Über die Linearität der Teichmüllerschen Modulgruppe des Torus mit zwei Punktierungen

Über die Liniarität der Teichmüllerschen Modulgruppe des Torus mit zwei Punktierungen. In meiner Arbeit beschäftige ich mich mit Darstellungen der Teichmüllerschen Modulgruppe des Torus mit zwei Punktierungen. Mein Ansatz hierbei ist, die Teichmüllersche Modulgruppe in eine p-adische Liegruppe einzubetten. Sei nun F die von zwei Elementen erzeugte freie Gruppe und Aut(F) die Automorphismengruppe von F. Inhalt des ersten Kapitels ist es nun zu zeigen, daß folgende Aussagen äquivalent sind: - Die Teichmüllersche Modulgruppe des Torus mit zwei Punktierungen ist linear, - Aut(F)ist linear, - F besitzt eine p-Kongruenzstruktur, deren Folgen- glieder von Aut(F) festgehalten werden, also charak- teristisch sind. Im zweiten Kapitel wird unter anderem gezeigt, daß es eine Einbettung einer Untergruppe endlichen Indexes der Aut(F) in die Automorphismengruppe einer einfachen p-adischen Liegruppe gibt. Bisher ist unbekannt, ob die Buraudarstellung treu ist.In dieser Arbeit wird ein unendliches, lineares Gleichungssystem, dessen Lösungen gerade die Koeffizienten der Wörter des Kernes der Buraudarstellung sind, vorgestellt.Im dritten Kapitel wird mit den Methoden des 1.Kapitels gezeigt, daß der Torus mit zwei Punktierungen genau dann linear ist, wenn die Teichmüllersche Modulgruppe der Sphäre mit 5 Punktierungen es auch ist. Bekanntlich ist die 4. Braidgruppe linear. Nun ist aber die 4. Braidgruppe letztlich die Teichmüllersche Modulgruppe der abgeschlossenen Kreisscheibe mit 5 Punktierungen. Wenn man nun deren Randpunkte miteinander identifiziert und anschließend wegläßt, erhält man die 5-fach punktiereSphäre.Mit der eben beschriebenen Abbildung kann man zeigen, daß die Teichmüllersche Modulgruppe der fünffach punktierten Sphäre linear ist.

Frobenius polynomials for Calabi-Yau equations

Sei $\pi:X\rightarrow S$ eine \"uber $\Z$ definierte Familie von Calabi-Yau Varietaten der Dimension drei. Es existiere ein unter dem Gauss-Manin Zusammenhang invarianter Untermodul $M\subset H^3_{DR}(X/S)$ von Rang vier, sodass der Picard-Fuchs Operator $P$ auf $M$ ein sogenannter {\em Calabi-Yau } Operator von Ordnung vier ist. Sei $k$ ein endlicher K\"orper der Charaktetristik $p$, und sei $\pi_0:X_0\rightarrow S_0$ die Reduktion von $\pi$ \uber $k$. F\ur die gew\ohnlichen (ordinary) Fasern $X_{t_0}$ der Familie leiten wir eine explizite Formel zur Berechnung des charakteristischen Polynoms des Frobeniusendomorphismus, des {\em Frobeniuspolynoms}, auf dem korrespondierenden Untermodul $M_{cris}\subset H^3_{cris}(X_{t_0})$ her. Sei nun $f_0(z)$ die Potenzreihenl\osung der Differentialgleichung $Pf=0$ in einer Umgebung der Null. Da eine reziproke Nullstelle des Frobeniuspolynoms in einem Teichm\uller-Punkt $t$ durch $f_0(z)/f_0(z^p)|_{z=t}$ gegeben ist, ist ein entscheidender Schritt in der Berechnung des Frobeniuspolynoms die Konstruktion einer $p-$adischen analytischen Fortsetzung des Quotienten $f_0(z)/f_0(z^p)$ auf den Rand des $p-$adischen Einheitskreises. Kann man die Koeffizienten von $f_0$ mithilfe der konstanten Terme in den Potenzen eines Laurent-Polynoms, dessen Newton-Polyeder den Ursprung als einzigen inneren Gitterpunkt enth\alt, ausdr\ucken,so beweisen wir gewisse Kongruenz-Eigenschaften unter den Koeffizienten von $f_0$. Diese sind entscheidend bei der Konstruktion der analytischen Fortsetzung. Enth\alt die Faser $X_{t_0}$ einen gew\ohnlichen Doppelpunkt, so erwarten wir im Grenz\ubergang, dass das Frobeniuspolynom in zwei Faktoren von Grad eins und einen Faktor von Grad zwei zerf\allt. Der Faktor von Grad zwei ist dabei durch einen Koeffizienten $a_p$ eindeutig bestimmt. Durchl\auft nun $p$ die Menge aller Primzahlen, so erwarten wir aufgrund des Modularit\atssatzes, dass es eine Modulform von Gewicht vier gibt, deren Koeffizienten durch die Koeffizienten $a_p$ gegeben sind. Diese Erwartung hat sich durch unsere umfangreichen Rechnungen best\atigt. Dar\uberhinaus leiten wir weitere Formeln zur Bestimmung des Frobeniuspolynoms her, in welchen auch die nicht-holomorphen L\osungen der Gleichung $Pf=0$ in einer Umgebung der Null eine Rolle spielen.

Periodic Higgs-de Rham flows and representations of algebraic fundamental groups

Let k := bar{F}_p for p > 2, W_n(k) := W(k)/p^n and X_n be a projective smooth W_n(k)-scheme which is W_{n+1}(k)-liftable. For all n > 1, we construct explicitly a functor, which we call the inverse Cartier functor, from a subcategory of Higgs bundles over X_n to a subcategory of flat Bundles over X_n. Then we introduce the notion of periodic Higgs-de Rham flows and show that a periodic Higgs-de Rham flow is equivalent to a Fontaine-Faltings module. Together with a p-adic analogue of Riemann-Hilbert correspondence established by Faltings, we obtain a coarse p-adic Simpson correspondence.

Self-assembled structures based on functionalized calix[4]arenes and calix[8]arenes = Selbstorganisierte Strukturen basierend auf funktionalisierten Calix[4]- und Calix[8]arenen

Calix[4]arenes with urea functions attached to the p-positions of the phenolic units usually form dimers in apolar solvents. Tetraureas functionalized by pyridyl and carboxyl groups form dimers only with bis- or tetraloop tetraureas. This heterodimerization was used for the synthesis of a bis-[3]catenane. Tetraureas functionalized with sulfide functions were synthesized for the preparation of monolayers from the dimeric capsules containing electrochemically active guests on gold. Bis-tetraureacalix[4]arenes singly-linked via their wide rim by rigid spacers were synthesized and their self-assembly to polymers in apolar solvents was proved by the 1H NMR spectroscopy and AFM studies. Dimerization of the first example of the tetraurea calix[4]arenes bridged in 1,3-positions at the narrow rim was proved by 1H NMR spectroscopy. Calix[8]arenes functionalized by urea, amido or naphthalimido groups at their p-positions self-assemble to columnar structures by hydrogen bonding or by π-π-stacking.

Sequence-controlled synthesis of soluble oligo(p-benzamide)s

This work focused on the synthesis of novel monomers for the design of a series of oligo(p-benzamide)s following two approaches: iterative solution synthesis and automated solid phase protocols. These approaches present a useful method to the sequence-controlled synthesis of side-chain and main-chain functionalized oligomers for the preparation of an immense variety of nanoscaffolds. The challenge in the synthesis of such materials was their modification, while maintaining the characteristic properties (physical-chemical properties, shape persistence and anisotropy). The strategy for the preparation of predictable superstructures was devote to the selective control of noncovalent interactions, monodispersity and monomer sequence. In addition to this, the structure-properties correlation of the prepared rod-like soluble materials was pointed. The first approach involved the solution-based aramide synthesis via introduction of 2,4-dimethoxybenzyl N-amide protective group via an iterative synthetic strategy The second approach focused on the implementation of the salicylic acid scaffold to introduce substituents on the aromatic backbone for the stabilization of the OPBA-rotamers. The prepared oligomers were analyzed regarding their solubility and aggregation properties by systematically changing the degree of rotational freedom of the amide bonds, side chain polarity, monomer sequence and degree of oligomerization. The syntheses were performed on a modified commercial peptide synthesizer using a combination of fluorenylmethoxycarbonyl (Fmoc) and aramide chemistry. The automated synthesis allowed the preparation of aramides with potential applications as nanoscaffolds in supramolecular chemistry, e.g. comb-like-

In-vivo-Tumorbiologie mittels 68 Ga-PET: Beurteilung der p-Glykoprotein-Aktivität in Weichgewebe-Tumoren sowie Diagnose und Therapie von Knochenmetastasen

Krebs ist eine der häufigsten Krankheiten und stellt eine der wichtigsten medizinischen Herausforderungen des 21. Jahrhunderts dar. Eine frühzeitige Diagnose ist dabei essentiell für eine individuell angepasste Therapie zur Verbesserung der Lebensqualität und -erwartung der Patienten. Hierbei kommen der 68Ge/68Ga-Generator und das daraus resultierende PET-Nuklid 68Ga immer stärker in den Fokus von Wissenschaft und Medizin. rnrnFür eine erfolgreiche Therapie stellt die Chemoresistenz (Multi-Drug-Resistance) zahlreicher Tumore eine schwerwiegende Komplikation dar. Für das Therapieversagen ist die Aktivierung des Transportproteins p-Glykoprotein (pGP) maßgeblich mit verantwortlich. Mit Hilfe der Schiff’schen Base [68Ga]MFL6.MZ konnte die Aktivitätsänderung von pGP unter verschiedener Beeinflussung erstmals in vivo beobachtet werden. So zeigte sich, dass sich unter azidotischen Bedingungen in Tumoren die Aktivität des pGP erhöht und somit vermehrt auch Zytostatika, die pGP-Substrate sind, aus den Tumoren transportiert werden. Durch Aufklärung der Abhängigkeit der pGP-Aktivität von dessen Signalkaskade konnte gezeigt werden, dass durch eine Blockade der MAP-Kinase p38 eine Erniedrigung der pGP-Aktivität zu verzeichnen ist. Die ebenfalls in der Signalkaskade eingebundene MAP-Kinase ERK1/2 hingegen spielt hier nur eine untergeordnete Rolle.rnrnNeben dem Versagen der Chemotherapie stellt auch die Metastasierung eines Malignoms massive Einschnitte in die Lebensqualität von Erkrankten dar. Befallen die Metastasen das Skelett eines Menschen, wird dies zumeist erst spät registriert. 68Ga-markierte Bisphosphonate bieten nun die Möglichkeit, Patienten quantitativ auf Knochenmetastasen hin untersuchen zu können. So konnten zu Beginn einfache Phosphonate wie EDTMP und DOTP nicht die nötige in vivo Stabilität bzw. hohe radiochemische Ausbeuten liefern und sind damit für die Anwendung am Menschen uninteressant. Jedoch die DOTA-basierten Bisphosphonate allen voran der Ligand BPAMD zeigen ein großes Potential. In vivo-Versuche an Ratten mit Knochenmetastasen zeigten, dass sich [68Ga]BPAMD an den Metastasen anreichert und einen sehr guten Kontrast zum gesunden Knochen darstellt. Der Tracer konnte erstmals am Menschen angewendet werden und zeigte in ausgewählten Regionen eine höhere Anreicherung als eine zuvor durchgeführte PET-Aufnahme mit [18F]Fluorid. Der Ligand BPAMD bietet außerdem den Vorteil, neben 68Ga auch andere dreiwertige Radionuklide wie das therapeutische 177Lu komplexieren zu können. Durch Studien zur Komplexbildung und Stabilität konnte auch [177Lu]BPAMD in der klinischen Anwendung erprobt werden und zeigte eine Anreicherung an den Knochenmetastasen. So ist es nun möglich, Knochenmetastasen mittels 68Ga-PET zu diagnostizieren, eine entsprechende Dosisberechnung anzustellen und anschließend mit dem gleichen Liganden eine Therapie mit [177Lu]BPAMD durchzuführen.

Systematic functionalization of molecules for molecular self-assembly

This thesis describes the investigation of systematically varied organic molecules for use in molecular self-assembly processes. All experiments were performed using high-resolution non-contact atomic force microscopy under UHV conditions and at room temperature. Using this technique, three different approaches for influencing intermolecular and molecule-surface interaction on the insulating calcite(10.4) surface were investigated by imaging the structure formation at the molecular scale. I first demonstrated the functionalization of shape-persistent oligo(p-benzamide)s that was engineered by introducing different functional groups and investigating their effect on the structural formation on the sample surface. The molecular core was designed to provide significant electrostatic anchoring towards the surface, while at the same time maintaining the flexibility to fine-tune the resulting structure by adjusting the intermolecular cohesion energy. The success of this strategy is based on a clear separation of the molecule-substrate interaction from the molecule-molecule interaction. My results show that sufficient molecule-surface anchoring can be achieved without restricting the structural flexibility that is needed for the design of complex molecular systems. Three derivatives of terephthalic acid (TPA) were investigated in chapter 7. Here, the focus was on changing the adhesion to the calcite surface by introducing different anchor functionalities to the TPA backbone. For all observed molecules, the strong substrate templating effect results in molecular structures that are strictly oriented along the calcite main crystal directions. This templating is especially pronounced in the case of 2-ATPA where chain formation on the calcite surface is observed in contrast to the formation of molecular layers in the bulk. At the same time, the amino group of 2-ATPA proved an efficient anchor functionality, successfully stabilizing the molecular chains on the sample surface. These findings emphasizes, once again, the importance of balancing and fine-tuning molecule-molecule and molecule-surface interactions in order to achieve stable, yet structurally flexible molecular arrangements on the sample surface. In the last chapter, I showed how the intrinsic property of molecular chirality decisively influences the structure formation in molecular self-assembly. This effect is especially pronounced in the case of the chiral heptahelicene-2-carboxylic acid. Deposition of the enantiopure molecules results in the formation of homochiral islands on the sample surface which is in sharp contrast to the formation of uni-directional double rows upon deposition of the racemate onto the same surface. While it remained uncertain from these previous experiments whether the double rows are composed of hetero- or homochiral molecules, I could clearly answer that question here and demonstrate that the rows are of heterochiral origin. Chirality, thus, proves to be another important parameter to steer the intermolecular interaction on surfaces. Altogether, the results of this thesis demonstrate that, in order to successfully control the structure formation in molecular self-assembly, the correct combination of molecule and surface properties is crucial. This is of special importance when working on substrates that exhibit a strong influence on the structure formation, such as the calcite(10.4) surface. Through the systematic variation of functional groups several important parameters that influence the balance between molecule-surface and molecule-molecule interaction were identified here, and the results of this thesis can, thus, act as a guideline for the rational design of molecules for use in molecular self-assembly.