IMEX finite volume methods for the shallow water equations

Die Flachwassergleichungen (SWE) sind ein hyperbolisches System von Bilanzgleichungen, die adäquate Approximationen an groß-skalige Strömungen der Ozeane, Flüsse und der Atmosphäre liefern. Dabei werden Masse und Impuls erhalten. Wir unterscheiden zwei charakteristische Geschwindigkeiten: die Advektionsgeschwindigkeit, d.h. die Geschwindigkeit des Massentransports, und die Geschwindigkeit von Schwerewellen, d.h. die Geschwindigkeit der Oberflächenwellen, die Energie und Impuls tragen. Die Froude-Zahl ist eine Kennzahl und ist durch das Verhältnis der Referenzadvektionsgeschwindigkeit zu der Referenzgeschwindigkeit der Schwerewellen gegeben. Für die oben genannten Anwendungen ist sie typischerweise sehr klein, z.B. 0.01. Zeit-explizite Finite-Volume-Verfahren werden am öftersten zur numerischen Berechnung hyperbolischer Bilanzgleichungen benutzt. Daher muss die CFL-Stabilitätsbedingung eingehalten werden und das Zeitinkrement ist ungefähr proportional zu der Froude-Zahl. Deswegen entsteht bei kleinen Froude-Zahlen, etwa kleiner als 0.2, ein hoher Rechenaufwand. Ferner sind die numerischen Lösungen dissipativ. Es ist allgemein bekannt, dass die Lösungen der SWE gegen die Lösungen der Seegleichungen/ Froude-Zahl Null SWE für Froude-Zahl gegen Null konvergieren, falls adäquate Bedingungen erfüllt sind. In diesem Grenzwertprozess ändern die Gleichungen ihren Typ von hyperbolisch zu hyperbolisch.-elliptisch. Ferner kann bei kleinen Froude-Zahlen die Konvergenzordnung sinken oder das numerische Verfahren zusammenbrechen. Insbesondere wurde bei zeit-expliziten Verfahren falsches asymptotisches Verhalten (bzgl. der Froude-Zahl) beobachtet, das diese Effekte verursachen könnte.Ozeanographische und atmosphärische Strömungen sind typischerweise kleine Störungen eines unterliegenden Equilibriumzustandes. Wir möchten, dass numerische Verfahren für Bilanzgleichungen gewisse Equilibriumzustände exakt erhalten, sonst können künstliche Strömungen vom Verfahren erzeugt werden. Daher ist die Quelltermapproximation essentiell. Numerische Verfahren die Equilibriumzustände erhalten heißen ausbalanciert.rnrnIn der vorliegenden Arbeit spalten wir die SWE in einen steifen, linearen und einen nicht-steifen Teil, um die starke Einschränkung der Zeitschritte durch die CFL-Bedingung zu umgehen. Der steife Teil wird implizit und der nicht-steife explizit approximiert. Dazu verwenden wir IMEX (implicit-explicit) Runge-Kutta und IMEX Mehrschritt-Zeitdiskretisierungen. Die Raumdiskretisierung erfolgt mittels der Finite-Volumen-Methode. Der steife Teil wird mit Hilfe von finiter Differenzen oder au eine acht mehrdimensional Art und Weise approximniert. Zur mehrdimensionalen Approximation verwenden wir approximative Evolutionsoperatoren, die alle unendlich viele Informationsausbreitungsrichtungen berücksichtigen. Die expliziten Terme werden mit gewöhnlichen numerischen Flüssen approximiert. Daher erhalten wir eine Stabilitätsbedingung analog zu einer rein advektiven Strömung, d.h. das Zeitinkrement vergrößert um den Faktor Kehrwert der Froude-Zahl. Die in dieser Arbeit hergeleiteten Verfahren sind asymptotisch erhaltend und ausbalanciert. Die asymptotischer Erhaltung stellt sicher, dass numerische Lösung das "korrekte" asymptotische Verhalten bezüglich kleiner Froude-Zahlen besitzt. Wir präsentieren Verfahren erster und zweiter Ordnung. Numerische Resultate bestätigen die Konvergenzordnung, so wie Stabilität, Ausbalanciertheit und die asymptotische Erhaltung. Insbesondere beobachten wir bei machen Verfahren, dass die Konvergenzordnung fast unabhängig von der Froude-Zahl ist.

Windkanalstudien zum Graupelwachstum und Bestimmung von Retentionskoeffizienten verschiedener Spurengase während der Bereifung

Am vertikalen Windkanal der Johannes Gutenberg-Universität Mainz wurden physikalische und chemische Bereifungsexperimente durchgeführt. Dabei lagen die Umgebungstemperaturen bei allen Experimenten zwischen etwa -15 und -5°C und der Flüssigwassergehalt erstreckte sich von 0,9 bis etwa 1,6g/m³, typische Bedingungen für Mischphasenwolken in denen Bereifung stattfindet. Oberflächentemperaturmessungen an wachsenden hängenden Graupelpartikeln zeigten, dass während der Experimente trockene Wachstumsbedingungen herrschten.rnZunächst wurde das Graupelwachstum an in einer laminaren Strömung frei schwebenden Eispartikeln mit Anfangsradien zwischen 290 und 380µm, die mit flüssigen unterkühlten Wolkentröpfchen bereift wurden, studiert. Ziel war es, den Kollektionskern aus der Massenzunahme des bereiften Eispartikels und dem mittleren Flüssigwassergehalt während des Wachstumsexperimentes zu bestimmen. Die ermittelten Werte für die Kollektionskerne der bereiften Eispartikel erstreckten sich von 0,9 bis 2,3cm³/s in Abhängigkeit ihres Kollektorimpulses (Masse * Fallgeschwindigkeit des bereifenden Graupels), der zwischen 0,04 und 0,10gcm/s lag. Bei den Experimenten zeigte sich, dass die hier gemessenen Kollektionskerne höher waren im Vergleich mit Kollektionskernen flüssiger Tropfen untereinander. Aus den aktuellen Ergebnissen dieser Arbeit und der vorhandenen Literaturwerte wurde ein empirischer Faktor entwickelt, der von dem Wolkentröpfchenradius abhängig ist und diesen Unterschied beschreibt. Für die untersuchten Größenbereiche von Kollektorpartikel und flüssigen Tröpfchen können die korrigierten Kollektionskernwerte in Wolkenmodelle für die entsprechenden Größen eingebunden werden.rnBei den chemischen Experimenten zu dieser Arbeit wurde die Spurenstoffaufnahme verschiedener atmosphärischer Spurengase (HNO3, HCl, H2O2, NH3 und SO2) während der Bereifung untersucht. Diese Experimente mussten aus technischen Gründen mit hängenden Eispartikeln, dendritischen Eiskristallen und Schneeflocken, bereift mit flüssigen Wolkenlösungströpfchen, durchgeführt werden.rnDie Konzentrationen der Lösung, aus der die Wolkentröpfchen mit Hilfe von Zweistoffdüsen erzeugt wurden, lagen zwischen 1 und 120mg/l. Für die Experimente mit Ammoniak und Schwefeldioxid wurden Konzentrationen zwischen 1 und 22mg/l verwendet. Das Schmelzwasser der bereiften hängenden Graupel und Schneeflocken wurden ionenchromatographisch analysiert und zusammen mit der bekannten Konzentration der bereifenden Wolkentröpfchen konnte der Retentionskoeffizient für jeden Spurenstoff bestimmt werden. Er gibt die Menge an Spurenstoff an, die bei der Phasenumwandlung von flüssig zu fest in die Eisphase übergeht. Salpetersäure und Salzsäure waren nahezu vollständig retiniert (Mittelwerte der gesamten Experimente entsprechend 99±8% und 100±9%). Für Wasserstoffperoxid wurde ein mittlerer Retentionskoeffizient von 65±17% bestimmt. rnDer mittlere Retentionskoeffizient von Ammoniak ergab sich unabhängig vom Flüssigwassergehalt zu 92±21%, während sich für Schwefeldioxid 53±10% für niedrige und 29±7% für hohe Flüssigphasenkonzentrationen ergaben. Bei einigen der untersuchten Spurenstoffe wurde eine Temperaturabhängigkeit beobachtet und wenn möglich durch Parametrisierungen beschrieben.rn

Analysis and numerical solution of the Peterlin viscoelastic model

Liquids and gasses form a vital part of nature. Many of these are complex fluids with non-Newtonian behaviour. We introduce a mathematical model describing the unsteady motion of an incompressible polymeric fluid. Each polymer molecule is treated as two beads connected by a spring. For the nonlinear spring force it is not possible to obtain a closed system of equations, unless we approximate the force law. The Peterlin approximation replaces the length of the spring by the length of the average spring. Consequently, the macroscopic dumbbell-based model for dilute polymer solutions is obtained. The model consists of the conservation of mass and momentum and time evolution of the symmetric positive definite conformation tensor, where the diffusive effects are taken into account. In two space dimensions we prove global in time existence of weak solutions. Assuming more regular data we show higher regularity and consequently uniqueness of the weak solution. For the Oseen-type Peterlin model we propose a linear pressure-stabilized characteristics finite element scheme. We derive the corresponding error estimates and we prove, for linear finite elements, the optimal first order accuracy. Theoretical error of the pressure-stabilized characteristic finite element scheme is confirmed by a series of numerical experiments.