La logica del secondo ordine e la prova ontologica di Gödel

Nel mio lavoro ho deciso di dedicare il primo capitolo all'evoluzione della prova ontologica nella storia della filosofia e della logica e all'analisi, da un punto di vista logico, della prova di Gödel. Nella prima sezione, quindi, ho riportato l'argomentazione di Anselmo d'Aosta, il primo a proporre una prova ontologica, e a seguire quelle di Scoto, Spinoza, Leibniz e Russell, evidenziando dove opportuno le critiche ad esse apportate. Nella seconda sezione ho ripercorso le tappe della prova ontologica di Gödel e ho riportato e analizzato alcuni dei passaggi logici tratti da uno dei suoi taccuini. Nel secondo capitolo ne ho analizzato in particolare la logica del secondo ordine. Inoltre ho dedicato la prima sezione a un breve richiamo di logica modale S5. Ho infine brevemente trattato un caso particolare della logica del secondo ordine, vale a dire la logica del secondo ordine debole.

Storia, sviluppi e applicazioni dei logaritmi.

Scopo della tesi è la trattazione dei logaritmi a partire dalla storia di quest'ultimi, al loro sviluppo, fino ad arrivare alle diverse applicazioni dei logaritmi in svariate discipline. La tesi è strutturata in quattro capitoli, nel primo dei quali si parte analizzando quali istanze teoriche e necessità pratiche abbiano preparato la strada all'introduzione dei logaritmi. Vengono riportati alcuni passi del testo più importante dedicato da Nepero ai logaritmi, Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio, la modifica ad opera di Henry Briggs e la diffusione dei logaritmi in gran parte dell' Europa. Nel secondo capitolo viene evidenziato il legame tra i logaritmi e la geometria dell'iperbole per poi passare alla trattazione dei primi studi sulla curva logaritmica. Nel terzo capitolo viene esaminata la controversia tra Leibniz e Bernoulli sul significato da attribuire ai logaritmi dei numeri negativi soffermandosi su come Eulero uscì da una situazione di stallo proponendo una teoria dei logaritmi dei numeri complessi. Nel quarto ed ultimo capitolo vengono analizzati i diversi utilizzi della scala logaritmica ponendo soprattutto l'attenzione sul regolo calcolatore, arrivando infine a mostrare le applicazioni dei logaritmi in altre discipline.

L'evoluzione del concetto di integrale nella storia e all'interno della scuola

Argomento della presente tesi è il calcolo integrale. Nella prima parte dell'elaborato viene descritta l'evoluzione storica delle idee presenti già nella matematica antica, che conducono infine alla creazione del calcolo integrale vero e proprio, nei fondamentali lavori di Newton e Leibniz. Segue una sintetica descrizione delle sistematizzazioni formali della teoria dell'integrazione, ad opera di Riemann e successivamente Lebesgue, oltre alla generalizzazione dell'integrale di Riemann ideata da Sieltjes, di grande importanza, fra l'altro, nel calcolo delle probabilità. Si dà poi conto degli spazi funzionali con norme integrali (L^p, spazi di Sobolev). L'ultimo capitolo è dedicato all'insegnamento del calcolo integrale nella scuola secondaria in Italia, e alla sua evoluzione dall'inizio del XX secolo a oggi.