Formule di rappresentazione e disuguaglianze di Sobolev e Poincaré

La tesi si suddivide in tre capitoli. Nel primo capitolo viene presentata una prima dimostrazione della disuguaglianza di Sobolev. La prova del Capitolo 1 si basa in modo essenziale sul fatto che R^ n è prodotto cartesiano di R per se stesso n volte. Nel Capitolo 2 si introducono i cosiddetti potenziali di Riesz Iα, con 0 < α < n che sono una tra le più importanti classi di operatori di convoluzione. Vediamo come sia possibile legare la teoria di questi operatori di tipo integrale frazionario a formule di rappresentazione . Il teorema principale di questo capitolo è il teorema di Hardy-Littlewood-Sobolev: si forniscono stime in norma L^p per tali operatori. La prova di tale teorema che qui abbiamo fornito segue l’idea di dimostrazione di Hedberg ed è basata sull’uso della disuguaglianza di Holder e sulle stime per la funzione massimale di Hardy-Littlewood. Le stime per il nucleo di Riesz I_1 sono state utilizzate nel Capitolo 3 per dimostrare le disuguaglianze di Sobolev e Poincaré nel caso p ∈]1, n[. Il caso p = 1 viene trattato a parte in quanto, nel caso p = 1, il teorema di Hardy-Littlewood- Sobolev fornisce solo una stima di tipo debole per il nucleo di Riesz I_1. Questo tipo di approccio, mediante le formule di rappresentazione, ha il vantaggio che può essere adattato a contesti geometrici diversi da quello Euclideo e a misure diverse della misura di Lebesgue. Infine, sempre nel Capitolo 3 abbiamo dato un breve cenno del collegamento che si ha tra la disuguaglianza di Sobolev nel caso p=1 e il problema isoperimetrico in R^n.

Processi di semi-Markov a tempo discreto

Studio della teoria dei processi di semi-Markov nella modellizzazione a tempo discreto. Introduzione delle catene di rinnovo di Markov, del nucleo di semi-Markov e delle catene di semi-Markov, risultati ad essi relativi. Analisi delle equazioni di rinnovo di Markov, caratterizzazione degli stati di una catena di semi-Markov, teorema di esistenza e unicità dell'equazione di rinnovo di Markov. Un esempio concreto.

Funzioni a variazione limitata di una variabile

Nel primo capitolo sono presentate alcune generalità: le principali proprietà delle funzioni a variazione limitata di una variabile partendo dalla definizione classica introdotta da Jordan e sono ricordati alcuni risultati già studiati durante questi anni di studio. Nel secondo capitolo dimostriamo un importante risultato sulla differenziabilità quasi ovunque delle funzioni a variazione limitata. Questo risultato è ottenuto come conseguenza di un teorema di ricoprimento di Vitali, che abbiamo dimostreremato come risultato più generale in R^n. Abbiamo visto inoltre la definizione di funzione assolutamente continua e caratterizzato questa classe di funzioni, collegandole proprio alla validità del teorema fondamentale del calcolo integrale (la validità del teorema fondamentale per funzioni è in effetti una caratterizzazione di questa classe di funzioni). Nel terzo capitolo infine, dopo aver fornito la definizione moderna di funzione a variazione limitata (funzione BV), si sono confrontate le due definizioni provandone la loro equivalenza.

Indagini in Deep Inference

La tesi è uno studio di alcuni aspetti della nuova metodologia “deep inference”, abbinato ad una rivisitazione dei concetti classici di proof theory, con l'aggiunta di alcuni risultati originali orientati ad una maggior comprensione dell'argomento, nonché alle applicazioni pratiche. Nel primo capitolo vengono introdotti, seguendo un approccio di stampo formalista (con alcuni spunti personali), i concetti base della teoria della dimostrazione strutturale – cioè quella che usa strumenti combinatoriali (o “finitistici”) per studiare le proprietà delle dimostrazioni. Il secondo capitolo focalizza l'attenzione sulla logica classica proposizionale, prima introducendo il calcolo dei sequenti e dimostrando il Gentzen Hauptsatz, per passare poi al calcolo delle strutture (sistema SKS), dimostrando anche per esso un teorema di eliminazione del taglio, appositamente adattato dall'autore. Infine si discute e dimostra la proprietà di località per il sistema SKS. Un percorso analogo viene tracciato dal terzo ed ultimo capitolo, per quanto riguarda la logica lineare. Viene definito e motivato il calcolo dei sequenti lineari, e si discute del suo corrispettivo nel calcolo delle strutture. L'attenzione qui è rivolta maggiormente al problema di definire operatori non-commutativi, che mettono i sistemi in forte relazione con le algebre di processo.

Il gruppo dei punti razionali sulle curve ellittiche

Il primo capitolo espone nozioni generali sulle varietà e sulle curve algebriche, sulle mappe fra di esse e su alcune proprietà geometriche importanti per caratterizzare le curve ellittiche. Il secondo capitolo propone un'introduzione allo studio geometrico e algebrico di tali curve. Il terzo e il quarto capitolo affrontano lo studio dei punti a coordinate razionali, per curve definite prima su campi locali e poi su campi globali: l'insieme di tali punti è un gruppo. Il risultato fondamentale, contenuto nel teorema di Mordell-Weil, è che tale gruppo è finitamente generato. Tutto il quarto capitolo propone i risultati necessari per la dimostrazione di tale affermazione.

Alcuni aspetti della quantizzazione dell'oscillatore armonico

Scopo principale della tesi è quello di presentare alcuni aspetti quantistici di un siste- ma fisico intermedio fra la buca infinita di potenziale e l’oscillatore armonico: una buca di potenziale con le pareti elastiche. Per questo tipo di potenziale si determinano le autofunzioni dell’energia attraverso l’u- tilizzo di equazioni differenziali di Kummer, Whittaker o Weber. Si determina inoltre lo spettro energetico di tale sistema sotto forma di un’equazione trascendente, e ne si analizza il comportamento sotto determinati limiti, dapprima in approssimazione zero e successivamente in prima approssimazione. Segue una breve trattazione sul propagatore quantistico e sulla sua forma in approssi- mazione semiclassica fornita dalla formula di Pauli - van Vleck - Morette, completa di alcuni esempi di calcolo esplicito relativo a semplici potenziali che presentano analogie con il potenziale in oggetto, e di confronti fra le forme esatte di tali propagatori e le loro approssimazioni semiclassiche. È calcolato infine anche il propagatore quantistico per la buca di potenziale con pareti elastiche, nella sua forma semiclassica

Cube Complexes and Virtual Fibering of 3-Manifolds.

Una 3-varietà si dice virtualmente fibrata se ammette un rivestimento finito che è un fibrato con base una circonferenza e fibra una superficie. In seguito al lavoro di geometrizzazione di Thurston e Perelman, la generica 3-varietà risulta essere iperbolica; un recente risultato di Agol afferma che una tale varietà è sempre virtualmente fibrata. L’ingrediente principale della prova consiste nell’introduzione, dovuta a Wise, dei complessi cubici nello studio delle 3-varietà iperboliche. Questa tesi si concentra sulle proprietà algebriche e geometriche di queste strutture combinatorie e sul ruolo che esse hanno giocato nella dimostrazione del Teorema di Fibrazione Virtuale.

Studio dei parametri che determinano la gittata sistolica e la pressione aortica

La stesura di questo elaborato di tesi trova le basi sull’articolo di Stergiopulos et al. “Determinants of stroke volume and systolic and diastolic aortic pressure” pubblicato sulla rivista americana American Journal of Physiology-Heart and Circulatory Physiology nel 1996. Si cerca di investigare sull’importanza che ricoprono alcuni parametri che descrivono il muscolo cardiaco e l’albero arterioso e sulla loro rispettiva influenza sulla pressione sistolica, pressione diastolica e sul volume di sangue eiettato in un battito, ovvero la gittata sistolica. Si procede con la descrizione in dettaglio della funzionalità cardiaca mediante il modello ad elastanza tempo variabile e il modello windkessel a tre elementi simulando così la contrazione ventricolare e l’albero arterioso sistemico. In dettaglio per quanto riguarda la struttura dell’elaborato è bene specificare che l’analisi teorica affrontata nei primi due capitoli ha l’obiettivo primario di: 1) chiarire i principali e caratteristici meccanismi che si trovano alla base della funzionalità cardiaca e procedere quindi con i richiami relativi alla fisiologia del sistema cardio-circolatorio facendo particolare attenzione al concetto di ciclo cardiaco, ciclo pressione-volume e fattori che determinano la funzionalità cardiaca in dettaglio; 2)illustrare quelli che sono i principali modelli di riferimento presenti in letteratura che descrivono la contrazione del ventricolo sinistro in termini di analisi pressione-volume ventricolari istantanei. Dal terzo capitolo in avanti si prosegue verso quello che è il vivo della trattazione dell’articolo di riferimento, nel capitolo appena citato si fa luce sui dettagli che caratterizzano il modello matematico utilizzato per approssimare al meglio il sistema cuore-sistema arterioso e sull’applicazione della teoria dell’analisi dimensionale mediante l’utilizzo del Teorema di Buckingham al fine di ricavare i parametri di interesse. Nel quarto capitolo si riportano i risultati dello studio con annessa validazione del modello e la sua applicazione rispetto al caso umano. Il quinto capitolo è sede della discussione dei risultati ottenuti cercando di far luce sull’universalità e applicabilità delle formule empiriche ottenute e su eventuali limitazioni e implicazioni riscontrabili. Tale elaborato si chiude con alcune conclusioni in merito allo studio effettuato.

Risolubilità per radicali

Lo scopo di questa tesi è di esporre il cuore centrale della teoria di Galois, la risolubilità per radicali delle equazioni polinomiali nel caso in cui il campo di partenza abbia caratteristica 0. L’operato è articolato in tre capitoli. Nel primo capitolo vengono introdotte le nozioni fondamentali della teoria dei campi e della teoria di Galois. Nel secondo capitolo, si sviluppa il problema della risolubilità per radicali. Vengono prima introdotti i gruppi risolubili e alcune loro particolarità. Poi vengono introdotte le nozioni di estensioni radicali e risolubili e relativi teoremi. Nel paragrafo 2.3 viene dimostrato il teorema principale della teoria, il teorema di Galois, che identifica la risolubilità del gruppo di Galois con la risolubilità dell’estensione. Infine l’ultimo paragrafo si occupa della risolubilità dei polinomi, sfruttando il loro campo di spezzamento. Nel terzo ed ultimo capitolo, viene discussa la risolubilita` dell’equazione polinomiale generale di grado n. Vengono inoltre riportati diversi esempi ed infine viene presentato un esempio di estensione di Galois di grado primo p non risolubile in caratteristica p.

Alcune proprietà dei poliedri

La tesi tratta della formula di Eulero per i poliedri e del teorema di rigidità di Cauchy. La tesi è conclusa da brevi considerazioni didattiche su di essi

Dipendenza dai dati per equazioni differenziali ordinarie

Problema di Cauchy, teorema di dipendenza continua dai dati iniziali, teorema di dipendenza regolare dai dati e dai parametri.

Biomechanics of the distal radio-ulnar joint: A finite element study (biomeccanica dell'articolazione radio-ulnare distale: Studio agli elementi finiti)

Il metodo agli elementi finiti è stato utilizzato per valutare la distribuzione dei carichi e delle deformazioni in numerose componenti del corpo umano. L'applicazione di questo metodo ha avuto particolare successo nelle articolazioni con geometria semplice e condizioni di carico ben definite, mentre ha avuto un impatto minore sulla conoscenza della biomeccanica delle articolazioni multi-osso come il polso. Lo scopo di questo lavoro è quello di valutare gli aspetti clinici e biomeccanici dell’articolazione distale radio-ulnare, attraverso l’utilizzo di metodi di modellazione e di analisi agli elementi finiti. Sono stati progettati due modelli 3D a partire da immagini CT, in formato DICOM. Le immagini appartenevano ad un paziente con articolazione sana e ad un paziente con articolazione patologica, in particolare si trattava di una dislocazione ulnare traumatica. Le componenti principali dei modelli presi in considerazione sono stati: radio, ulna, cartilagine, legamento interosso, palmare e distale. Per la realizzazione del radio e dell’ulna sono stati utilizzati i metodi di segmentazione “Thresholding” e “RegionGrowing” sulle immagini e grazie ad operatori morfologici, è stato possibile distinguere l’osso corticale dall’osso spongioso. Successivamente è stata creata la cartilagine presente tra le due ossa, attraverso operazioni di tipo booleano. Invece, i legamenti sono stati realizzati prendendo i punti-nodo del radio e dell’ulna e formando le superfici tra di essi. Per ciascuna di queste componenti, sono state assegnate le corrispondenti proprietà dei materiali. Per migliorare la qualità dei modelli, sono state necessarie operazioni di “Smoothing” e “Autoremesh”. In seguito, è stata eseguita un’analisi agli elementi finiti attraverso l’uso di vincoli e forze, così da simulare il comportamento delle articolazioni. In particolare, sono stati simulati lo stress e la deformazione. Infine, grazie ai risultati ottenuti dalle simulazioni, è stato possibile verificare l’eventuale rischio di frattura in differenti punti anatomici del radio e dell’ulna nell’articolazione sana e patologica.

Una teoria degli insiemi non convenzionale: NFU

Una teoria degli insiemi alternativa alla più nota e diffusa teoria di Zermelo-Fraenkel con l'Assioma di Scelta, ZFC, è quella proposta da W. V. O. Quine nel 1937, poi riveduta e corretta da R. Jensen nel 1969 e rinominata NFU (New foundations with Urelementen). Anche questa teoria è basata sui concetti primitivi di insieme e appartenenza, tuttavia differisce notevolmente da quella usuale perché si ammettono solo formule stratificate, cioè formule in cui è rispettata una gerarchizzazione elemento-insieme che considera priva di significato certe scritture. L'unico inconveniente di NFU è dovuto alle conseguenze della stratificazione. I pregi invece sono notevoli: ad esempio un uso molto naturale delle relazioni come l'inclusione, o la possibilità di considerare insiemi anche collezioni di oggetti troppo "numerose" (come l'insieme universale) senza il rischio di cadere in contraddizione. NFU inoltre risulta essere più potente di ZFC, in quanto, grazie al Teorema di Solovay, è possibile ritrovare in essa un modello con cardinali inaccessibili di ZFC ed è ammessa la costruzione di altri modelli con cardinali inaccessibili della teoria classica.

Symplectic reduction with an application to Calogero-Moser systems

Lo scopo del presente lavoro è di illustrare alcuni temi di geometria simplettica, i cui risultati possono essere applicati con successo al problema dell’integrazione dei sistemi dinamici. Nella prima parte si formalizza il teorema di Noether generalizzato, introducendo il concetto dell’applicazione momento, e si dà una descrizione dettagliata del processo di riduzione simplettica, che consiste nello sfruttare le simmetrie di un sistema fisico, ovvero l’invarianza sotto l’azione di un gruppo dato, al fine di eliminarne i gradi di libertà ridondanti. Nella seconda parte, in quanto risultato notevole reso possibile dalla teoria suesposta, si fornisce una panoramica dei sistemi di tipo Calogero-Moser: sistemi totalmente integrabili che possono essere introdotti e risolti usando la tecnica della riduzione simplettica.