Thermal fluctuations and boundary conditions in the lattice Boltzmann method

The lattice Boltzmann method is a popular approach for simulating hydrodynamic interactions in soft matter and complex fluids. The solvent is represented on a discrete lattice whose nodes are populated by particle distributions that propagate on the discrete links between the nodes and undergo local collisions. On large length and time scales, the microdynamics leads to a hydrodynamic flow field that satisfies the Navier-Stokes equation. In this thesis, several extensions to the lattice Boltzmann method are developed. In complex fluids, for example suspensions, Brownian motion of the solutes is of paramount importance. However, it can not be simulated with the original lattice Boltzmann method because the dynamics is completely deterministic. It is possible, though, to introduce thermal fluctuations in order to reproduce the equations of fluctuating hydrodynamics. In this work, a generalized lattice gas model is used to systematically derive the fluctuating lattice Boltzmann equation from statistical mechanics principles. The stochastic part of the dynamics is interpreted as a Monte Carlo process, which is then required to satisfy the condition of detailed balance. This leads to an expression for the thermal fluctuations which implies that it is essential to thermalize all degrees of freedom of the system, including the kinetic modes. The new formalism guarantees that the fluctuating lattice Boltzmann equation is simultaneously consistent with both fluctuating hydrodynamics and statistical mechanics. This establishes a foundation for future extensions, such as the treatment of multi-phase and thermal flows. An important range of applications for the lattice Boltzmann method is formed by microfluidics. Fostered by the "lab-on-a-chip" paradigm, there is an increasing need for computer simulations which are able to complement the achievements of theory and experiment. Microfluidic systems are characterized by a large surface-to-volume ratio and, therefore, boundary conditions are of special relevance. On the microscale, the standard no-slip boundary condition used in hydrodynamics has to be replaced by a slip boundary condition. In this work, a boundary condition for lattice Boltzmann is constructed that allows the slip length to be tuned by a single model parameter. Furthermore, a conceptually new approach for constructing boundary conditions is explored, where the reduced symmetry at the boundary is explicitly incorporated into the lattice model. The lattice Boltzmann method is systematically extended to the reduced symmetry model. In the case of a Poiseuille flow in a plane channel, it is shown that a special choice of the collision operator is required to reproduce the correct flow profile. This systematic approach sheds light on the consequences of the reduced symmetry at the boundary and leads to a deeper understanding of boundary conditions in the lattice Boltzmann method. This can help to develop improved boundary conditions that lead to more accurate simulation results.

Imine von Formyl-[2.2]paracyclophanen und ihre Anwendung in der enantioselektiven Katalyse

Kohlenhydrate wurden bislang nur selten zur Darstellung chiraler Liganden verwendet. Sie gelten als zu polyfunktionell und konformativ zu flexibel, um daraus mit vertretbarem Aufwand Liganden zu synthetisieren, die die Anforderungen an ein leistungsfähiges Katalysatorsystem - die spezifische Komplexierung des Metalls in einer konformativ möglichst rigiden Umgebung - erfüllen.rnDas Element der planaren Chiralität erwies sich in vielen asymmetrischen, katalytischen Prozessen als entscheidend für die Erzielung hoher Enantioselektivitäten.rnDie vorliegende Arbeit baut auf den Kohlenhydratliganden-Synthesen mit Glycosylaminen auf, die über geeignete komplexierende Zentren verfügen, um damit andere als die bisher mit Kohlenhydraten bekannten enantioselektiven Katalysen durchführen zu können. Zur Synthese stickstoffhaltiger chiraler Verbindungen haben sich besonders perpivaloylierte Glycosylamine vom Typ des 2,3,4,6-Tetra-O-pivaloyl-β-D-galactopyranosylamins bewährt. Im Rahmen dieser Dissertation wurden Schiff-Basen aus pivaloyliertem Galactosylamin bzw. verschiedenen anderen Galactosylamin-Bausteinen als chiralem Rückgrat, und einem Aldehyd auf der Basis von planar chiralem [2.2]Paracyclophan dargestellt. Die neuen N-Galactosylimine wurden außerdem in asymmetrischen Ugi-Reaktionen und in Tandem Mannich-Michael-Reaktionen zu N-Galactosyl-dehydropiperidinonen untersucht. Bei der Spaltung der dargestellten N-Galactosylimine von Paracyclophan-aldehyden unter mineralsauren Bedingungen sollten die entsprechenden mono- und di-substituierten Formyl- [2.2]paracyclophane in enantiomerenreiner Form erhalten werden. Die erhaltenen Verbindungen wurden als potentielle N,O-Liganden in der asymmetrischen Strecker Reaktion, in die enantioselektiven Epoxidierungen und in der Addition von Diethylzink an aromatische und aliphatische Aldehyde untersucht.rn

Die Entwicklung der Mesofauna eines Weinberges im nordöstlichen Rheinhessen im Vergleich zum Lennebergwald und weiteren Agrarflächen

ZusammenfassungrnrnrnDer Köderstreifentest, die Auswertung der Minicontainer und die Erfassung der Bodenlebewesen mit Hilfe der Bodenstechkerne ergeben zusammen eine gut standardisierte Methode zur Darstellung und Beurteilung der Mesofauna. Unter der Vorraussetzung gleicher abiotischer Faktoren ist es problemlos möglich, selbst unterschiedliche Standorte wie Agrarflächen, Weinberge und Waldböden vergleichend zu untersuchen.rnrnAuf den verschiedenen Versuchsflächen des Laubenheimer Weinberges gelingt es deutlich zu zeigen, wie wichtig eine naturnahe Begrünung für den Boden ist. Dies betrifft nicht nur die Entwicklung der Humusschicht und damit die Bodenlebewesen, sondern auch die Schaffung von Kapillaren und Poren, die durch schwere landwirtschaftliche Geräte im Rahmen der Bo-denverdichtung reduziert werden. Erosionserscheinungen kommen vollständig zum Stillstand. Das Ökosystem Boden sollte auch so gut wie keine Belastung durch Herbizide, Insektizide und Pestizide erfahren. Ähnliches gilt auch für agrarisch genutzte Flächen. rnrnDer Lennebergwald als Naherholungsregion von Mainz ist besonders schützenswert, da dieser durch intensiven Immissionseintrag aufgrund der Nähe zu den Autobahnen und durch die Eutrophierung über die Haustiere stark belastet wird. Die immer größere Ausdehnung des Siedlungsgebietes und die damit verbundene steigende Anzahl an Waldbesuchern, die durch Verlassen der vorgegebenen Wege den Boden zerstören, gefährden zusätzlich das Ökosystem.rnrnÜber Sinn und Zweck einer Flurbereinigung zu diskutieren ist hier nicht angebracht. Aus bo-denkundlicher Sicht ist sie nicht zu befürworten, da hiermit alle bodenbewahrenden Maßnah-men ignoriert werden. Wichtig ist es, bei den Landwirten Aufklärungsarbeit zu leisten, was bodenschonende und bodenweiterentwickelnde Bearbeitungsmethoden bedeuten. Mit Hilfe sachgemäßer Aufklärung und richtiger Umsetzung kann durch Begrünungsmaßnahmen der zum Teil sehr stark strapazierte Boden erhalten, gefördert und auf lange Sicht stabilisiert wer-den.rnrnAufgrund der festgestellten Tatsachen wurde ab 2008 auf eine flächige Dauerbegrünung um-gestellt, so dass es auch in den unbegrünten Rebzeilen zu einer Bodenverbesserung kommen kann. Mit großer Wahrscheinlichkeit dürfte diese schneller voranschreiten, da die Mesofauna von den benachbarten begrünten Rebzeilen einwandern kann. rnDie Mesofauna landwirtschaftlich genutzter Flächen und Waldgebiete kann, obwohl extrem unterschiedlich, miteinander verglichen werden.rnrnBrachflächen und Waldgebiete lassen sich aufgrund der unberührten Bodenstrukturen sogar gut miteinander vergleichen. Temperatur- und Niederschlagsverhältnisse müssen dabei über-einstimmen. Die Azidität der jeweiligen Böden gilt es zu berücksichtigen, da verschiedene Tiergruppen damit unterschiedlich umgehen. Collembolen bevorzugen neutrale Böden, wäh-rend Acari als Räuber mit den Lebewesen in sauren Böden besser zurechtkommen. Die Streu-auflage ist dabei von großer Bedeutung.rnrnIm Rahmen von Bearbeitungsmaßnahmen kommt es durch jeglichen Maschineneinsatz zu ei-ner mehr oder weniger starken Veränderung der Bodenstruktur und somit auch der darin le-benden Mesofauna. Bis sich diese erholt hat, steht meist schon die nächste Bodenbewirtschaf-tung an. Die Bodenverdichtung spielt auch eine Rolle. Bei herkömmlichem Ackerbau ist eine Fruchtfolge mit eingeschalteter Brache oder Gründüngung mit Klee oder Luzerne angebracht, um die Mesofauna nicht zu stark zu strapazieren. Organische Düngegaben leicht abbaubarer Streu sind deutlich zu bevorzugen gegenüber sehr zellulose- und ligninhaltigen Pflanzenresten. Die Einbringung von Stoppeln nach Aberntung von Getreidefeldern ist sinnvoll, solange dabei nicht zu tief in die Bodenstruktur eingegriffen wird (ZIMMER 1997).rnrnIm Rahmen der Sonderkultur Wein, bei der eine Bodenbearbeitung aus den aufgezeigten Gründen eigentlich nicht notwendig wäre, sind Dauerbegrünungsmaßnahmen generell von Nutzen: der Erosion wird vorgebeugt, die Bodenfeuchte konstant gehalten, der anfallende Mulch als Gründüngung genutzt. Dies sind alles entscheidende Faktoren, die die Meso- und Makrofauna fördern. Nur die Bodenverdichtung durch schweres Gerät, wie Schlepper und Vollernter, sind für den Boden nicht förderlich (HEISLER 1993, EHRENSBERGER 1993). Nie-derdruckreifen und Verringerung der Befahrung sind geeignete Gegenmaßnahmen. rnrnEntgegen landläufiger Winzermeinung, stellen die Pflanzen einer Begrünung eigentlich keine Konkurrenz für die Weinstöcke dar. Die Vorteile einer Begrünung sind nicht nur die Förde-rung der einheimischen Flora in ihrem standortgerechten Artenreichtum, sondern auch Ver-vielfältigung von Meso- und Makrofauna aufgrund der dadurch mehr anfallenden und ein-zuarbeitenden leicht abbaubaren Streu (GRIEBEL 1995).rn

Coarse-graining and quantum-classical adaptive coupling in soft matter

Die vorliegende Arbeit untersucht den Zusammenhang zwischen Skalen in Systemen weicher Materie, der für Multiskalen-Simulationen eine wichtige Rolle spielt. Zu diesem Zweck wurde eine Methode entwickelt, die die Approximation der Separierbarkeit von Variablen für die Molekulardynamik und ähnliche Anwendungen bewertet. Der zweite und größere Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der konzeptionellen und technischen Erweiterung des Adaptive Resolution Scheme'' (AdResS), einer Methode zur gleichzeitigen Simulation von Systemen mit mehreren Auflösungsebenen. Diese Methode wurde auf Systeme erweitert, in denen klassische und quantenmechanische Effekte eine Rolle spielen.rnrnDie oben genannte erste Methode benötigt nur die analytische Form der Potentiale, wie sie die meisten Molekulardynamik-Programme zur Verfügung stellen. Die Anwendung der Methode auf ein spezielles Problem gibt bei erfolgreichem Ausgang einen numerischen Hinweis auf die Gültigkeit der Variablenseparation. Bei nicht erfolgreichem Ausgang garantiert sie, dass keine Separation der Variablen möglich ist. Die Methode wird exemplarisch auf ein zweiatomiges Molekül auf einer Oberfläche und für die zweidimensionale Version des Rotational Isomer State (RIS) Modells einer Polymerkette angewandt.rnrnDer zweite Teil der Arbeit behandelt die Entwicklung eines Algorithmus zur adaptiven Simulation von Systemen, in denen Quanteneffekte berücksichtigt werden. Die Quantennatur von Atomen wird dabei in der Pfadintegral-Methode durch einen klassischen Polymerring repräsentiert. Die adaptive Pfadintegral-Methode wird zunächst für einatomige Flüssigkeiten und tetraedrische Moleküle unter normalen thermodynamischen Bedingungen getestet. Schließlich wird die Stabilität der Methode durch ihre Anwendung auf flüssigen para-Wasserstoff bei niedrigen Temperaturen geprüft.

Ergodicity and regularity of invariant measure for branching Markov processes with immigration

In this thesis we consider systems of finitely many particles moving on paths given by a strong Markov process and undergoing branching and reproduction at random times. The branching rate of a particle, its number of offspring and their spatial distribution are allowed to depend on the particle's position and possibly on the configuration of coexisting particles. In addition there is immigration of new particles, with the rate of immigration and the distribution of immigrants possibly depending on the configuration of pre-existing particles as well. In the first two chapters of this work, we concentrate on the case that the joint motion of particles is governed by a diffusion with interacting components. The resulting process of particle configurations was studied by E. Löcherbach (2002, 2004) and is known as a branching diffusion with immigration (BDI). Chapter 1 contains a detailed introduction of the basic model assumptions, in particular an assumption of ergodicity which guarantees that the BDI process is positive Harris recurrent with finite invariant measure on the configuration space. This object and a closely related quantity, namely the invariant occupation measure on the single-particle space, are investigated in Chapter 2 where we study the problem of the existence of Lebesgue-densities with nice regularity properties. For example, it turns out that the existence of a continuous density for the invariant measure depends on the mechanism by which newborn particles are distributed in space, namely whether branching particles reproduce at their death position or their offspring are distributed according to an absolutely continuous transition kernel. In Chapter 3, we assume that the quantities defining the model depend only on the spatial position but not on the configuration of coexisting particles. In this framework (which was considered by Höpfner and Löcherbach (2005) in the special case that branching particles reproduce at their death position), the particle motions are independent, and we can allow for more general Markov processes instead of diffusions. The resulting configuration process is a branching Markov process in the sense introduced by Ikeda, Nagasawa and Watanabe (1968), complemented by an immigration mechanism. Generalizing results obtained by Höpfner and Löcherbach (2005), we give sufficient conditions for ergodicity in the sense of positive recurrence of the configuration process and finiteness of the invariant occupation measure in the case of general particle motions and offspring distributions.

Perturbation theory for spectral subspaces

In der vorliegenden Arbeit wird die Variation abgeschlossener Unterräume eines Hilbertraumes untersucht, die mit isolierten Komponenten der Spektren von selbstadjungierten Operatoren unter beschränkten additiven Störungen assoziiert sind. Von besonderem Interesse ist hierbei die am wenigsten restriktive Bedingung an die Norm der Störung, die sicherstellt, dass die Differenz der zugehörigen orthogonalen Projektionen eine strikte Normkontraktion darstellt. Es wird ein Überblick über die bisher erzielten Resultate gegeben. Basierend auf einem Iterationsansatz wird eine allgemeine Schranke an die Variation der Unterräume für Störungen erzielt, die glatt von einem reellen Parameter abhängen. Durch Einführung eines Kopplungsparameters wird das Ergebnis auf den Fall additiver Störungen angewendet. Auf diese Weise werden zuvor bekannte Ergebnisse verbessert. Im Falle von additiven Störungen werden die Schranken an die Variation der Unterräume durch ein Optimierungsverfahren für die Stützstellen im Iterationsansatz weiter verschärft. Die zugehörigen Ergebnisse sind die besten, die bis zum jetzigen Zeitpunkt erzielt wurden.