IMEX finite volume methods for the shallow water equations

Die Flachwassergleichungen (SWE) sind ein hyperbolisches System von Bilanzgleichungen, die adäquate Approximationen an groß-skalige Strömungen der Ozeane, Flüsse und der Atmosphäre liefern. Dabei werden Masse und Impuls erhalten. Wir unterscheiden zwei charakteristische Geschwindigkeiten: die Advektionsgeschwindigkeit, d.h. die Geschwindigkeit des Massentransports, und die Geschwindigkeit von Schwerewellen, d.h. die Geschwindigkeit der Oberflächenwellen, die Energie und Impuls tragen. Die Froude-Zahl ist eine Kennzahl und ist durch das Verhältnis der Referenzadvektionsgeschwindigkeit zu der Referenzgeschwindigkeit der Schwerewellen gegeben. Für die oben genannten Anwendungen ist sie typischerweise sehr klein, z.B. 0.01. Zeit-explizite Finite-Volume-Verfahren werden am öftersten zur numerischen Berechnung hyperbolischer Bilanzgleichungen benutzt. Daher muss die CFL-Stabilitätsbedingung eingehalten werden und das Zeitinkrement ist ungefähr proportional zu der Froude-Zahl. Deswegen entsteht bei kleinen Froude-Zahlen, etwa kleiner als 0.2, ein hoher Rechenaufwand. Ferner sind die numerischen Lösungen dissipativ. Es ist allgemein bekannt, dass die Lösungen der SWE gegen die Lösungen der Seegleichungen/ Froude-Zahl Null SWE für Froude-Zahl gegen Null konvergieren, falls adäquate Bedingungen erfüllt sind. In diesem Grenzwertprozess ändern die Gleichungen ihren Typ von hyperbolisch zu hyperbolisch.-elliptisch. Ferner kann bei kleinen Froude-Zahlen die Konvergenzordnung sinken oder das numerische Verfahren zusammenbrechen. Insbesondere wurde bei zeit-expliziten Verfahren falsches asymptotisches Verhalten (bzgl. der Froude-Zahl) beobachtet, das diese Effekte verursachen könnte.Ozeanographische und atmosphärische Strömungen sind typischerweise kleine Störungen eines unterliegenden Equilibriumzustandes. Wir möchten, dass numerische Verfahren für Bilanzgleichungen gewisse Equilibriumzustände exakt erhalten, sonst können künstliche Strömungen vom Verfahren erzeugt werden. Daher ist die Quelltermapproximation essentiell. Numerische Verfahren die Equilibriumzustände erhalten heißen ausbalanciert.rnrnIn der vorliegenden Arbeit spalten wir die SWE in einen steifen, linearen und einen nicht-steifen Teil, um die starke Einschränkung der Zeitschritte durch die CFL-Bedingung zu umgehen. Der steife Teil wird implizit und der nicht-steife explizit approximiert. Dazu verwenden wir IMEX (implicit-explicit) Runge-Kutta und IMEX Mehrschritt-Zeitdiskretisierungen. Die Raumdiskretisierung erfolgt mittels der Finite-Volumen-Methode. Der steife Teil wird mit Hilfe von finiter Differenzen oder au eine acht mehrdimensional Art und Weise approximniert. Zur mehrdimensionalen Approximation verwenden wir approximative Evolutionsoperatoren, die alle unendlich viele Informationsausbreitungsrichtungen berücksichtigen. Die expliziten Terme werden mit gewöhnlichen numerischen Flüssen approximiert. Daher erhalten wir eine Stabilitätsbedingung analog zu einer rein advektiven Strömung, d.h. das Zeitinkrement vergrößert um den Faktor Kehrwert der Froude-Zahl. Die in dieser Arbeit hergeleiteten Verfahren sind asymptotisch erhaltend und ausbalanciert. Die asymptotischer Erhaltung stellt sicher, dass numerische Lösung das "korrekte" asymptotische Verhalten bezüglich kleiner Froude-Zahlen besitzt. Wir präsentieren Verfahren erster und zweiter Ordnung. Numerische Resultate bestätigen die Konvergenzordnung, so wie Stabilität, Ausbalanciertheit und die asymptotische Erhaltung. Insbesondere beobachten wir bei machen Verfahren, dass die Konvergenzordnung fast unabhängig von der Froude-Zahl ist.

The shallow water equations (SWE) belong to the class of hyperbolic systems of partial differential rnequations (balance laws) that rnprovide suitable approximations to the large-scale motion of oceans, rivers and the atmosphere. rnThereby mass and momentum are conserved. We distinguish two characteristic velocities:rnthe advection velocity, i.e. the velocity of mass transport, andrnthe gravity wave speed, i.e. the velocity of surface waves, which carry energy and rnmomentum. The Froude number is a reference number and is given by the fraction of the rnadvection and the gravity waves reference velocity. It is typically very small for the above rnapplications, e.g. $0.01$. rnrnrnTime-explicit finite volume methods belong to the most frequently used numerical schemes to solve rnhyperbolic balance laws. Consequently, we have to respect the CFL stability condition and the time rnincrement is approximately proportional to the Froude number. Thus, low Froude numbers, say below rn$0.2$, lead to very small time steps and result in high computational costs and dissipative rnsolutions. rnrnrnIt is well-known that solutions of the SWE converge to rnsolutions of the lake equations/ zero Froude number SWE as the Froude number approaches rnzero, if suitable conditions are provided. In this limiting process, the rnequations change their type from hyperbolic to mixed hyperbolic-elliptic. rnMoreover, for small Froude numbers the convergence order of standard numerical schemes rnmay decrease or even the numerical solution may break down. In particular, time-explicit schemes rnhave been observed to provide wrong asymptotic behaviour (with respect to the Froude number) in the rnlow Froude number regime and may cause these effects. rnrnOceanographic and atmospheric flows are typically small perturbations of an underlying rnequilibrium state. It is desirable that numerical schemes for balance laws have to preserve rncertain equilibrium states exactly, otherwise spurious motion may occur. Thus, the approximation of rnsource terms is crucial. Numerical schemes that preserve equilibrium states are called well-balanced.rnrnIn the present thesis we split the SWE into a stiff, linear part and a non-stiff one in order to rncircumvent the strong time step restriction from the CFL-condition. The stiff part is treated rnimplicitly, while the non-stiff terms are approximated explicitly. To this end we apply IMEX rn(implicit-explicit) Runge-Kutta and IMEX multi-step time-discretisations. The space-discretisation rnuses finite volumes. The stiff part is approximated by means of central finite differences or in a rngenuinely multidimensional way. The multidimensional approximation is obtained by approximate rnevolution operators, that take all infinitely many directions of wave propagation into account. The rnexplicit terms are approximated by standard numerical fluxes. Consequently, we obtain a stability rnconstrain rnanalogously to one of a purely advective flow, i.e.~the time steps increase approximately by the rnfactor of the Froude numbers inverse. The methods developed in this thesis are rnasymptotic preserving and well-balanced, where the asymptotic preserving property ensures that the rnnumerical solutions have the "correct" asymptotic behaviour with respect to low Froude numbers. rnWe present first and second order schemes. Numerical tests confirm first and second order rnconvergence rates as well as stability, well-balanced and asymptotic preserving property. In rnparticular, some schemes show almost uniform convergence rates with respect to the Froude number.