Efficient certification of feasibility and objective value of linear programs and its applications

The use of linear programming in various areas has increased with the significant improvement of specialized solvers. Linear programs are used as such to model practical problems, or as subroutines in algorithms such as formal proofs or branch-and-cut frameworks. In many situations a certified answer is needed, for example the guarantee that the linear program is feasible or infeasible, or a provably safe bound on its objective value. Most of the available solvers work with floating-point arithmetic and are thus subject to its shortcomings such as rounding errors or underflow, therefore they can deliver incorrect answers. While adequate for some applications, this is unacceptable for critical applications like flight controlling or nuclear plant management due to the potential catastrophic consequences. We propose a method that gives a certified answer whether a linear program is feasible or infeasible, or returns unknown'. The advantage of our method is that it is reasonably fast and rarely answers unknown'. It works by computing a safe solution that is in some way the best possible in the relative interior of the feasible set. To certify the relative interior, we employ exact arithmetic, whose use is nevertheless limited in general to critical places, allowing us to rnremain computationally efficient. Moreover, when certain conditions are fulfilled, our method is able to deliver a provable bound on the objective value of the linear program. We test our algorithm on typical benchmark sets and obtain higher rates of success compared to previous approaches for this problem, while keeping the running times acceptably small. The computed objective value bounds are in most of the cases very close to the known exact objective values. We prove the usability of the method we developed by additionally employing a variant of it in a different scenario, namely to improve the results of a Satisfiability Modulo Theories solver. Our method is used as a black box in the nodes of a branch-and-bound tree to implement conflict learning based on the certificate of infeasibility for linear programs consisting of subsets of linear constraints. The generated conflict clauses are in general small and give good rnprospects for reducing the search space. Compared to other methods we obtain significant improvements in the running time, especially on the large instances.

Representation theorems for indefinite quadratic forms and applications

Diese Arbeit widmet sich den Darstellungssätzen für symmetrische indefinite (das heißt nicht-halbbeschränkte) Sesquilinearformen und deren Anwendungen. Insbesondere betrachten wir den Fall, dass der zur Form assoziierte Operator keine Spektrallücke um Null besitzt. Desweiteren untersuchen wir die Beziehung zwischen reduzierenden Graphräumen, Lösungen von Operator-Riccati-Gleichungen und der Block-Diagonalisierung für diagonaldominante Block-Operator-Matrizen. Mit Hilfe der Darstellungssätze wird eine entsprechende Beziehung zwischen Operatoren, die zu indefiniten Formen assoziiert sind, und Form-Riccati-Gleichungen erreicht. In diesem Rahmen wird eine explizite Block-Diagonalisierung und eine Spektralzerlegung für den Stokes Operator sowie eine Darstellung für dessen Kern erreicht. Wir wenden die Darstellungssätze auf durch (grad u, h() grad v) gegebene Formen an, wobei Vorzeichen-indefinite Koeffzienten-Matrizen h() zugelassen sind. Als ein Resultat werden selbstadjungierte indefinite Differentialoperatoren div h() grad mit homogenen Dirichlet oder Neumann Randbedingungen konstruiert. Beispiele solcher Art sind Operatoren die in der Modellierung von optischen Metamaterialien auftauchen und links-indefinite Sturm-Liouville Operatoren.

Analytische Ableitungen der Energie für den "Equation-of-Motion-Coupled-Cluster"-Ansatz zur Berechnung von Ionisationspotentialen

In der vorliegenden Arbeit wird die Theorie der analytischen zweiten Ableitungen für die EOMIP-CCSD-Methode formuliert sowie die durchgeführte Implementierung im Quantenchemieprogramm CFOUR beschrieben. Diese Ableitungen sind von Bedeutung bei der Bestimmung statischer Polarisierbarkeiten und harmonischer Schwingungsfrequenzen und in dieser Arbeit wird die Genauigkeit des EOMIP-CCSD-Ansatzes bei der Berechnung dieser Eigenschaften für verschiedene radikalische Systeme untersucht. Des Weiteren können mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitungen vibronische Kopplungsparameter berechnet werden, welche zur Simulation von Molekülspektren in Kombination mit dem Köppel-Domcke-Cederbaum (KDC)-Modell - in der Arbeit am Beispiel des Formyloxyl (HCO2)-Radikals demonstriert - benötigt werden.rnrnDer konzeptionell einfache EOMIP-CC-Ansatz wurde gewählt, da hier die Wellenfunktion eines Radikalsystems ausgehend von einem stabilen geschlossenschaligen Zustand durch die Entfernung eines Elektrons gebildet wird und somit die Problematik der Symmetriebrechung umgangen werden kann. Im Rahmen der Implementierung wurden neue Programmteile zur Lösung der erforderlichen Gleichungen für die gestörten EOMIP-CC-Amplituden und die gestörten Lagrange-Multiplikatoren zeta zum Quantenchemieprogramm CFOUR hinzugefügt. Die unter Verwendung des Programms bestimmten Eigenschaften werden hinsichtlich ihrer Leistungsfähigkeit im Vergleich zu etablierten Methoden wie z.B. CCSD(T) untersucht. Bei der Berechnung von Polarisierbarkeiten und harmonischen Schwingungsfrequenzen liefert die EOMIP-CCSD-Theorie meist gute Resultate, welche nur wenig von den CCSD(T)-Ergebnissen abweichen. Einzig bei der Betrachtung von Radikalen, für die die entsprechenden Anionen nicht stabil sind (z.B. NH2⁻ und CH3⁻), liefert der EOMIP-CCSD-Ansatz aufgrund methodischer Nachteile keine aussagekräftige Beschreibung. rnrnDie Ableitungen der EOMIP-CCSD-Energie lassen sich auch zur Simulation vibronischer Kopplungen innerhalb des KDC-Modells einsetzen.rnZur Kopplung verschiedener radikalischer Zustände in einem solchen Modellpotential spielen vor allem die Ableitungen von Übergangsmatrixelementen eine wichtige Rolle. Diese sogenannten Kopplungskonstanten können in der EOMIP-CC-Theorie besonders leicht definiert und berechnet werden. Bei der Betrachtung des Photoelektronenspektrums von HCO2⁻ werden zwei Alternativen untersucht: Die vertikale Bestimmung an der Gleichgewichtsgeometrie des HCO2⁻-Anions und die Ermittlung adiabatischer Kraftkonstanten an den Gleichgewichtsgeometrien des Radikals. Lediglich das adiabatische Modell liefert bei Beschränkung auf harmonische Kraftkonstanten eine qualitativ sinnvolle Beschreibung des Spektrums. Erweitert man beide Modelle um kubische und quartische Kraftkonstanten, so nähern sich diese einander an und ermöglichen eine vollständige Zuordnung des gemessenen Spektrums innerhalb der ersten 1500 cm⁻¹. Die adiabatische Darstellung erreicht dabei nahezu quantitative Genauigkeit.