Über die Linearität der Teichmüllerschen Modulgruppe des Torus mit zwei Punktierungen

Über die Liniarität der Teichmüllerschen Modulgruppe des Torus mit zwei Punktierungen. In meiner Arbeit beschäftige ich mich mit Darstellungen der Teichmüllerschen Modulgruppe des Torus mit zwei Punktierungen. Mein Ansatz hierbei ist, die Teichmüllersche Modulgruppe in eine p-adische Liegruppe einzubetten. Sei nun F die von zwei Elementen erzeugte freie Gruppe und Aut(F) die Automorphismengruppe von F. Inhalt des ersten Kapitels ist es nun zu zeigen, daß folgende Aussagen äquivalent sind: - Die Teichmüllersche Modulgruppe des Torus mit zwei Punktierungen ist linear, - Aut(F)ist linear, - F besitzt eine p-Kongruenzstruktur, deren Folgen- glieder von Aut(F) festgehalten werden, also charak- teristisch sind. Im zweiten Kapitel wird unter anderem gezeigt, daß es eine Einbettung einer Untergruppe endlichen Indexes der Aut(F) in die Automorphismengruppe einer einfachen p-adischen Liegruppe gibt. Bisher ist unbekannt, ob die Buraudarstellung treu ist.In dieser Arbeit wird ein unendliches, lineares Gleichungssystem, dessen Lösungen gerade die Koeffizienten der Wörter des Kernes der Buraudarstellung sind, vorgestellt.Im dritten Kapitel wird mit den Methoden des 1.Kapitels gezeigt, daß der Torus mit zwei Punktierungen genau dann linear ist, wenn die Teichmüllersche Modulgruppe der Sphäre mit 5 Punktierungen es auch ist. Bekanntlich ist die 4. Braidgruppe linear. Nun ist aber die 4. Braidgruppe letztlich die Teichmüllersche Modulgruppe der abgeschlossenen Kreisscheibe mit 5 Punktierungen. Wenn man nun deren Randpunkte miteinander identifiziert und anschließend wegläßt, erhält man die 5-fach punktiereSphäre.Mit der eben beschriebenen Abbildung kann man zeigen, daß die Teichmüllersche Modulgruppe der fünffach punktierten Sphäre linear ist.

On the linearity of the Teichmüller modular group of the twice punctured torus The aim of this thesis is to find and to analyse linear presentations of the Teichmüller modulargroup of the twice punctured torus.Especially I am embedding the modular group into a p-adic liegroup. We will write F for the free group, generated by two elements and Aut(F) for its automorphism group. Inthe first chapter I will show the equivalence of: - the Teichmüller modular group of the twice punctured torus is linear, - Aut(F) is linear, - there is a characteristic p-congruenzstructure of F. In the second chapter it is shown that one can embed a subgroup of Aut(F) of finite index into the automorphismgroup of a simple p-adic liegroup.Until now, its not known, if the Burau presentationis faithful. I showed, there is a system of infinite linear equations, solved exactly by the coefficients of the members of the cernel of the Burau presentation.In the third chapter it is shown by the tools, created in the first chapter that the twice punctured torus is linear iff the Teichmüller modular group of the five times punctured sphere is.It is well known that the 4.Braid group is linear. One realises immediately by checking the definitions that the 4.Braid group is nothing else than the Teichmüller modular group of the four times punctured closed disk.Now there is a mapping from the open four times punctured disc onto the five times punctured sphere.By a short sequence,induced by this mapping, one finds immediately (e.g. by the first chapter) the linearity of the Teichmüller modular group of the five times punctured sphere.