Propuesta de materiales para el aula de Matemáticas : Secundaria Obligatoria.

Se presenta un modelo de evaluación elaborado por el Seminario de Matemáticas del Instituto de Bachillerato Antonio Domínguez Ortíz, con el fin de difundirlo a otros centros. Es consecuencia del proyecto 'Modelo de Evaluación para Matemáticas de 1õ de BUP', que se ha ido experimentando a lo largo de tres cursos en el citado Instituto. El Modelo es ante todo diversificador del proceso, en el sentido de que trata de multiplicar los instrumentos de evaluación, de convertir en continuo el tiempo de la evaluación y de insertar la recuperación en el propio desarrollo curricular. En estos materiales se presentan ejemplos de 'hojas de grupo' y ejemplos de trabajos optativos. Las hojas de grupo elegidas presentan situaciones matemáticas desde diferentes perspectivas de trabajo y se acompañan de una ficha para el profesorado en la que se sistematizan objetivos, orientaciones para su utilización, referencias sobre el material complementario y comentarios generales sobre su aplicación. Los trabajos optativos tratan la adquisición de rutinas de cálculo o refuerzan el lenguaje algebraico o geométrico o permiten la realización de pequeñas investigaciones o la resolución de problemas.

Liñas básicas para unha didáctica alternativa do Cálculo Integral. 'Líneas básicas para una didáctica alternativa del cálculo integral'.

Resumen tomado de la publicación

El concepto de función en la EGB como complemento de la regla de tres : resumen y valoración de los experimentos realizados en una escuela de Zermatt (Suiza).

Experimento realizado en una escuela Suiza. Para evitar cualquier malentendido es necesario señalar que el experimento realizado no pretende ser en modo alguno el modelo de una clase. Toda esta materia (matemáticas) debe dividirse en varias lecciones, ampliándose con otros ejercicios de regla de tres o de proporcionalidad directa de tipo funcional (cambio de moneda...) . De esta manera se podría observar mejor la conducta del alumno según fuera comprendiendo la proporcionalidad directa. A pesar de que sabemos que se necesitan más evaluaciones, creemos que algunos de estos resultados pueden resultar relevantes para la práctica de la enseñanza: el experimento es un valioso puente hacia la comprensión formal de la proporcionalidad directa. Asimismo se planteó la pregunta de si el concepto de la función lineal no será acaso un sistema cognoscitivo más adecuado para abordar el tema de la proporcionalidad directa, al permitir al alumno desarrollar sus razonamientos de modo más espontáneo. La introducción del sistema de coordenadas permitió la representación gráfica de los valores medidos, creándose una relación con la visión geométrica. De todo ello, se deduce un punto de vista geométrico totalmente nuevo y distinto del analítico que permite abarcar un espectro más amplio de las facultades del alumno. Al mismo tiempo se crea un punto de arranque para la explicación de conceptos elementales, como función, dependencia, coordinación continuada. También se puede iniciar la enseñanza de las ecuaciones. A esta edad, el tratamiento experimental de los principales conceptos matemáticos podría influir positivamente en la enseñanza.

No todos somos constructivistas.

Las teorías educativas conductistas tienen unas limitaciones que ha sido suficientemente señaladas, entre otros por los conductistas. A pesar que el conductismo supuso un progreso con respecto a ciertas amén típicas, por su hincapié en los aspectos observables de la conducta y por la vinculación estimuló respuesta en la conducta, las teorías cognitivas (no sólo las constructivistas) han supuesto una superación de algunos limites impuestos por el conductivismo para la investigación de los procesos de conocimiento. La tendencia a considerar el medio exterior como el único elemento modelador de los fenómenos psíquicos y del aprendizaje ha sido también, complementada, por una mayor ausencia a los procesos internos del sujeto. Por último, la importancia dada por la escuela activa al descubrimiento por el estudiante de conceptos y relaciones teóricas complementa también la enseñanza por transmisión o exposición. No creemos que esta concepción deba ser objeto de imposición administrativa.

Un nuevo concepto de la enseñanza del dibujo : Congreso Internacional sobre Didáctica de las Artes Plásticas (1. 1975. Barcelona).

El dibujo fue el primer protagonista de la escuela nueva de esas inquietudes innovadoras. Los aspectos teóricos apenas cuentan lo importante es mantener la imaginación infantil en estado puro. No es necesario acercarse al modelo, las obras maestras deben dejarse para una etapa posterior. El dibujo entra en el campo pedagógico como vehículo de comunicación infantil y como instrumento terapéutico. El dibujo cumple una función socializante muy de acuerdo con las tendencias educativas del primer cuarto de siglo XX. Pronto se convierte en preocupación general 1900-1960 etapa en la que se celebran congresos y reuniones internacionales para tratar la enseñanza del dibujo, en particular, o la enseñanza estética, en general. Desde el primer Congreso en París de 1900 se votó por la obligatoriedad de su enseñanza a todos los niveles. Es el dibujo de imitación basado en la observación y del dibujo geométrico o representación matemática exacta de las figuras. Dibujar es evaluar relaciones. En 1908 gran importancia al dibujo creativo frente al imitativo. En 1912 es establece un programa de dibujo. A partir del Congreso de 1968 la educación artística es parte integrante en la formación general del hombre. Finalmente prevalece la idea de que el educador artístico no ha de ser más que un informador de técnicas para que el dibujo no pierda su valor emocionalmente individual, pero consiga convertirse en instrumento de juicio y comunicación. Aunque estas ideas de René- Jean Clot hoy se nos quedan cortas.

Tratamiento matricial de la optica geométrica : I determinación de los elementos básicos de la teoría.

La teoría matricial de la óptica puede aplicarse para obtener y analizar las imágenes producidas por sistemas ópticos centrados (SOC) desde un punto de vista geométrico, asociado. Una matriz al sistema óptico, que llamamos matriz característica, de 2X2 y cuyos elementos dependen de las características geométricas como de las ópticas de los medios separados por superficies-frontera o superficies de discontinuidad que se consideran ideales delgadas. Así, la matriz caracteriza todo elemento perteneciente al espacio-objeto en un elemento del espacio-imagen, siendo dicha transformación biunívoca al tener en cuenta el principio de retorno de luz. Para obtener la matriz característica tendremos que representar en forma matricial ciertas leyes de la luz (propagación rectilínea y la refracción de la luz) Dichas matrices se llamarán matriz de traslación y matriz de refracción.

Algunos fenómenos fisicos y sus interpretaciones matemáticas.

En física surgen numerosos problemas y teorías cuyas ecuaciones están dadas por fórmulas entre medias, es decir, que las magnitudes soluciones del fenómeno son medidas de magnitudes de la misma especie ¿Tiene existencia real el hecho de ser un fenómeno físico, armónico, geométrico, aritmético? ¿Todas las magnitudes físicas escalares cuando interviene su fenómeno físico equivalente en la superposición son aritméticos, armónicos, geométricos, cuadráticos? ¿En el fenómeno resultante llamado medio o de equilibrio, el carácter geométrico, armónico, etcétera, identifica a la magnitud física que estamos considerando?.

Un nuevo material para la enseñanza heurística de la Geometria del Espacio.

Reflexión sobre el estudio geométrico de las formas desde el punto de vista eurístico, proponiendo un sencillo material multivalente para los alumnos de enseñanza media.

Reflexiones previas a una didáctica de la Geografía.

Se parte de una reflexión filosófica sobre espacio, y distingue entre espacio geométrico, espacio mental o existencial y el espacio geográfico, este último formado por el lugar de nuestras referencias existenciales. Analiza los conceptos de ámbitos y confines. Destaca el espacio vivido o existencial del niño, referido al hogar familiar que luego amplia hasta situarse como espectador. Y, finaliza con unas indicaciones sobre la didáctica de la Geografía.

Estímulo de la capacidad creadora.

Considera que la educación debe considerar el dinamismo de la mente infantil. Critica la idea del educador como modelador, porque lo más importante es despertar recursos interiores y capacidades de creación, respetando el espíritu y la inteligencia del niño. Por ello, defiende que el maestro atienda el interés espontáneo y la curiosidad natural, fundando el ejercicio de la memoria en la inteligencia, para que el niño se confíe y se exprese espontáneamente. Es necesario respetar la percepción sensorial, la experiencia sensible y la imaginación.

La conexión de las enseñanzas de la geometría y la física.

Defiende la importancia de las conexiones entre la geometría y la física en la escuela primaria y lo justifica con criterios científicos, sociológicos, psicológicos, paidológicos, didácticos y humanos. Analiza los problemas fundamentales para lograr ese objetivo: preparación geométrica, refiriéndose a que el conocimiento de la Física nunca puede preceder al geométrico; falta de textos adecuados para su enseñanza; madurez para discernir: percibe la relación entre elementos siempre que ésta sea lógica, clara y precisa; relación de la conexión. Concluye con un ejemplo práctico.

La reforma de los cuestionarios de dibujo en las Escuelas Superiores de Bellas Artes.

Se comenta la necesidad de reformar el programa de estudios de dibujo en las Escuelas Superiores de Bellas Artes a raíz de observar que, el alumnado, no puede hacer frente a una prueba de cartelería y dibujo publicitario, lo que muestra el escaso nivel que poseen. El cartel necesita unas condiciones especiales y siendo un producto artístico, requiere una reforma del plan de estudios de las enseñanzas artísticas que se debería ejecutar en el curso preparatorio, en los tres años que dura el curso en la Escuela de Bellas Artes y en un posterior curso preparatorio para el profesorado de dibujo. En estos años el alumnado adquiriría conocimientos y herramientas concernientes a: el dibujo de lo antiguo y los ropajes; la preparación del colorido y la preparación del modelado; el dibujo del natural, anatomía artística y los procedimientos pictóricos; el colorido la composición y la perspectiva; la teoría e historia de la pintura, el paisaje; el dibujo geométrico y las proyecciones y el dibujo decorativo.

Dos conflictos al representar números reales en la recta.

Objetivos generales: 1) Analizar dos fenómenos organizados por el número real: la recta geométrica y la longitud. 2) Diseñar situaciones que permitan detectar conflictos cognitivos en sujetos de Bachillerato o que comienzan los estudios universitarios. 3) Establecer una interpretación de esos conflictos cognitivos en términos de obstáculos epistemológicos. Objetivos parciales: 1) Elaborar criterios para estudiar el sistema de números reales. 2) Describir fenómenos que, organizados por el número real, están a disposición de alumnos de Bachillerato: la recta y la longitud. 3) Describir las demandas conceptuales y procedimientos de la representación en la recta de los números reales. 4) Detectar conflictos que surgen en los sujetos en tareas de representación de números reales constructibles en la recta. 5) Caracterizar los conflictos detectados en los sujetos. 6) Explicar los conflictos detectados en términos de obstáculos epistemológicos. Alumnado de primero y segundo de Bachillerato y primero de licenciatura de Matemáticas. A partir de un estudio empírico previo se obtiene un marco constituido por cinco ámbitos. Este marco tuvo dos utilidades: organizar un estudio teórico del sistema de números reales y organizar respuestas de alumnos en un nuevo estudio empírico. En un estudio no empírico se aborda el sistema de números reales y la representación de números en la recta. La descripción desde un punto de vista matemático y escolar del sistema R y la descripción de la representación de números en la recta proporcionan elementos para diseñar situaciones adecuadas para incluir en los instrumentos de un nuevo estudio empírico. En el estudio empírico se analizan respuestas de alumnos con el objeto de identificar conflictos cognitivos. Finalmente, en el segundo estudio teórico se analiza la conexión entre los conflictos detectados y los obstáculos epistemológicos. Los estudios empíricos fueron de tipo descriptivo. Se observó a los individuos en tareas de representación de números en la recta, se describieron, analizaron e interpretaron sus respuestas. Temporalmente, el estudio empírico consiste en un estudio transversal. La metodología utilizada en el estudio empírico fue cualitativa, se pretendía realizar una descripción profunda y no generalizar resultados. Entrevistas exploratorias cuya finalidad fue la detección de conflictos y dificultades en la representación de números en la recta. Cuestionario para proponer situaciones que permiten detectar la presencia de dos conflictos observados durante las entrevistas exploratorias. El estudio de las respuestas del cuestionario incluyó: la organización de la información; la interpretación en términos de conflicto y la selección de sujetos cuyas respuestas se consideran aparentemente conflictivas y estudio de estas respuestas en comparación con respuestas consideradas no conflictivas. Entrevistas confirmatorias para constatar las interpretaciones de las respuestas del cuestionario. 1) Se pusieron de manifiesto conflictos relacionados con la escritura decimal de los números reales, en particular con la escritura decimal infinita. 2) Se comprobó que por el sistema de números reales, a partir de una unidad determinada se puede asignar un número a cualquier cantidad de longitud. 3) Se verificó que los sujetos cuando efectúan mediciones poseen interiorizado completamente el sistema métrico decimal y lo aplican automáticamente, sin evaluar las posibilidad de considerar unidades no estándares. 4) Se comprobó que los alumnos de Bachiller y matemáticas encuentran dos conflictos en la representación de números constructibles en la recta: la dificultad en admitir el control de un proceso infinito y la relación entre objeto matemático y objeto físico. 5) Se observó que los conflictos pueden suponer una bajada de puntuación y no por falta de estudio o desconocimiento en el alumno. Los criterios para el estudio de los números reales proporcionan un marco para la descripción del sistema R y de las dificultades conceptuales y procedimentales implicadas en él y permiten organizar las respuestas de sujetos en las situaciones propuestas en el estudio empírico. La representación en la recta de los números reales es conceptual y procedimentalmente más compleja que otras representaciones de estos números. La cuestión clave que permite explicar los dos conflictos e identificarlos o no con obstáculos epistemológicos, es que la heterogeneidad de los dominios de la existencia a las nociones matemáticas, crea su apariencia objetiva. En los alumnos, cuyo conflicto es la dificultad para admitir el control de un proceso infinito, la representación simbólica infinita opera como obstáculo para que este número sea aceptado por los alumnos en otros dominios diferentes. En consecuencia, los alumnos tienen dificultad para aceptar la existencia del número. El proceso infinito indicado por los puntos suspensivos constituye un obstáculo epistemológico en el conocimiento de estos números. En los alumnos, cuyo conflicto es la relación entre objeto matemático y objeto físico, la falta de distinción entre los objetos físicos y matemáticos favorece la aceptación de la noción matemática como ente de razón. La confusión entre marca y punto 'racionaliza lo real, pero a cambio hace real lo geométrico' En este caso, no hay un obstáculo epistemológico en el desarrollo del conocimiento matemático individual. Se trata de la adaptación de las matemáticas a la teoría física y, como conjetura, de un obstáculo epistemológico inherente a la cultura occidental. La valoración de la exactitud de la representación constituye una estrategia adecuada para poner de manifiesto los conflictos mencionados en las dos hipótesis anteriores..

La madre y el proceso evolutivo del niño en los dos primeros años de vida.

Acercarse al problema del desarrollo infantil en los dos primeros años, desde la perspectiva concreta de la relaciones madre-hijo como ámbito de este proceso. Estudio sobre la influencia de la relación madre-hijo en el desarrollo evolutivo del niño para elaborar mediante un personal trabajo de análisis, síntesis y crítica, un tema que parece de gran interés no sólo para la pedagogía como ciencia, sino también, y muy principalmente, para todos aquellos que de alguna manera sean responsables de la educación de los futuros adultos. El tema se desarrolla en tres partes. En primer lugar intenta establecer las pautas generales del desarrollo del niño en la etapa mencionada, incidiendo en los aspectos somáticos, afectivos, intelectuales y sociales. Después aborda una somera panorámica de algunos autores y escuelas que, por sus referencias concretas al problema estudiado en este trabajo han interesado especialmente. Por último, se dedica al estudio particular de la incidencia de la madre en este proceso educativo, cuyas características había señalado en el capítulo primero. Estudio teórico. 1) La presencia activa y cálida de la madres fundamental para el desarrollo integral del niño. Esta presencia de ser sobre todo de calidad, y por consiguiente el número de horas pasadas con el bebé no es directamente proporcional al cuidado afectivo que recibe el niño, más que cuando estas horas son vividas con amor y dedicación por la madre. 2) Mucho se ha discutido sobre la 'muerte' de la familia como institución. En este sentido, no es la familia lo que está en crisis, sino los hombres. Los cimientos que se tambalean no son los de la familia, sino los de las personas que, con el corazón angustiado, sienten que sus creencias, sus valores y sus ideales se destruyen irremediablemente, día tras día, sin ser sustituidos por algo que merezca la pena, y que les ayude a vivir. 3) Somos desnudados sistemáticamente, de todo lo que 'huela' a 'espiritual'; y esto debe ser denunciado, porque la solución del hombre no puede encontrarse en el materialismo al que nos precipitan por la sencilla razón de que el hombre no es sólo materia, y porque únicamente elevándonos por encima de lo concreto conseguiremos dar sentido a nuestra realidad de 'ser hombres'. 4) La necesidad que siente el ser humano de encontrarse a sí mismo, de saber cómo es y cómo puede llegar a ser, es lo que le lleva a las fuentes, al origen de la propia existencia, a la infancia y, en última instancia, a la familia. 5) El adulto es, en gran parte, lo que hicieron de él la educación y las circunstancias concretas vividas desde el momento del nacimiento y aun antes, desde la concepción, a través de su madre. 6) La precocidad de la tarea educadora justifica, pues, la existencia de la familia como ámbito modelador del futuro adulto. Su misión 'creadora de hombre' le confiere su carácter de permanencia, que ninguna crisis coyuntural podrá arrebatarle. 7) Esta función educadora que sustenta la familia, justifica que incluyamos a la Pedagogía dentro del contexto familiar, porque en este ámbito la ciencia pedagógica adquiere su sentido de 'prevención' de los posibles trastornos posteriores del niño. 8) La Pedagogía, con su conocimiento del niño y de los fenómenos de aprendizaje, de formación y conducta, está capacitada, mejor que cualquiera otra ciencia, para dirigir, con sus enseñanzas, el proceso educativo que debe desarrollar la familia con cada uno de sus hijos, y establecer las pautas más adecuadas para conseguirlo con la mayor perfección. 9) En las manos de la familia, asistida siempre por el conocimiento pedagógico del niños y de los procesos educativos, se encuentra el futuro de una humanidad que espira, sobre todas las cosas, al amor y la felicidad.

Analogías metafóricas entre la composición de una obra arquitectónica y la composición de una obra musical.

Resumen basado en el de la autora