Perturbation theory for spectral subspaces

In der vorliegenden Arbeit wird die Variation abgeschlossener Unterräume eines Hilbertraumes untersucht, die mit isolierten Komponenten der Spektren von selbstadjungierten Operatoren unter beschränkten additiven Störungen assoziiert sind. Von besonderem Interesse ist hierbei die am wenigsten restriktive Bedingung an die Norm der Störung, die sicherstellt, dass die Differenz der zugehörigen orthogonalen Projektionen eine strikte Normkontraktion darstellt. Es wird ein Überblick über die bisher erzielten Resultate gegeben. Basierend auf einem Iterationsansatz wird eine allgemeine Schranke an die Variation der Unterräume für Störungen erzielt, die glatt von einem reellen Parameter abhängen. Durch Einführung eines Kopplungsparameters wird das Ergebnis auf den Fall additiver Störungen angewendet. Auf diese Weise werden zuvor bekannte Ergebnisse verbessert. Im Falle von additiven Störungen werden die Schranken an die Variation der Unterräume durch ein Optimierungsverfahren für die Stützstellen im Iterationsansatz weiter verschärft. Die zugehörigen Ergebnisse sind die besten, die bis zum jetzigen Zeitpunkt erzielt wurden.

In the present thesis, the variation of closed subspaces of a Hilbert space associated with isolated components of the spectra of linear self-adjoint operators under a bounded additive perturbation is studied. Of particular interest is the least restrictive condition on the norm of the perturbation that guarantees that the difference of the corresponding orthogonal projections is a strict norm contraction. An overview on the results obtained so far is given. Based on an iteration approach, a general bound on the variation of the subspaces is obtained for perturbations depending smoothly on a real parameter. The result is applied to the case of additive perturbations by introducing a coupling parameter on the perturbation. In this way, previously known results are strengthened. In the case of additive perturbations, the bounds on the variation of the subspaces are sharpened further by an optimization procedure for the choice of the supporting points in the iteration approach. The corresponding results are the best ones obtained so far.