Ein, zwei Punkte zu Nichtkommutativer Geometrie und Quantenfeldtheorie auf diskreten Räumen

Über viele Jahre hinweg wurden wieder und wieder Argumente angeführt, die diskreten Räumen gegenüber kontinuierlichen Räumen eine fundamentalere Rolle zusprechen. Unser Zugangzur diskreten Welt wird durch neuere Überlegungen der Nichtkommutativen Geometrie (NKG) bestimmt. Seit ca. 15Jahren gibt es Anstrengungen und auch Fortschritte, Physikmit Hilfe von Nichtkommutativer Geometrie besser zuverstehen. Nur eine von vielen Möglichkeiten ist dieReformulierung des Standardmodells derElementarteilchenphysik. Unter anderem gelingt es, auch denHiggs-Mechanismus geometrisch zu beschreiben. Das Higgs-Feld wird in der NKG in Form eines Zusammenhangs auf einer zweielementigen Menge beschrieben. In der Arbeit werden verschiedene Ziele erreicht:Quantisierung einer nulldimensionalen ,,Raum-Zeit'', konsistente Diskretisierungf'ur Modelle im nichtkommutativen Rahmen.Yang-Mills-Theorien auf einem Punkt mit deformiertemHiggs-Potenzial. Erweiterung auf eine ,,echte''Zwei-Punkte-Raum-Zeit, Abzählen von Feynman-Graphen in einer nulldimensionalen Theorie, Feynman-Regeln. Eine besondere Rolle werden Termini, die in derQuantenfeldtheorie ihren Ursprung haben, gewidmet. In diesemRahmen werden Begriffe frei von Komplikationen diskutiert,die durch etwaige Divergenzen oder Schwierigkeitentechnischer Natur verursacht werden könnten.Eichfixierungen, Geistbeiträge, Slavnov-Taylor-Identität undRenormierung. Iteratives Lösungsverfahren derDyson-Schwinger-Gleichung mit Computeralgebra-Unterstützung,die Renormierungsprozedur berücksichtigt.

Von nichtkommutativen Geometrien, ihren Symmetrien und etwas Hochenergiephysik

In den letzten fünf Jahren hat sich mit dem Begriff desspektralen Tripels eine Möglichkeit zur Beschreibungdes an Spinoren gekoppelten Gravitationsfeldes auf(euklidischen) nichtkommutativen Räumen etabliert. Die Dynamik dieses Gravitationsfeldes ist dabei durch diesogenannte spektrale Wirkung, dieSpur einer geeigneten Funktion des Dirac-Operators,bestimmt. Erstaunlicherweise kann man die vollständige Lagrange-Dichtedes (an das Gravitationsfeld gekoppelten) Standardmodellsder Elementarteilchenphysik, also insbesondere auch denmassegebenden Higgs-Sektor, als spektrale Wirkungeines entsprechenden spektralen Tripels ableiten. Diesesspektrale Tripel ist als Produkt des spektralenTripels der (kommutativen) Raumzeit mit einem speziellendiskreten spektralen Tripel gegeben. In der Arbeitwerden solche diskreten spektralen Tripel, die bis vorKurzem neben dem nichtkommutativen Torus die einzigen,bekannten nichtkommutativen Beispiele waren, klassifiziert. Damit kannnun auch untersucht werden, inwiefern sich dasStandardmodell durch diese Eigenschaft gegenüber anderenYang-Mills-Higgs-Theorien auszeichnet. Es zeigt sichallerdings, dasses - trotz mancher Einschränkung - eine sehr große Zahl vonModellen gibt, die mit Hilfe von spektralen Tripelnabgeleitet werden können. Es wäre aber auch denkbar, dass sich das spektrale Tripeldes Standardmodells durch zusätzliche Strukturen,zum Beispiel durch eine darauf ``isometrisch'' wirkendeHopf-Algebra, auszeichnet. In der Arbeit werden, um dieseFrage untersuchen zu können, sogenannte H-symmetrischespektrale Tripel, welche solche Hopf-Isometrien aufweisen,definiert.Dabei ergibt sich auch eine Möglichkeit, neue(H-symmetrische) spektrale Tripel mit Hilfe ihrerzusätzlichen Symmetrienzu konstruieren. Dieser Algorithmus wird an den Beispielender kommutativen Sphäre, deren Spin-Geometrie hier zumersten Mal vollständig in der globalen, algebraischen Sprache der NichtkommutativenGeometrie beschrieben wird, sowie dem nichtkommutativenTorus illustriert.Als Anwendung werden einige neue Beipiele konstruiert. Eswird gezeigt, dass sich für Yang-Mills Higgs-Theorien, diemit Hilfe von H-symmetrischen spektralen Tripeln abgeleitetwerden, aus den zusätzlichen Isometrien Einschränkungen andiefermionischen Massenmatrizen ergeben. Im letzten Abschnitt der Arbeit wird kurz auf dieQuantisierung der spektralen Wirkung für diskrete spektraleTripel eingegangen.Außerdem wird mit dem Begriff des spektralen Quadrupels einKonzept für die nichtkommutative Verallgemeinerungvon lorentzschen Spin-Mannigfaltigkeiten vorgestellt.

On Sandwiched Singularities

Sandwich-Singularitäten sind die Singularitäten auf derNormalisierung von Aufblasungen eines regulärenFlächenkeimes. In der Arbeit wird ein enger Zusammenhangzwischen Topologie und Deformationstheorie vonSandwich-Singularitäten einerseits und ebenenKurvensingularitäten andererseits dargestellt. NeueErgebnisse betreffen u.a. Deformationen vonnulldimensionalen komplexen Räumen in der Ebene, die durchvollständige Ideale beschrieben werden, z.B. wann'simultanes Aufblasen' der Fasern einer solchen Deformationmöglich ist. Zudem werden Glättungskomponenten und dieKollar-Vermutung für Sandwich-Singularitäten untersucht undim Zusammenhang damit numerische Kriterien für die Frage, obdie symbolische Algebra einer Raumkurve endlich erzeugt ist.

Toeplitz operators on finite and infinite dimensional spaces with associated psi *-Fréchet algebras

The present thesis is a contribution to the multi-variable theory of Bergman and Hardy Toeplitz operators on spaces of holomorphic functions over finite and infinite dimensional domains. In particular, we focus on certain spectral invariant Frechet operator algebras F closely related to the local symbol behavior of Toeplitz operators in F. We summarize results due to B. Gramsch et.al. on the construction of Psi_0- and Psi^*-algebras in operator algebras and corresponding scales of generalized Sobolev spaces using commutator methods, generalized Laplacians and strongly continuous group actions. In the case of the Segal-Bargmann space H^2(C^n,m) of Gaussian square integrable entire functions on C^n we determine a class of vector-fields Y(C^n) supported in complex cones K. Further, we require that for any finite subset V of Y(C^n) the Toeplitz projection P is a smooth element in the Psi_0-algebra constructed by commutator methods with respect to V. As a result we obtain Psi_0- and Psi^*-operator algebras F localized in cones K. It is an immediate consequence that F contains all Toeplitz operators T_f with a symbol f of certain regularity in an open neighborhood of K. There is a natural unitary group action on H^2(C^n,m) which is induced by weighted shifts and unitary groups on C^n. We examine the corresponding Psi^*-algebra A of smooth elements in Toeplitz-C^*-algebras. Among other results sufficient conditions on the symbol f for T_f to belong to A are given in terms of estimates on its Berezin-transform. Local aspects of the Szegö projection P_s on the Heisenbeg group and the corresponding Toeplitz operators T_f with symbol f are studied. In this connection we apply a result due to Nagel and Stein which states that for any strictly pseudo-convex domain U the projection P_s is a pseudodifferential operator of exotic type (1/2, 1/2). The second part of this thesis is devoted to the infinite dimensional theory of Bergman and Hardy spaces and the corresponding Toeplitz operators. We give a new proof of a result observed by Boland and Waelbroeck. Namely, that the space of all holomorphic functions H(U) on an open subset U of a DFN-space (dual Frechet nuclear space) is a FN-space (Frechet nuclear space) equipped with the compact open topology. Using the nuclearity of H(U) we obtain Cauchy-Weil-type integral formulas for closed subalgebras A in H_b(U), the space of all bounded holomorphic functions on U, where A separates points. Further, we prove the existence of Hardy spaces of holomorphic functions on U corresponding to the abstract Shilov boundary S_A of A and with respect to a suitable boundary measure on S_A. Finally, for a domain U in a DFN-space or a polish spaces we consider the symmetrizations m_s of measures m on U by suitable representations of a group G in the group of homeomorphisms on U. In particular,in the case where m leads to Bergman spaces of holomorphic functions on U, the group G is compact and the representation is continuous we show that m_s defines a Bergman space of holomorphic functions on U as well. This leads to unitary group representations of G on L^p- and Bergman spaces inducing operator algebras of smooth elements related to the symmetries of U.

Pseudodifferential operators on Hilbert space riggings with associated psi *-algebras and generalized Hörmander classes

The present thesis is concerned with certain aspects of differential and pseudodifferential operators on infinite dimensional spaces. We aim to generalize classical operator theoretical concepts of pseudodifferential operators on finite dimensional spaces to the infinite dimensional case. At first we summarize some facts about the canonical Gaussian measures on infinite dimensional Hilbert space riggings. Considering the naturally unitary group actions in $L^2(H_-,gamma)$ given by weighted shifts and multiplication with $e^{iSkp{t}{cdot}_0}$ we obtain an unitary equivalence $F$ between them. In this sense $F$ can be considered as an abstract Fourier transform. We show that $F$ coincides with the Fourier-Wiener transform. Using the Fourier-Wiener transform we define pseudodifferential operators in Weyl- and Kohn-Nirenberg form on our Hilbert space rigging. In the case of this Gaussian measure $gamma$ we discuss several possible Laplacians, at first the Ornstein-Uhlenbeck operator and then pseudo-differential operators with negative definite symbol. In the second case, these operators are generators of $L^2_gamma$-sub-Markovian semi-groups and $L^2_gamma$-Dirichlet-forms. In 1992 Gramsch, Ueberberg and Wagner described a construction of generalized Hörmander classes by commutator methods. Following this concept and the classical finite dimensional description of $Psi_{ro,delta}^0$ ($0leqdeltaleqroleq 1$, $delta< 1$) in the $C^*$-algebra $L(L^2)$ by Beals and Cordes we construct in both cases generalized Hörmander classes, which are $Psi^*$-algebras. These classes act on a scale of Sobolev spaces, generated by our Laplacian. In the case of the Ornstein-Uhlenbeck operator, we prove that a large class of continuous pseudodifferential operators considered by Albeverio and Dalecky in 1998 is contained in our generalized Hörmander class. Furthermore, in the case of a Laplacian with negative definite symbol, we develop a symbolic calculus for our operators. We show some Fredholm-criteria for them and prove that these Fredholm-operators are hypoelliptic. Moreover, in the finite dimensional case, using the Gaussian-measure instead of the Lebesgue-measure the index of these Fredholm operators is still given by Fedosov's formula. Considering an infinite dimensional Heisenberg group rigging we discuss the connection of some representations of the Heisenberg group to pseudo-differential operators on infinite dimensional spaces. We use this connections to calculate the spectrum of pseudodifferential operators and to construct generalized Hörmander classes given by smooth elements which are spectrally invariant in $L^2(H_-,gamma)$. Finally, given a topological space $X$ with Borel measure $mu$, a locally compact group $G$ and a representation $B$ of $G$ in the group of all homeomorphisms of $X$, we construct a Borel measure $mu_s$ on $X$ which is invariant under $B(G)$.

Pseudodifferential analysis in Psi*-algebras on transmission spaces, infinite solving ideal chains and K-theory for conformally compact spaces

The present thesis is a contribution to the theory of algebras of pseudodifferential operators on singular settings. In particular, we focus on the $b$-calculus and the calculus on conformally compact spaces in the sense of Mazzeo and Melrose in connection with the notion of spectral invariant transmission operator algebras. We summarize results given by Gramsch et. al. on the construction of $Psi_0$-and $Psi*$-algebras and the corresponding scales of generalized Sobolev spaces using commutators of certain closed operators and derivations. In the case of a manifold with corners $Z$ we construct a $Psi*$-completion $A_b(Z,{}^bOmega^{1/2})$ of the algebra of zero order $b$-pseudodifferential operators $Psi_{b,cl}(Z, {}^bOmega^{1/2})$ in the corresponding $C*$-closure $B(Z,{}^bOmega^{12})hookrightarrow L(L^2(Z,{}^bOmega^{1/2}))$. The construction will also provide that localised to the (smooth) interior of Z the operators in the $A_b(Z, {}^bOmega^{1/2})$ can be represented as ordinary pseudodifferential operators. In connection with the notion of solvable $C*$-algebras - introduced by Dynin - we calculate the length of the $C*$-closure of $Psi_{b,cl}^0(F,{}^bOmega^{1/2},R^{E(F)})$ in $B(F,{}^bOmega^{1/2}),R^{E(F)})$ by localizing $B(Z, {}^bOmega^{1/2})$ along the boundary face $F$ using the (extended) indical familiy $I^B_{FZ}$. Moreover, we discuss how one can localise a certain solving ideal chain of $B(Z, {}^bOmega^{1/2})$ in neighbourhoods $U_p$ of arbitrary points $pin Z$. This localisation process will recover the singular structure of $U_p$; further, the induced length function $l_p$ is shown to be upper semi-continuous. We give construction methods for $Psi*$- and $C*$-algebras admitting only infinite long solving ideal chains. These algebras will first be realized as unconnected direct sums of (solvable) $C*$-algebras and then refined such that the resulting algebras have arcwise connected spaces of one dimensional representations. In addition, we recall the notion of transmission algebras on manifolds with corners $(Z_i)_{iin N}$ following an idea of Ali Mehmeti, Gramsch et. al. Thereby, we connect the underlying $C^infty$-function spaces using point evaluations in the smooth parts of the $Z_i$ and use generalized Laplacians to generate an appropriate scale of Sobolev spaces. Moreover, it is possible to associate generalized (solving) ideal chains to these algebras, such that to every $ninN$ there exists an ideal chain of length $n$ within the algebra. Finally, we discuss the $K$-theory for algebras of pseudodifferential operators on conformally compact manifolds $X$ and give an index theorem for these operators. In addition, we prove that the Dirac-operator associated to the metric of a conformally compact manifold $X$ is not a Fredholm operator.

Auswirkungen einer hypertonen, hyperonkotischen Therapie in Kombination mit chirurgischer Hämatomentfernung auf funktionelle und histologische Defizite nach akutem subduralem Hämatom der Ratte

Auswirkungen einer hypertonen / hyperonkotischen Therapie in Kombination mit chirurgischer Hämatomentfernung auf funktionelle und histologische Defizite nach akutem subduralem Hämatom der Ratte: Die Zeit bis zur Behandlung eines akuten subduralen Hämatoms stellt eine der wichtigsten prognosebestimmenden Faktoren für die Mortalität und Morbidität der Patienten dar. Ein unbehandeltes akutes subdurales Hämatom im Rahmen eines schweren Schädelhirntraumas geht mit einer Sterblichkeit von weit über 50% einher. Selbst bei zeitiger chirurgischer Entlastung versterben noch ca. 30% der Patienten als Folge der Hirnschädigung. Um Therapieoptionen zur Verbesserung der schlechten Prognose nach akutem subduralem Hämatom liefern zu können, wurde in dieser Studie die frühe Therapie mit hypertonen / hyperonkotischen Lösungen (HHT) sowie die Kombination mit chirurgischer Evakuation des Hämatoms untersucht. In dem genutzten Tiermodell wurde ein subdurales Hämatom über die Infusion von 400 µl autologen venösen Blutes erreicht. Je nach Gruppe erhielten die Ratten 30 Minuten nach ASDH eine HHT oder isotonische Kochsalzlösung und ggf. eine chirurgische Entfernung des Hämatoms eine Stunde nach Induktion. Die Studie war in zwei Teile getrennt. Die akute Studie welche den intraoperativen Verlauf von Blutwerten, intrakraniellem Druck zerebralem Perfusionsdruck und zerebralem Blutfluss untersuchte und die chronische Studie welche über Verhaltenstests (Neuroscore, Beamwalk, Open Field) die funktionellen und histologischen Ergebnisse im Verlauf von 12 Tage betrachtete. Im Ergebnis konnten durch eine HHT eine Reduktion der intrakraniellen Hypertension erreicht werden. Im Langzeit Verlauf schnitten alle Behandlungen besser ab als die unbehandelte Gruppe. In Bezug auf die neurologische Erholung und das histologische Defizit zeigten die mit einer HHT behandelten Tiere jedoch die besten Ergebnisse. rnEine frühe chirurgische Intervention ist eine protektive Maßnahme bezogen auf die funktionelle Defizite und den histologischen Schaden nach akutem subduralem Hämatom, aber frühe hypertone / hyperonkotische Behandlung ist in diesem Modell sogar noch effektiver. Eine frühe Behandlung mit hypertonen / hyperonkotischen Lösungen stellt somit eine vielversprechende, sichere und kausale Therapieoption zur Verbesserung der Prognose nach akutem subduralem Hämatom dar. rn

Eine ökologische Landeskunde der Rhön

Die Ökologische Landeskunde der Rhön – mit einem Schwerpunkt auf dem hessischen Teil – behandelt als moderne Landeskunde neben der Geostruktur und der humangeographischen Struktur im Besonderen die ökologische Struktur, denn nur durch diese Pointierung können Räume in ihrer Gesamtheit und Komplexität beschrieben werden. Das gilt im Besonderen für ökologisch bedeutsame Schutzräume wie die Rhön. Der Mittelgebirgsraum Rhön ist eine über Jahrhunderte gewachsene Kulturlandschaft mit einem weitgehend intakten, aber fragilen Ökosystem, das eine einzigartige und schützenswerte floristische und faunistische Ausstattung aufweist. Durch die weitreichenden mittelalterlichen Rodungen und die anschließende extensive Weidenutzung haben sich unter dem Eingriff des Menschen besonders auf den Höhenlagen im Laufe der Zeit artenreiche und ökologisch bedeutsame Ökosystemtypen, wie Borst- und Kalkmagerrasen, entwickelt. Um das naturräumliche und touristische Potential des Untersuchungsraums langfristig erhalten zu können, haben ökologische und nachhaltige Entwicklungen in den einzelnen Wirtschaftssektoren eine überragende Funktion. Im primären, sekundären und tertiären Sektor zeigen sich deutliche Entwicklungen hin zu ökologischen Erzeugnissen und Dienstleistungen. Der Ökolandbau gewinnt in der Rhön zunehmend an Bedeutung, Betriebe spezialisieren sich immer mehr auf Bio-zertifizierte und regionale Produkte und werben verstärkt mit ökologischen und rhöntypischen Begrifflichkeiten. Vor allem der für die Rhön wirtschaftlich bedeutende Tourismussektor, der im Spannungsfeld zwischen Ökonomie und Ökologie steht, entwickelt sich ebenfalls in Richtung nachhaltiger und umweltfreundlicher Formen. Am Beispiel des Milseburgradwegs konnte anhand einer Besucherbefragung auf Basis standardisierter Fragestellungen mit vornehmlich geschlossenen Fragen gezeigt werden, wie wichtig den Nutzern eine intakte Natur ist und wie Ökotourismus, Wirtschaftlichkeit und Naturschutz koexistieren können. Die Prämierung der Rhön zum Biosphärenreservat Rhön durch die UNESCO im Jahre 1991 erwies sich als Glücksfall und konnte dem strukturschwachen ländlichen Raum wichtige ökologische und wirtschaftliche Impulse geben, vor allem in Richtung ökologischer und nachhaltiger Erzeugnisse und Dienstleistungen. Die Auszeichnung kann dabei als Synthese zwischen Geostruktur und humangeographischer Struktur angesehen werden und ist Würdigung, Mahnung und Pflicht zugleich. Zusätzlich verdeutlicht sie auf eindringliche Weise die Fragilität und Schutzwürdigkeit des Ökosystems. Gegenwärtig zeichnen sich im Untersuchungsraum einige Entwicklungen ab, die die ökologische Raumstruktur gefährden und zusätzlich zur Aberkennung des Titels Biosphärenreservat führen könnten, weshalb sie kritisch gesehen werden müssen. Hier stechen der Bau der geplanten Bundesstraße B 87n von Fulda nach Meiningen oder das Kernzonendefizit hervor. Die Arbeit ist deshalb ein Plädoyer für den unbedingten Erhalt des identitätsstiftenden Titels Biosphärenreservat sowie für eine aktive Umweltbildung, denn eine erfolgreiche Zukunft und Identifikation der Bewohner mit ihrem Heimatraum ist unmittelbar an das Prädikat gekoppelt. Ökologische Landeskunden verstehen sich als aktive Elemente in der Umweltbildung und richten sich an die Menschen, die immer mehr zum prägenden Faktor von Räumen und ihren Ökosystemen werden. In der Rhön können sie sogar als Ausgangspunkt für die Herausbildung aufgefasst werden. Trotz der begrenzten Aussagekraft der Arbeit und der Komplexität des Untersuchungsraums zeigen sich vielfältige, ökologisch relevante Entwicklungen, die jedoch durch weitere sozialwissenschaftliche und wirtschaftswissenschaftliche Arbeiten erweitert, vertieft und stetig abgeglichen werden müssen.

Visuell-mediale Landschaftskonstruktionen als Bild-Raum-Diskurse

Durch die massenmediale Zunahme von statischen und bewegten Bilder im Laufe des letzten Jahrhunderts vollzieht sich unsere lebensweltliche Wirklichkeitskonstruktion zu Beginn des 21. Jahrhunderts zunehmend über Visualisierungen, die mit den neuen Formen der Digitalisierung noch an Dynamik zunehmen werden. Mit diesen omnipräsenten visuell-medialen Repräsentationen werden meist räumliche Vorstellungen transportiert, denn Räume werden vor allem über Bilder konstruiert. Diese Bildräume zirkulieren dabei nicht als singuläre Bedeutungszuschreibungen, sondern sind in sprachliche und bildliche Diskurse eingebettet. Visuell-mediale Bild-Raum-Diskurse besitzen zunehmend die Fähigkeit, unser Wissen über und unsere Wahrnehmung von Räumen zu kanalisieren und auf stereotype Raumstrukturen zu reduzieren. Dabei verfestigt sich eine normative Ordnung von bestimmten machtvollen Bildräumen, die nicht genügend kritisch hinterfragt werden. Deshalb ist es für die Geographie von entscheidender Wichtigkeit, mediale Raumkonstruktio- nen, ihre Einbettung in diskursive Bildarchive und ihre essentialistische und handlungspraktische gesellschaftliche Wirkung zu verstehen.rnLandschaften können vor diesem Hintergrund als visuell-medial transportierte Bild-Raum-Diskurse konzeptionalisiert werden, deren gesellschaftliche Wirkmächtigkeit mit Hilfe einer visuell ausgerichteten Diskursanalyse hinterfragt werden sollte. Auf Grundlage einer zeichentheoretischen Ikonologie wurde eine Methodik entwickelt, die visuell ausgerichtete Schrift-Bild-Räume angemessen analysieren kann. Am Beispiel der Inszenierung des Mittelrheintals, wurde, neben einer diachronischen Strukturanalyse der diskursrelevanten Medien (Belletristik, Malerei, Postkarten, Druckgrafiken und Fotografien), eine Feinanalyse der fotografischen „Rheinlandschaften“ von August Sander der 1930er Jahre durchgeführt. Als Ergebnis zeigte sich, dass der Landschaftsdiskurs über das Mittelrheintal immer noch durch die gegenseitige Durchdringung der romantischen Literatur und Malerei in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts und die historischen Fotografien in den ersten Jahrzehnten des 20. Jahrhunderts bestimmt ist, nicht zuletzt forciert durch die Ernennung zum UNESCO-Welterbe 2002. Der stark visuell ausgerichtete Landschaftsdiskurs trägt somit zum einen positiv konnotierte, romantisch-pittoreske Züge, die die Einheit von Mensch und Natur symbolisieren, zum anderen historisch-konservatorische Züge, die eine Mythifizierung zu einer gewachsenen, authentischen Kulturlandschaft evozieren.