Massima estensione della soluzione di Schwarzschild e diagrammi di Penrose

Il punto di partenza dell'elaborato riguarda il modo in cui si giunge, a partire dalla relatività ristretta, a quella generale. Quest'ultima viene poi identificata come una teoria della gravitazione in cui si ottengono le equazioni di campo. Da qui si discute la soluzione delle equazioni di Einstein trovata da Schwarzschild evidenziandone i limiti. Si procede alla estensione di questa soluzione introducendo dapprima le coordinate di Eddington-Finkelstein e poi l'estensione massima data da Kruskal. Infine viene mostrato come è possibile compattificare l'infinito spaziotempo in una regione finita senza alterare la struttura causale. Questo viene fatto tramite delle trasformazioni particolari: le trasformazioni conformi. I diagrammi spaziotemporali che si ottengono dopo la compattificazione conforme sono conosciuti come i digrammi di Penrose e qui si vede come ottenere quelli dello spaziotempo di Minkowski e quelli dello spaziotempo della soluzione di Schwarzschild.

Hidden Schrödinger symmetry in FLRW and Bianchi I minisuperspace models of cosmology and black holes Schwarzschild dynamics

A broad sector of literature focuses on the relationship between fluid dynamics and gravitational systems. This thesis presents results that suggest the existence of a new kind of fluid/gravity duality not based on the holographic principle. The goal is to provide tools that allow us to systematically unearth hidden symmetries for reduced models of cosmology. The focus is on the field space of these models, i.e. the superspace. In fact, conformal isometries of the supermetric leave geodesics in the field space unaltered; this leads to symmetries of the models. An innovative aspect is the use of the Eisenhart-Duval’s lift. Using this method, systems constrained by a potential can be treated as free ones. Moreover, charges explicitly dependent on time, i.e. dynamical, can be found. A detailed analysis is carried out on three basic models of homogenous cosmology: i) flat Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker’s isotropic universe filled with a massless scalar field; ii) Schwarzschild’s black hole mechanics and its extension to vacuum (A)dS gravity; iii) Bianchi’s anisotropic type I universe with a massless scalar field. The results show the presence of a hidden Schrödinger’s symmetry which, being intrinsic to both Navier-Stokes’ and Schrödinger’s equations, indicates a correspondence between cosmology and hydrodynamics. Furthermore, the central extension of this algebra explicitly relates two concepts. The first is the number of particles coming from the fluid picture; while the second is the ratio between the IR and UV cutoffs that weighs how much a theory has of “classical” over “quantum”. This suggests a spacetime that emerges from an underlying world which is described by quantum building blocks. These quanta statistically conspire to appear as gravitational phenomena from a macroscopic point of view.

Analisi degli effetti di trascinamento in relativita generale

Il presente lavoro si compone di una parte iniziale in cui si introducono i principi alla base della teoria della Relatività Generale, e viene discussa la loro effettiva importanza come elementi fondanti del lavoro di Einstein. Nel capitolo 1 si sviluppano i principali concetti di geometria differenziale utili alla comprensione dei risultati ottenuti nei capitoli successivi. In particolare viene mostrato un risultato notevole che permette di ricavare gli integrali primi del moto geodetico a partire dalla dipendenza del tensore metrico dalle coordinate utilizzate. Vengono poi brevemente introdotte le Equazioni di campo di Einstein. Nel capitolo 2 Viene ricavata la soluzione di Schwarzschild e le quantità conservate nel moto in caduta libera verso una sorgente a simmetria sferica e statica. Viene poi definito il concetto di orizzonte degli eventi. Infine nel capitolo 3 viene introdotta la metrica di Kerr, e si suggerisce come questa possa essere indotta da una sorgente massiva rotante. Vengono analizzati gli integrali primi del moto di particelle in caduta libera e da questi viene ricavata l'espressione dell'effetto di trascinamento. Vengono poi introdotto il concetto di limite statico e la definizione di ergosfera, e viene ricavata l'espressione del raggio dell'orizzonte degli eventi.

Black hole evaporation and stress tensor correlations

General Relativity is one of the greatest scientific achievementes of the 20th century along with quantum theory. These two theories are extremely beautiful and they are well verified by experiments, but they are apparently incompatible. Hints towards understanding these problems can be derived studying Black Holes, some the most puzzling solutions of General Relativity. The main topic of this Master Thesis is the study of Black Holes, in particular the Physics of Hawking Radiation. After a short review of General Relativity, I study in detail the Schwarzschild solution with particular emphasis on the coordinates systems used and the mathematical proof of the classical laws of Black Hole "Thermodynamics". Then I introduce the theory of Quantum Fields in Curved Spacetime, from Bogolubov transformations to the Schwinger-De Witt expansion, useful for the renormalization of the stress energy tensor. After that I introduce a 2D model of gravitational collapse to study the Hawking radiation phenomenon. Particular emphasis is given to the analysis of the quantum states, from correlations to the physical implication of this quantum effect (e.g. Information Paradox, Black Hole Thermodynamics). Then I introduce the renormalized stress energy tensor. Using the Schwinger-De Witt expansion I renormalize this object and I compute it analytically in the various quantum states of interest. Moreover, I study the correlations between these objects. They are interesting because they are linked to the Hawking radiation experimental search in acoustic Black Hole models. In particular I find that there is a characteristic peak in correlations between points inside and outside the Black Hole region, which correpsonds to entangled excitations inside and outside the Black Hole. These peaks hopefully will be measurable soon in supersonic BEC.

Termodinamica dei buchi neri e radiazione di Hawking

Questo lavoro di tesi si occupa dello studio dei buchi neri e delle loro proprietà termodinamiche da un punto di vista teorico. Nella prima parte si affronta una analisi teorico-matematica che mostra la soluzione dell’equazione di Einstein in relatività generale per un problema a simmetria sferica. Da questa soluzione si osserva la possibile presenza nell’universo di oggetti ai quali nemmeno alla luce è data la possibilità di fuggire, chiamati buchi neri. Ad ogni buco nero è associato un orizzonte degli eventi che si comporta come una membrana a senso unico: materia e luce possono entrare ma niente può uscire. E` studiata inoltre la possibile formazione di questi oggetti, mostrando che se una stella supera un certo valore critico di massa, durante la fase finale della sua evoluzione avverrà un collasso gravitazionale che nessuna forza conosciuta sarà in grado di fermare, portando alla formazione di un buco nero. Nella seconda parte si studiano le leggi meccaniche dei buchi neri. Queste leggi descrivono l’evoluzione degli stessi attraverso parametri come l’area dell’orizzonte degli eventi, la massa e la gravità di superficie. Si delinea quindi una analogia formale tra queste leggi meccaniche e le quattro leggi della termodinamica, con l’area dell’orizzonte degli eventi che si comporta come l’entropia e la gravità di superficie come la temperatura. Nella terza parte, attraverso l’utilizzo della meccanica quantistica, si mostra che l’analogia non è solo formale. Ad un buco nero è associata l’emissione di uno spettro di radiazione che corrisponde proprio a quello di un corpo nero che ha una temperatura proporzionale alla gravità di superficie. Si osserva inoltre che l’area dell’orizzonte degli eventi può essere interpretata come una misura della informazione contenuta nel buco nero e di conseguenza della sua entropia.

L'atmosfera termica e il suo ruolo nell'entropia dei buchi neri

Con il testo presente, si intende mostrare come i gradi di libertà associati all'entropia di un buco nero possano essere ricercati in parte fruttuosamente nell'interazione dei campi quantistici con la struttura causale e geometrica esibita da un buco nero. Nel Capitolo 1, si affrontano le principali caratteristiche dei buchi neri alla luce della teoria classica di Relatività Generale: sono analizzate la soluzione di Schwarzschild e la struttura causale nello spazio-tempo conseguente, discutendo le definizioni di orizzonte e di singolarità e il rapporto che le lega, con riferimento ai risultati di Penrose e Hawking. Introdotto, all'inizio del Capitolo 2, il concetto di gravità superficiale e la metrica di Kerr-Newman, si studia il significato delle Quattro Leggi dei buchi neri, valide per soluzioni stazionarie. Il Capitolo 3 espone quali motivazioni spingano a proporre una caratterizzazione termodinamica dei buchi neri, attribuendovi una temperatura e un'entropia (detta “di Bekenstein-Hawking”) di natura geometrica, dipendente dall'area dell'orizzonte; si trattano qui i problemi che si incontrano nel costruire una corrispondente Meccanica Statistica. Si descrive dunque in quali termini il processo di radiazione di Hawking riesca a dare una spiegazione fisica della temperatura, e si rileva la presenza, secondo osservatori statici, di un'atmosfera termica nei pressi dell’orizzonte. Infine, si esamina la possibilità di attribuire alla radiazione di Hawking i gradi di libertà relativi all'entropia di Bekenstein-Hawking. In particolare, si illustra il modello a muro di mattoni di 't Hooft, che lega i gradi di libertà all'atmosfera termica. Considerando infine la deformazione dell'orizzonte dovuta a fluttuazioni quantistiche, si giunge alla conclusione che l'entropia dell'atmosfera termica rappresenta non un'interpretazione dell'entropia di Bekenstein-Hawking, bensì una sua correzione al secondo ordine.

Coordinate di Painlevé-Gullstrand e buchi neri acustici

In questa tesi si introduce il concetto di buco nero acustico come l’analogo sonoro di ciò che rappresenta un buco nero in relatività generale. In primo luogo verrà quindi illustrata la teoria della gravitazione di Einstein, per poi entrare nel dettaglio della soluzione di Schwarzschild e della nozione di buco nero. In secondo luogo si dimostrerà come alcuni sistemi, i fluidi disomogenei in movimento, riescano a riprodurre effetti gravitazionali sotto certe condizioni. In particolare si osserverà come il suono che si propaga in questi fluidi lo faccia lungo delle geodetiche determinate da una "metrica acustica" dipendente da velocità e densità del fluido, che verrà ricavata. Ciò che permetterà di stabilire l’analogia sarà un’estensione analitica della soluzione di Schwarzschild, quella di Painlevé-Gullstrand: si potrà infatti identificare (formalmente) l’elemento di linea acustico con l’elemento di linea di Painlevé-Gullstrand. Si troverà che portando la velocità del fluido a una velocità maggiore di quella del suono, nella zona supersonica le onde acustiche non potranno propagarsi controcorrente ma verranno trascinate nella direzione opposta, come i raggi luminosi vengono trascinati verso la singolarità all’interno dell’orizzonte degli eventi di un buco nero. La zona supersonica verrà quindi chiamata buco nero acustico.

Meccanismi di trasporto dell'energia in astrofisica

L’energia viene prodotta in ogni parte dell’universo attraverso numerosi processi, tra cui le reazioni termonucleari, e può essere trasportata attraverso tre meccanismi possibili: la conduzione, il trasporto radiativo e la convezione. La conduzione si basa sul trasporto di energia tramite elettroni, e diventa rilevante dal punto di vista astrofisico nel caso di materia degenere. Il trasporto radiativo, invece, utilizza come agente di trasporto il fotone ed è il meccanismo di trasporto principale nell’universo. La convezione, infine, si basa sul trasporto di energia e materia tramite celle di gas. In particolare, è possibile descrivere conduzione, convezione e trasporto radiativo analizzando la struttura stellare, in quanto negli interni stellari l’energia può essere trasportata con ognuno dei tre meccanismi, a seconda delle condizioni della stella. L’energia viene prodotta all’interno del nucleo tramite reazioni termonucleari e viene trasportata verso i gusci esterni più freddi. Il flusso di radiazione, quindi, dipende principalmente dal gradiente termico, senza il quale non si avrebbe trasporto di energia, ma sono rilevanti anche altri fattori, come l’opacità k. Nella seguente tesi verranno trattati i tre meccanismi di trasporto dell’energia in astrofisica , descrivendone le principali caratteristiche. Innanzitutto, per quanto riguarda la conduzione, si analizzerà la causa per cui questo meccanismo è trascurabile negli interni stellari e la condizione nella quale, invece, diventa rilevante. Si descriverà, poi, il trasporto radiativo, sia negli interni stellari sia nelle atmosfere stellari, tramite le equazioni del trasporto, con particolare attenzione all’opacità del mezzo. Infine, per la convezione, si affronterà l’espressione del flusso convettivo e il criterio di Schwarzschild, che definisce la condizione per cui una regione è o meno stabile alla convezione.

Le onde gravitazionali: dalla geometria differenziale al LIGO

Le onde gravitazionali, la cui prima osservazione diretta risale al 2015, sono una delle predizioni più importanti della Relatività Generale di Einstein. In questo lavoro di tesi triennale si vuole fornire uno studio approfondito di tale fenomeno. A tale scopo la trattazione è stata suddivisa in tre capitoli: Nel primo capitolo si getteranno le basi della geometria differenziale, fondamentale per la formulazione della Relatività Generale, introducendo tutte le nozioni ed i teoremi fondamentali per questa teoria. Nel secondo introdurremo i principi alla base della formulazione della teoria della Relatività Generale. Successivamente scriveremo le equazioni di campo di Einstein e ne ricaveremo una prima soluzione esatta (la soluzione di Schwarzschild). Grazie alle conoscenze che verranno introdotte nei primi due capitoli, nell'ultimo potremo studiare in dettaglio il fenomeno delle onde gravitazionali: come si ricavano a partire dalle equazioni di Einsten, come si propagano, come interagiscono con la materia, come si possono rilevare, ...