do conto

Este artigo procura realçar que, através da conexão entre a literatura e a matemática, se podem criar situações em que as crianças abordem conceitos matemáticos de uma forma significativa permitindo que as habilidades matemáticas e as de linguagem se desenvolvam em conjunto. Uma das formas mais significativas de se construir conhecimento matemático é resolver problemas e desafios, tão comuns nos contos infantis. Apresentamos duas situações, que se enquadram nesta perspetiva pedagógica. Em ambas as situações foi usado um conto como ponto de partida para a construção de atividades matemáticas e tendo presente uma visão construtivista do ensino da matemática.

Els llibres de text de matemàtiques en llengua catalana durant el periode 1899-1938

Les investigacions que tracten d'una manera sistematica l'estudi deis llibres de text de matematiques antics són escasses. Hi ha un projecte internacional ambiciós sobre I'analisi comparativa deis manual s més significatius deis diferents pa'isos europeus deis segles XVIII i XIX. Si ens cenyim a l'Estat espanyol, s'estan realitzant investigacions sobre els programes i textos matematics corresponents a l'ensenyament secundari del segle XIX. Tot i així, manquen estudis que facin referencia a I'ensenyament primari i a I'ensenyament professional, i ens trobem que on hi ha més mancana és en la labor de base, és a dir, en la recopilació completa i l'analisi deis textos. Aquesta labor es troba aturada per la dificultat de poder accedir a aquest material.

Matemàtiques a distància: anàlisi de dues experiències

Els invents del teléfon i la televisió i la feina deis carters van popularitzar un treball de formació anomenat usualment ensenyament per correspondencia. Amb aixb es tractava d'eixamplar I'educació per a tothom qui no pogués seguir el ritme de I'escola oficial. Ara, I'ús de la informatica ens permet anar més Iluny i parlem d'educació a distancia i telematica educativa (vegeu el monografic TE, 16). En particular, fer matematiques a distancia té com a objectiu facilitar I'accés a processos formatius a una part de la població que, d'altra forma, tindria dificultats per fer-ho: malalts, persones grans, interns a les presons, etc.

Crònica d'una reforma: Curricula de matemàtiques

L'any 2000 -Any Internacional de les Matematiques- ha provocat i provocara multitud d'actes, publicacions, jornades i congressos promoguts pels qui les valoren i les estimen, amb la intenció d'apropar-Ies a la major quantitat de gent possible. Per aquest col·lectiu, les matematiques són una manifestació cultural i, com a tal, patrimoni de la humanitat. Si qualsevol moment és bo per meditar sobre el passat, el present i el futur, ara és un moment ideal per fer-ho sobre I'educació matematica en el nostre país, amb una reforma educativa en marxa. El present de I'ensenyament de les matematiques és extremadament divers, cosa que fa impossible una descripció acurada d'on som i cap a on anem. Pero tot present té un passat proper que ajuda a entendre'l i que dóna eines per prendre decisions de cara al futuro La meva implicació en el procés de la reforma educativa que s'esta duent a terme m'impossibilita de fer-ne una descripció plenament objectiva, així que donaré la meva visió personal d'aquest projecte tan complex amb la intenció de proporcionar, d'una banda, informació sobre alguns fets rellevants i, de I'altra, elements de reflexió sobre el que pot representar per a l'estament educatiu el camí cap a la renovació professional. En aquest itinerari m'aturaré en les causes de la reforma, les intencions i les condicions per a I'éxit. Les consideracions sobre el passat que no es vol que torni i I'analisi que farem del present portara de manera natural a les propostes per al futuro.

L'error com a forma de coneixement

" Has comes un error" . " Estas en un error" . " És un error votar aquest parti!" . " És un error votar" . " És un error afirmar que 2 + 3 = 9" . " És un error afirmar que és un error afirmar que 2 + 3 = 5" . " És un error afirmar que, quan dividim, sempre obtenim un nombre més petit" . " És un error que l'existencia precedeixi l'essencia" . " És un error que vulguis enganyar-me" . " És un error afirmar que a = a" ... i així fins a acomplir les il'limitades possibilitats del llenguatge. Qualsevol judici, en la mesura que té un significat, en la mesura que és assertori, és susceptible de ser erroni, de ser fals. Peró, l'error té sempre la mateixa qualitat? Us hem proposat un reguitzell d'exemples. És obvi (si excloem la mentida, que no és error, sinó mentida) que el significat d'" error" (o el seu valor) no és identic en tots els casos.

Un estudio comparado de las actitudes hacia la estadística en profesores en formación y en ejercicio

En este trabajo presentamos los resultados de una escala de actitudes en una muestra de 66 profesores en ejercicio y 74 profesores en educación infantil y primaria. No encontramos diferencias por géneros, aunque sí una mejoría en aquellos alumnos que estudiaron estadística previamente. La actitud es algo mejor en los profesores en ejercicio, aunque tiende a empeorar con el uso o la enseñanza de la estadística. Pensamos que estos resultados sugieren la dificultad que tiene dicha materia para los profesores y la necesidad de apoyo que éstos deberían recibir desde los departamentos de didáctica y tas facultades de educación.

La Superación de la Adversidad en el Aprendizaje Matemático

Superar la adversidad en el ámbito de la formación matemática tiene una traducción inmediata: la resolución de problemas. Un problema es un obstáculo a superar sin conocer una estrategia de antemano. Su resolución requiere de la creatividad una combinación adecuada de propiedades, relaciones y datos. A pesar de que la argumentación se rija por la lógica, ésta no sirve para llegar a la solución, no es suficiente. Para mejorar esta capacidad de superar adversidades, sería necesario programar una serie de actividades pero siempre respetando los diferentes ritmos de aprendizaje, en función del conocimiento, actitud e implicación. Si se consigue motivar al alumnado, se conseguirá una mayor implicación por parte de éste. Consecuentemente, aumentará el aprendizaje en estrategias de resolución. Estas estrategias solucionarán problemas particulares, pero aportarán un importante bagaje de cara a nuevos problemas.

Abnormal Error Monitoring in Math-Anxious Individuals: Evidence from Error-Related Brain Potentials.

This study used event-related brain potentials to investigate whether math anxiety is related to abnormal error monitoring processing. Seventeen high math-anxious (HMA) and seventeen low math-anxious (LMA) individuals were presented with a numerical and a classical Stroop task. Groups did not differ in terms of trait or state anxiety. We found enhanced error-related negativity (ERN) in the HMA group when subjects committed an error on the numerical Stroop task, but not on the classical Stroop task. Groups did not differ in terms of the correct-related negativity component (CRN), the error positivity component (Pe), classical behavioral measures or post-error measures. The amplitude of the ERN was negatively related to participants" math anxiety scores, showing a more negative amplitude as the score increased. Moreover, using standardized low resolution electromagnetic tomography (sLORETA) we found greater activation of the insula in errors on a numerical task as compared to errors in a nonnumerical task only for the HMA group. The results were interpreted according to the motivational significance theory of the ERN.

Reactive Recruitment of Attentional Control in Math Anxiety: An ERP Study of Numeric Conflict Monitoring and Adaptation

This study uses event-related brain potentials (ERPs) to investigate the electrophysiological correlates of numeric conflict monitoring in math-anxious individuals, by analyzing whether math anxiety is related to abnormal processing in early conflict detection (as shown by the N450 component) and/or in a later, response-related stage of processing (as shown by the conflict sustained potential; Conflict-SP). Conflict adaptation effects were also studied by analyzing the effect of the previous trial"s congruence in current interference. To this end, 17 low math-anxious (LMA)and 17 high math-anxious (HMA) individuals were presented with a numerical Stroop task. Groups were extreme in math anxiety but did not differ in trait or state anxiety or in simple math ability. The interference effect of the current trial (incongruent-congruent) and the interference effect preceded by congruence and by incongruity were analyzed both for behavioral measures and for ERPs. A greater interference effect was found for response times in the HMA group than in the LMA one. Regarding ERPs, the LMA group showed a greater N450 component for the interference effect preceded by congruence than when preceded by incongruity, while the HMA group showed greater Conflict-SP amplitude for the interference effect preceded by congruence than when preceded by incongruity. Our study showed that the electrophysiological correlates of numeric interference in HMA individuals comprise the absence of a conflict adaptation effect in the first stage of conflict processing (N450) and an abnormal subsequent up-regulation of cognitive control in order to overcome the conflict (Conflict-SP). More concretely, our study shows that math anxiety is related to a reactive and compensatory recruitment of control resources that is implemented only when previously exposed to a stimuli presenting conflicting information

Pere Puig i Adam: ahir, avui i sempre

El tema central d'aquesta Lliçó serà doncs la figura emblemàtica del gran professor i matemàtic català Pere Puig i Adam (1900-1960). Si bé el centenari del seu naixement ja justifica per si mateix l'oportunitat de l'homenatge, hi ha un valor afegit al fet de parlar d'en Pere Puig i Adam : tots nosaltres com a catalans i com a gent de Matemàtiques podem unir a l'orgull de rememorar una figura senyera del nostre passat científic, el goig de conservar avui el seu patrimoni i el deure de projectar el seu exemple vers el nostre futur. Així doncs parlarem de qui va ser i qué va fer en Pere Puig i Adam, per després analitzar, amb ulls d'avui, la vigència i possible projecció del seu llegat.

Yläkoululaisten ymmärrys yhtäsuuruusmerkistä ja sen vaikutukset oppilaiden algebralliseen osaamiseen

Tämä tutkielma on kirjallisuuskatsaus, joka keskittyy yläkoululaisten ymmärrykseen yhtäsuuruusmerkistä. Tarkoitus on selvittää, millainen näkemys yhtäsuuruusmerkistä yläkoululaisilla on, ja toisaalta myös, miten erilaiset näkemykset vaikuttavat oppilaiden algebralliseen osaamiseen. Tärkeimpiä lähdejulkaisuja ovat olleet Journal for Research in Mathematics Education ja Research in Mathematics Education. Tavoite on ollut löytää kaikki aiheeseen liittyvä aineisto ja sen pohjalta esitellä kattavasti yläkoululaisten näkemyksiä yhtäsuuruusmerkistä sekä niiden vaikutuksia muuhun matemaattiseen osaamiseen. Tutkielman keskeinen tulos on, että suuri osa yläkoululaisista omaa operationaalisen näkemyksen eli näkee yhtäsuuruusmerkin vastausta ilmaisevana symbolina. Yhtäsuuruusmerkin ilmaisema relaatio eli sen eri puolien välinen suhde jää usein huomioimatta oppilailta, mikä vaikuttaa negatiivisesti esimerkiksi yhtälönratkaisutaitoon. Operationaalisen näkemyksen yleisyyteen löydettiin syitä käytetystä oppimateriaalista ja sen painottumisesta yhtälöihin, joissa vasemmalla puolella yhtäsuuruusmerkkiä ovat laskutoimitukset ja oikealla puolella vastaus. Relaation ymmärtämistä eli relationaalista näkemystä edistäisivät yhtälöt, joissa molemmilla puolilla yhtäsuuruusmerkkiä on laskutoimituksia. Saatujen tulosten pohjalta yhtäsuuruusmerkin opettamiseen ja sen ilmaiseman relaation ymmärtämiseen tulisi kiinnittää enemmän huomiota sekä suosia erilaisia relationaalista näkemystä vahvistavia yhtälötyyppejä.

Acculturation institutionnelle du chercheur, de l’enseignant et des élèves de 1re secondaire présentant des difficultés d’apprentissage dans la conception et la gestion de situations-problèmes impliquant des nombres rationnels

Notre recherche s’intéresse à la transformation des rapports aux nombres rationnels d’élèves de 1re secondaire présentant des difficultés d’apprentissage. Comme le montrent plusieurs recherches, le défi majeur auquel sont confrontés les enseignants, ainsi que les chercheurs, est de ne pas s’enliser dans le cercle vicieux d’une réduction des enjeux de l’apprentissage des nombres rationnels et des possibilités d’apprentissage de l’élève en difficultés d’apprentissage, cet élève n’ayant pas ainsi la chance de mettre à l’épreuve ses connaissances, d’oser s’engager dans une démarche de construction de connaissances et d’apprécier les effets de son engagement cognitif. Afin de relever ce défi, nous avons misé sur l’intégration harmonieuse de situations problèmes. Il nous a semblé que, dans une démarche d’acculturation, l’approche écologique soit tout indiquée pour penser une «dé-transposition/re-transposition didactique» (Antibi et Brousseau, 2000) et reconstruire une mémoire porteuse d’espoirs (Brousseau et Centeno, 1998). Notre recherche vise à: 1) caractériser la progression des démarches d’acculturation institutionnelle de l’enseignant, du chercheur et des élèves et leurs effets sur les processus d’élaboration et de gestion des situations d’enseignement; 2) préciser l’évolution des connaissances, des habitus et des rapports des élèves aux nombres rationnels. Notre intégration en classe, d’une durée de 6 mois, nous a permis d’apprécier les effets du processus d’acculturation. Nous avons noté des changements importants dans la topogénèse et la chronogénèse des savoirs (Mercier, 1995); alors qu’à notre entrée, l’enseignante adoptait la démarche suivante, soit effectuer un exposé des savoirs et des démarches que les élèves devaient consigner dans leurs notes de cours, afin de pouvoir par la suite s’y référer pour effectuer des exercices et résoudre des problèmes, elle modifiait progressivement cette démarche en proposant des problèmes qui pouvaient permettre aux élèves de coordonner diverses connaissances et de construire ainsi des savoirs auxquels ils pouvaient faire référence dans la construction de leurs notes de cours qu’ils pouvaient par la suite consulter pour effectuer divers exercices. Nous avons également pu apprécier les effets de l’intégration de diverses représentations des nombres rationnels sur l’avancée du temps didactique (Mercier, 1995) et la transformation des rapports et habitus des élèves aux nombres rationnels (Bourdieu, 1980). Ces changements se sont manifestés, entre autres, par : a) un investissement important lors de situations complexes; b) l’adoption de pratiques mathématiques plus attentives aux données numériques et aux relations entre ces données; c) l’apparition de conduites « inusitées » [ex. coordination de divers registres sémiotiques,exploitation de compositions additives/multiplicatives et d’écritures non conventionnelles]. De telles conduites sont similaires à celles observées dans plusieurs recherches effectuées auprès d’une population d’élèves qui ne présentent pas de difficultés d’apprentissage (Moss et Case, 1999). Les résultats de notre recherche soutiennent donc l’importance indéniable de considérer les élèves en difficultés comme étant mathématiquement compétents, comme le soulignent Empson (2003) et Houssart (2002). Il nous semble enfin important de souligner que le travail sur la représentation des nombres rationnels a constitué une niche particulièrement fertile, pour un travail fondamental sur les nombres rationnels, travail qui puisse permettre aux élèves de poursuivre plus harmonieusement leurs apprentissages, les nombres rationnels étant des objets de savoir incontournables.