Toeplitz operators on finite and infinite dimensional spaces with associated psi *-Fréchet algebras

The present thesis is a contribution to the multi-variable theory of Bergman and Hardy Toeplitz operators on spaces of holomorphic functions over finite and infinite dimensional domains. In particular, we focus on certain spectral invariant Frechet operator algebras F closely related to the local symbol behavior of Toeplitz operators in F. We summarize results due to B. Gramsch et.al. on the construction of Psi_0- and Psi^*-algebras in operator algebras and corresponding scales of generalized Sobolev spaces using commutator methods, generalized Laplacians and strongly continuous group actions. In the case of the Segal-Bargmann space H^2(C^n,m) of Gaussian square integrable entire functions on C^n we determine a class of vector-fields Y(C^n) supported in complex cones K. Further, we require that for any finite subset V of Y(C^n) the Toeplitz projection P is a smooth element in the Psi_0-algebra constructed by commutator methods with respect to V. As a result we obtain Psi_0- and Psi^*-operator algebras F localized in cones K. It is an immediate consequence that F contains all Toeplitz operators T_f with a symbol f of certain regularity in an open neighborhood of K. There is a natural unitary group action on H^2(C^n,m) which is induced by weighted shifts and unitary groups on C^n. We examine the corresponding Psi^*-algebra A of smooth elements in Toeplitz-C^*-algebras. Among other results sufficient conditions on the symbol f for T_f to belong to A are given in terms of estimates on its Berezin-transform. Local aspects of the Szegö projection P_s on the Heisenbeg group and the corresponding Toeplitz operators T_f with symbol f are studied. In this connection we apply a result due to Nagel and Stein which states that for any strictly pseudo-convex domain U the projection P_s is a pseudodifferential operator of exotic type (1/2, 1/2). The second part of this thesis is devoted to the infinite dimensional theory of Bergman and Hardy spaces and the corresponding Toeplitz operators. We give a new proof of a result observed by Boland and Waelbroeck. Namely, that the space of all holomorphic functions H(U) on an open subset U of a DFN-space (dual Frechet nuclear space) is a FN-space (Frechet nuclear space) equipped with the compact open topology. Using the nuclearity of H(U) we obtain Cauchy-Weil-type integral formulas for closed subalgebras A in H_b(U), the space of all bounded holomorphic functions on U, where A separates points. Further, we prove the existence of Hardy spaces of holomorphic functions on U corresponding to the abstract Shilov boundary S_A of A and with respect to a suitable boundary measure on S_A. Finally, for a domain U in a DFN-space or a polish spaces we consider the symmetrizations m_s of measures m on U by suitable representations of a group G in the group of homeomorphisms on U. In particular,in the case where m leads to Bergman spaces of holomorphic functions on U, the group G is compact and the representation is continuous we show that m_s defines a Bergman space of holomorphic functions on U as well. This leads to unitary group representations of G on L^p- and Bergman spaces inducing operator algebras of smooth elements related to the symmetries of U.

Die vorliegende Arbeit ist ein Beitrag zur mehrdimensionalen Theorie der Bergman und Hardy Toeplitz Operatoren auf Räumen holomorpher Funktionen über endlich und unendlich dimensionalen Gebieten.Insbesondere sind bestimmte spektral invariante Frechet Operator Algebren F von Interesse, die in enger Verbindung zu dem lokalen Symbolverhalten der Toeplitz Operatoren in F stehen. Wir fassen einige bekannte Resultate von B. Gramsch at. al. zusammen hinsichtlich der Konstruktion von Psi_0- und Psi^*- Operator Algebren und zugehörigen verallgemeinerten Skalen von Sobolev Räumen. Diese Konstruktionen verwenden Kommutator Methoden, verallgemeinerte Laplace Operatoren und stark stetige Gruppen Operationen. Im Fall des Segal-Bargmann Raumes H^2(C^n,m) aller Gauss-quadrat integrierbarer ganzer Funktionen auf C^n bestimmen wir eine Klasse von Vektorfeldern Y(C^n), die in komplexen Kegeln getragen sind. Dabei ist gefordert, dass für jedes endliche System V in Y(C^n) die Toeplitz Projektion P ein glatter Operator in der Psi_0-Algebra wird, die sich durch Kommutator Methoden aus V ergibt. Man erhält Psi_0- und Psi^*-Operator Algebren F, die in Kegeln K lokalisiert sind. Als unmittelbare Konsequenz enthält F alle Toeplitz Operatoren T_f mit einem Symbol f von hinreichend guter Regularität in einer offenen Umgebung von K. Auf H^2(C^n,m) lassen sich natürliche unitäre Gruppen Operationen definieren, die sich aus gewichteten Shifts und unitären Darstellungen auf C^n ableiten. Wir untersuchen die zugehörigen Psi^*-Algebren A aller glatten Elemente in Toeplitz-C^*-Algebren. Neben einiger anderer Resultate können hier hinreichende Bedingungen an das Symbol f in Ausdrücken seiner Berezin Transformierten gefunden werden, die die Zugehörigkeit von T_f zu A implizieren. Lokale Aspekte der Szegö Projektion P_s über der Heisenberg Gruppe und zugehörige Toeplitz Operatoren T_f werden untersucht. In diesem Zusammenhang wenden wir ein Resultat von Nagel und Stein an: für jedes strikt pseudokonvexe Gebiet U ist die Projektion P_s ein Pseudo-Differential Operator von exotischem Typ (1/2,1/2). Der zweite Teil der vorliegenden Arbeit beschäftigt sich mit der unendlich dimensionalen Theorie von Bergman und Hardy Räumen und den zugehörigen Toeplitz Operatoren. Nach einem bemerkenswerten Ergebnisse von Boland und Waelbroek ist der Raum aller holomorphen Funktionen H(U) über einer offenen Teilmenge U eines DFN-Raumes (der Dual eines nuklearen Frechet Raumes) mit der kompakt-offen Topologie ein FN-Raum (nuklearer Frechet Raum). Wir geben einen neuen Beweis dieses Resultates mit Hilfe des Begriffs der NF_2-Maße. Unter Verwendung der Nuklearität von H(U) erhalten wir nun Cauchy-Weil-Typ Integral-Formeln für abgeschlossene und Punkte trennende Unteralgebren A in H_b(U), dem Raum aller beschränkten holomorphen Funktionen auf U. Darüber hinaus beweisen wir die Existenz von Hardy Räumen holomorpher Funktionen auf U für den abstrakten Shilov Rand S_A von A und bezüglich eines geeigneten Rand-Maßes auf S_A. Schließlich betrachten wir für Gebiete U in DFN- oder polnischen Räumen die Symmetrisierung m_s von Maßen m auf U bezüglich geeigneter Darstellungen von Gruppen G in der Homöomorphismen-Gruppe auf U. Insbesondere zeigen wir, dass in allen Fällen, in denen m zu Bergman Räumen holomorpher Funktionen auf U führt, die Gruppe G kompakt und die Darstellung stetig ist, auch das symmetrisierte Mass m_s einen Bergman Raum holomorpher Funktionen auf U definiert. Dies führt zu unitären Gruppendarstellungen von G in L^p- und Bergman Räumen, die ihrerseits wiederum Algebren glatter Operatoren hinsichtlich der Symmetrien von U induzieren.