Inverse problems in classical and quantum physics

The subject of this thesis is in the area of Applied Mathematics known as Inverse Problems. Inverse problems are those where a set of measured data is analysed in order to get as much information as possible on a model which is assumed to represent a system in the real world. We study two inverse problems in the fields of classical and quantum physics: QCD condensates from tau-decay data and the inverse conductivity problem. Despite a concentrated effort by physicists extending over many years, an understanding of QCD from first principles continues to be elusive. Fortunately, data continues to appear which provide a rather direct probe of the inner workings of the strong interactions. We use a functional method which allows us to extract within rather general assumptions phenomenological parameters of QCD (the condensates) from a comparison of the time-like experimental data with asymptotic space-like results from theory. The price to be paid for the generality of assumptions is relatively large errors in the values of the extracted parameters. Although we do not claim that our method is superior to other approaches, we hope that our results lend additional confidence to the numerical results obtained with the help of methods based on QCD sum rules. EIT is a technology developed to image the electrical conductivity distribution of a conductive medium. The technique works by performing simultaneous measurements of direct or alternating electric currents and voltages on the boundary of an object. These are the data used by an image reconstruction algorithm to determine the electrical conductivity distribution within the object. In this thesis, two approaches of EIT image reconstruction are proposed. The first is based on reformulating the inverse problem in terms of integral equations. This method uses only a single set of measurements for the reconstruction. The second approach is an algorithm based on linearisation which uses more then one set of measurements. A promising result is that one can qualitatively reconstruct the conductivity inside the cross-section of a human chest. Even though the human volunteer is neither two-dimensional nor circular, such reconstructions can be useful in medical applications: monitoring for lung problems such as accumulating fluid or a collapsed lung and noninvasive monitoring of heart function and blood flow.

Inverse size exclusion chromatography (ISEC)

In this work, an improved protocol for inverse size-exclusion chromatography (ISEC) was established to assess important pore structural data of porous silicas as stationary phases in packed chromatographic columns. After the validity of the values generated by ISEC was checked by comparison with data obtained from traditional methods like nitrogen sorption at 77 K (Study A), the method could be successfully employed as valuable tool at the development of bonded poly(methacrylate)-coated silicas, while traditional methods generate partially incorrect pore structural information (Study B). Study A: Different mesoporous silicas were converted by a pseudomorphical transition into ordered MCM-41-type silica while maintaining the particle-size and -shape. The essential parameters like specific surface area, average pore diameter and specific pore volume, the pore connectivity from ISEC remained nearly the same which was reflected by the same course of the theoretical plate height vs. linear velocity curves. Study B: In the development of bonded poly(methacrylate)-coated silicas for the reversed phase separation of biopolymers, ISEC was the only method to generate valid pore structural information of the polymer-coated materials. Synthesis procedures were developed to obtain reproducibly covalently bonded poly(methacrylate) coatings with good thermal stability on different base materials, employing as well particulate and monolithic materials.

Factorization method and inclusions of mixed type in an inverse elliptic boundary value problem

In various imaging problems the task is to use the Cauchy data of the solutions to an elliptic boundary value problem to reconstruct the coefficients of the corresponding partial differential equation. Often the examined object has known background properties but is contaminated by inhomogeneities that cause perturbations of the coefficient functions. The factorization method of Kirsch provides a tool for locating such inclusions. In this paper, the factorization technique is studied in the framework of coercive elliptic partial differential equations of the divergence type: Earlier it has been demonstrated that the factorization algorithm can reconstruct the support of a strictly positive (or negative) definite perturbation of the leading order coefficient, or if that remains unperturbed, the support of a strictly positive (or negative) perturbation of the zeroth order coefficient. In this work we show that these two types of inhomogeneities can, in fact, be located simultaneously. Unlike in the earlier articles on the factorization method, our inclusions may have disconnected complements and we also weaken some other a priori assumptions of the method. Our theoretical findings are complemented by two-dimensional numerical experiments that are presented in the framework of the diffusion approximation of optical tomography.

Investigation of the nuclear matter density distributions of the exotic 12 Be, 14 Be and 8 B nuclei by elastic proton scattering in inverse kinematics

The proton-nucleus elastic scattering at intermediate energies is a well-established method for the investigation of the nuclear matter distribution in stable nuclei and was recently applied also for the investigation of radioactive nuclei using the method of inverse kinematics. In the current experiment, the differential cross sections for proton elastic scattering on the isotopes $^{7,9,10,11,12,14}$Be and $^8$B were measured. The experiment was performed using the fragment separator at GSI, Darmstadt to produce the radioactive beams. The main part of the experimental setup was the time projection ionization chamber IKAR which was simultaneously used as hydrogen target and a detector for the recoil protons. Auxiliary detectors for projectile tracking and isotope identification were also installed. As results from the experiment, the absolute differential cross sections d$sigma$/d$t$ as a function of the four momentum transfer $t$ were obtained. In this work the differential cross sections for elastic p-$^{12}$Be, p-$^{14}$Be and p-$^{8}$B scattering at low $t$ ($t leq$~0.05~(GeV/c)$^2$) are presented. The measured cross sections were analyzed within the Glauber multiple-scattering theory using different density parameterizations, and the nuclear matter density distributions and radii of the investigated isotopes were determined. The analysis of the differential cross section for the isotope $^{14}$Be shows that a good description of the experimental data is obtained when density distributions consisting of separate core and halo components are used. The determined {it rms} matter radius is $3.11 pm 0.04 pm 0.13$~fm. In the case of the $^{12}$Be nucleus the results showed an extended matter distribution as well. For this nucleus a matter radius of $2.82 pm 0.03 pm 0.12$~fm was determined. An interesting result is that the free $^{12}$Be nucleus behaves differently from the core of $^{14}$Be and is much more extended than it. The data were also compared with theoretical densities calculated within the FMD and the few-body models. In the case of $^{14}$Be, the calculated cross sections describe the experimental data well while, in the case of $^{12}$Be there are discrepancies in the region of high momentum transfer. Preliminary experimental results for the isotope $^8$B are also presented. An extended matter distribution was obtained (though much more compact as compared to the neutron halos). A proton halo structure was observed for the first time with the proton elastic scattering method. The deduced matter radius is $2.60pm 0.02pm 0.26$~fm. The data were compared with microscopic calculations in the frame of the FMD model and reasonable agreement was observed. The results obtained in the present analysis are in most cases consistent with the previous experimental studies of the same isotopes with different experimental methods (total interaction and reaction cross section measurements, momentum distribution measurements). For future investigation of the structure of exotic nuclei a universal detector system EXL is being developed. It will be installed at the NESR at the future FAIR facility where higher intensity beams of radioactive ions are expected. The usage of storage ring techniques provides high luminosity and low background experimental conditions. Results from the feasibility studies of the EXL detector setup, performed at the present ESR storage ring, are presented.

Entwicklung und Charakterisierung eines Drop-on-Demand-Aerosolgenerators für die Probenzuführung kleinster Flüssigkeitsmengen in der analytischen Atomspektroskopie

Die pneumatische Zerstäubung ist die häufigste Methode der Probenzuführung von Flüssigkeiten in der Plasmaspektrometrie. Trotz der bekannten Limitierungen dieser Systeme, wie die hohen Probenverluste, finden diese Zerstäuber aufgrund ihrer guten Robustheit eine breite Anwendung. Die flussratenabhängige Aerosolcharakteristik und pumpenbasierte Signalschwankungen limitieren bisher Weiterentwicklungen. Diese Probleme werden umso gravierender, je weiter die notwendige Miniaturisierung dieser Systeme fortschreitet. Der neuartige Ansatz dieser Arbeit basiert auf dem Einsatz modifizierter Inkjet-Druckerpatronen für die Dosierung von pL-Tropfen. Ein selbst entwickelter Mikrokontroller ermöglicht den Betrieb von matrixkodierten Patronen des Typs HP45 mit vollem Zugriff auf alle essentiellen Betriebsparameter. Durch die neuartige Aerosoltransportkammer gelang die effiziente Kopplung des Tropfenerzeugungssystems an ein ICP-MS. Das so aufgebaute drop-on-demand-System (DOD) zeigt im Vergleich zu herkömmlichen und miniaturisierten Zerstäubern eine deutlich gesteigerte Empfindlichkeit (8 - 18x, elementabhängig) bei leicht erhöhtem, aber im Grunde vergleichbarem Signalrauschen. Darüber hinaus ist die Flexibilität durch die große Zahl an Freiheitsgraden des Systems überragend. So ist die Flussrate über einen großen Bereich variabel (5 nL - 12,5 µL min-1), ohne dabei die primäre Aerosolcharakteristik zu beeinflussen, welche vom Nutzer durch Wahl der elektrischen Parameter bestimmt wird. Das entwickelte Probenzuführungssystem ist verglichen mit dem pneumatischen Referenzsystem weniger anfällig gegenüber Matrixeffekten beim Einsatz von realen Proben mit hohen Anteilen gelöster Substanzen. So gelingt die richtige Quantifizierung von fünf Metallen im Spurenkonzentrationsbereich (Li, Sr, Mo, Sb und Cs) in nur 12 µL Urin-Referenzmaterial mittels externer Kalibrierung ohne Matrixanpassung. Wohingegen beim pneumatischen Referenzsystem die aufwändigere Standardadditionsmethode sowie über 250 µL Probenvolumen für eine akkurate Bestimmung der Analyten nötig sind. Darüber hinaus wird basierend auf der Dosierfrequenz eines dualen DOD-Systems eine neuartige Kalibrierstrategie vorgestellt. Bei diesem Ansatz werden nur eine Standard- und eine Blindlösung anstelle einer Reihe unterschiedlich konzentrierter Standards benötigt, um eine lineare Kalibrierfunktion zu erzeugen. Zusätzlich wurde mittels selbst entwickelter, zeitlich aufgelöster ICP-MS umfangreiche Rauschspektren aufgenommen. Aus diesen gelang die Ermittlung der Ursache des erhöhten Signalrauschens des DOD, welches maßgeblich durch das zeitlich nicht äquidistante Eintreffen der Tropfen am Detektor verursacht wird. Diese Messtechnik erlaubt auch die Detektion einzeln zugeführter Tropfen, wodurch ein Vergleich der Volumenverteilung der mittels ICP-MS detektierten, gegenüber den generierten und auf optischem Wege charakterisierten Tropfen möglich wurde. Dieses Werkzeug ist für diagnostische Untersuchungen äußerst hilfreich. So konnte aus diesen Studien neben der Aufklärung von Aerosoltransportprozessen die Transporteffizienz des DOD ermittelt werden, welche bis zu 94 Vol.-% beträgt.

Direct and inverse transient eddy current problems

Die vorliegende Arbeit behandelt Vorwärts- sowie Rückwärtstheorie transienter Wirbelstromprobleme. Transiente Anregungsströme induzieren elektromagnetische Felder, welche sogenannte Wirbelströme in leitfähigen Objekten erzeugen. Im Falle von sich langsam ändernden Feldern kann diese Wechselwirkung durch die Wirbelstromgleichung, einer Approximation an die Maxwell-Gleichungen, beschrieben werden. Diese ist eine lineare partielle Differentialgleichung mit nicht-glatten Koeffizientenfunktionen von gemischt parabolisch-elliptischem Typ. Das Vorwärtsproblem besteht darin, zu gegebener Anregung sowie den umgebungsbeschreibenden Koeffizientenfunktionen das elektrische Feld als distributionelle Lösung der Gleichung zu bestimmen. Umgekehrt können die Felder mit Messspulen gemessen werden. Das Ziel des Rückwärtsproblems ist es, aus diesen Messungen Informationen über leitfähige Objekte, also über die Koeffizientenfunktion, die diese beschreibt, zu gewinnen. In dieser Arbeit wird eine variationelle Lösungstheorie vorgestellt und die Wohlgestelltheit der Gleichung diskutiert. Darauf aufbauend wird das Verhalten der Lösung für verschwindende Leitfähigkeit studiert und die Linearisierbarkeit der Gleichung ohne leitfähiges Objekt in Richtung des Auftauchens eines leitfähigen Objektes gezeigt. Zur Regularisierung der Gleichung werden Modifikationen vorgeschlagen, welche ein voll parabolisches bzw. elliptisches Problem liefern. Diese werden verifiziert, indem die Konvergenz der Lösungen gezeigt wird. Zuletzt wird gezeigt, dass unter der Annahme von sonst homogenen Umgebungsparametern leitfähige Objekte eindeutig durch die Messungen lokalisiert werden können. Hierzu werden die Linear Sampling Methode sowie die Faktorisierungsmethode angewendet.