La matematica dei frattali

Questa tesi ha lo scopo di descrivere le proprietà matematiche degli insiemi frattali. Nell'introduzione è spiegato brevemente cosa sono i frattali e vengono fatti alcuni esempi di frattali in natura, per poi passare agli aspetti più matematici nei capitoli. Nel capitolo uno si parla della misura e della dimensione di Hausdorff e viene calcolata, seguendo la definizione, per l'insieme di Cantor. Poi nel secondo capitolo viene descrittà l'autosimilarità e viene enunciato un importante teorema che lega l'autosimilarità e la dimensione di Hausdorff. Nel terzo capitolo vengono descritti degli insiemi frattali molto importanti: quelli di Mandelbrot e di Julia.

Matematica e musica grafi, tonnetz e teorie neo-riemanniane

Il primo capitolo verte su argomenti di musica e, dopo una breve premessa generale, ed alcuni cenni biografici di J. S. Bach, si passa ad una analisi strutturale di tipo aritmetico e geometrico su alcune sue famose composizioni, sottolineando in particolare la passione del grande compositore per la numerologia, esaminando l’importanza che il fattore numerologico sempre assume nelle sue opere. Il secondo capitolo verte su argomenti di matematica e tratta alcuni importanti aspetti della teoria dei grafi, del toro e dell’immersione di grafi in superfici. Il terzo capitolo, nel quale si fa riferimento agli argomenti dei primi due capitoli, è diviso in tre parti: la prima esamina alcuni principali fondamenti matematico-musicali, la seconda propone un excursus storico dalla scala pitagorica al temperamento equabile, la terza approfondisce il ciclo delle quinte, il Tonnetz e le teorie neo-riemanniane.

Storia e sviluppo della comunicazione della matematica: un'esperienza editoriale

"Cosa ci fa un matematico in una casa editrice?" è la comprensibile domanda che mi è stata fatta quasi ogni volta che ho raccontato la mia esperienza di tirocinio presso la Edizioni Dedalo. L'oggetto del presente elaborato è rispondere a questa domanda, un pretesto per poter presentare la comunicazione della matematica a tutto tondo. Oltre a descrivere in cosa è consistito il tirocinio, viene presentato un breve excursus sulla nascita della comunicazione scientifica, al fine di capirne l'importanza da una parte per la democratizzazione del sapere, dall'altra per lo sviluppo della scienza stessa, due aspetti fortemente interdipendenti, esaminando esempi storici da cui si evince tanto il peso della presenza quanto quello dell'assenza di una buona comunicazione. Viene analizzata la teoria per cui il salto qualitativo per la produzione scientifica avviene non a caso all'indomani dell'invenzione della stampa a caratteri mobili. Vengono forniti elementi di teoria della comunicazione, sottolineandone le differenze e i punti di contatto con la didattica, con l'aiuto di interviste a protagonisti della divulgazione e della comunicazione scientifica come Anna Cerasoli, Roberta Fulci, Eleonora Pellegrini e Paolo Zellini.

Reti Neurali Ricorrenti per la generazione di musica simbolica

Il Deep Learning ha radicalmente trasformato il mondo del Machine Learning migliorando lo stato dell'arte in diversi campi che spaziano dalla computer vision al natural language processing. Non fermandosi a problemi di classificazione, negli ultimi anni, applicazioni di tipo generativo hanno portato alla creazione di immagini realistiche e documenti letterali. Il mondo della musica non è esente da una moltitudine di esperimenti nello stesso campo, con risultati ancora acerbi ma comunque potenzialmente interessanti. In questa tesi verrà discussa l'applicazione di un di modello appartenente alla famiglia del Deep Learning per la generazione di musica simbolica.

Cartografie Rinascimentali: dai problemi pratici alla matematica soggiacente

La struttura di questo progetto di tesi vuole ripercorrere le tappe della storia della cartografia del Rinascimento: prima, vestendo i panni del cartografo rinascimentale, usufruendo delle sue conoscenze legate alla praticità, e, successivamente, attraverso la lente del matematico dell’Ottocento. Questo testo tratterà solamente le cartografie che rappresentano il globo intero. In particolare, si analizzerà la mappa di Mercatore e la mappa di Waldseemüller, di cui si approfondirà anche la costruzione tramite riga e compasso.

La probabilità e il gioco d'azzardo: progetto interdisciplinare tra matematica ed educazione civica

“Probabilità e gioco d’azzardo” è un progetto didattico interdisciplinare tra Matematica ed Educazione Civica elaborato per le classi seconde del Liceo Scientifico. Si introduce il concetto di probabilità per indagare le criticità legate al gioco d’azzardo e per capire come alcuni preconcetti e intuizioni relativi alla probabilità possano influenzarne l’analisi e la comprensione. Nel lavoro di tesi la dimensione teorica non è solo utile alla comprensione dell’aspetto pratico, ma ha un ruolo a sé stante e multidisciplinare: si ripercorre la storia dell’evoluzione della probabilità dalle origini alle moderne interpretazioni. L’analisi del concetto di equità nel SuperEnalotto e nella Roulette caratterizza la dimensione pratica dell’attività. L’apprendimento concettuale non ha un ruolo centrale: l’obiettivo del progetto è fornire agli studenti strumenti per imparare a ragionare, riflettere, mettere in discussione, argomentare e controbattere.

La sfida di educare alla financial literacy: realizzazione e analisi di un percorso didattico, rivolto a studenti della scuola di II grado, attraverso gli strumenti della didattica della matematica

La financial literacy viene definita dall’Ocse come il processo per mezzo del quale i cittadini migliorano la loro comprensione su prodotti finanziari, i concetti ad essi correlati e i rischi associati e, attraverso l’informazione, l’istruzione e consigli oggettivi, sviluppano le capacità e la fiducia nella propria consapevolezza dei rischi e delle opportunità finanziarie, di sapere dove chiedere aiuto, e intraprendere altre azioni efficaci per migliorare il proprio benessere economico. Attraverso una contestualizzazione sociale, scolastica e metodologica, il lavoro di tesi si propone di indagare i livelli di financial literacy tra gli studenti di quattro classi superiori di diverso grado. Una prima indagine avviene attraverso un pre-test sulle conoscenze finanziarie, cultura e rapporto affettivo con il mondo finanziario. Successivamente viene proposto un percorso composto da tre attività originali riguardanti il “gioco in borsa”, la pianificazione e il futuro, e le leggi finanziarie. Si analizzano: l’applicazione di conoscenze matematiche, i ragionamenti e gli atteggiamenti degli studenti nelle quattro classi.

Modellamenti matematici per la diffusione e il controllo delle infezioni da virus: aspetti analitici e numerici

In questa tesi si affronta analiticamente il problema della stabilità di modelli a più specie interagenti, in campo epidemiologico, per la diffusione ed il controllo di infezioni da virus. Vengono considerati non solo modelli governati da Sistemi Dinamici, ma anche modelli parabolici del tipo Diffusione e Reazione. Partendo dal modello pioneristico SIR di Kermak-McKendrick si affrontano in modo approfondito tutti gli aspetti matematici che permettono di prevenire e controllare la formazione e la gravità di una possibile epidemia. Il modello viene poi articolato con l'aggiunta di considerazioni sulla variazione demografica della popolazione, indicato per questo motivo con il termine endemico. Si generalizza poi questo modello a due possibili applicazioni, includendo nella prima gli effetti della vaccinazione, ottenendo così il nuovo sistema dinamico SIRV. La seconda rappresenta invece uno studio avvenuto agli inizi dell'epidemia da COVID-19, quando i vaccini non erano ancora disponibili. Successivamente viene presentato il recente studio di Bellomo, estensione del modello prototipo per la diffusione di virus, un sistema di tipo Diffusione-Reazione con equazione di tipo diffusione-drift, in cui vengono connessi due aspetti importanti: la propagazione di virus e la chemotassi, in forte analogia con il modello SIR e derivante dalla logica del modello pioneristico di Keller-Segel. Infine, a completamento dello studio analitico, vengono proposti alcuni strumenti dell'analisi numerica, utilizzando l'ambiente MATLAB sul classico modello SIR e su altri due modelli che lo generalizzano per tener conto in un primo tempo della diffusione spaziale della coppia SI e poi solo di S, ma con effetto drift, guidato da I.

Il modello di oscillatore armonico come caso di studio per mostrare il ruolo della matematica nella fisica: anchor equations ed epistemic games come strumenti di analisi di libri di testo e tutorial

Nel modo in cui oggigiorno viene intrapresa la ricerca, l’interdisciplinarità assume una posizione di sempre maggior rilievo in pressoché ogni ambito del sapere. Questo è particolarmente evidente nel campo delle discipline STEM (Scienza, Tecnologia, Ingegneria, Matematica), considerando che i problemi a cui esse fanno fronte (si pensi agli studi sul cambiamento climatico o agli avanzamenti nel campo dell’intelligenza artificiale) richiedono la collaborazione ed integrazione di discipline diverse. Anche nella ricerca educativa, l’interdisciplinarità ha acquisito negli ultimi anni una notevole rilevanza ed è stata oggetto di riflessioni teoriche e di valutazioni sulle pratiche didattiche. Nell’ampio contesto di questo dibattito, questa tesi si focalizza sull’analisi dell’interdisciplinarità tra fisica e matematica, ma ancora più nel dettaglio sul ruolo che la matematica ha nei modelli fisici. L’aspetto che si vuole sottolineare è l’esigenza di superare una concezione banale e semplicistica, sebbene diffusa, per la quale la matematica avrebbe una funzione strumentale rispetto alla fisica, a favore invece di una riflessione che metta in luce il ruolo strutturale della formalizzazione matematica per l’avanzamento della conoscenza in fisica. Per fare ciò, si prende in esame il caso di studio dell’oscillatore armonico attraverso due lenti diverse che mettono in luce altrettanti temi. La prima, quella dell’anchor equation, aiuterà a cogliere gli aspetti fondamentali del ruolo strutturale della matematica nella modellizzazione dell’oscillatore armonico. La seconda, quella degli epistemic games, verrà utilizzata per indagare materiale didattico, libri di testo e tutorial, per comprendere come diverse tipologie di risorse possano condurre gli studenti ad intendere in modi diversi la relazione di interdisciplinarità tra fisica e matematica in questo contesto.

Ricostruzione degli sforzi in elementi finiti di piastra

Nell’ambito dell’analisi computazionale delle strutture il metodo degli elementi finiti è probabilmente uno dei metodi numerici più efficaci ed impiegati. La semplicità dell’idea di base del metodo e la relativa facilità con cui può essere implementato in codici di calcolo hanno reso possibile l’applicazione di questa tecnica computazionale in diversi settori, non solo dell’ingegneria strutturale, ma in generale della matematica applicata. Ma, nonostante il livello raggiunto dalle tecnologie ad elementi finiti sia già abbastanza elevato, per alcune applicazioni tipiche dell’ingegneria strutturale (problemi bidimensionali, analisi di lastre inflesse) le prestazioni fornite dagli elementi usualmente utilizzati, ovvero gli elementi di tipo compatibile, sono in effetti poco soddisfacenti. Vengono in aiuto perciò gli elementi finiti basati su formulazioni miste che da un lato presentano una più complessa formulazione, ma dall’altro consentono di prevenire alcuni problemi ricorrenti quali per esempio il fenomeno dello shear locking. Indipendentemente dai tipi di elementi finiti utilizzati, le quantità di interesse nell’ambito dell’ingegneria non sono gli spostamenti ma gli sforzi o più in generale le quantità derivate dagli spostamenti. Mentre i primi sono molto accurati, i secondi risultano discontinui e di qualità scadente. A valle di un calcolo FEM, negli ultimi anni, hanno preso piede procedure di post-processing in grado, partendo dalla soluzione agli elementi finiti, di ricostruire lo sforzo all’interno di patch di elementi rendendo quest’ultimo più accurato. Tali procedure prendono il nome di Procedure di Ricostruzione (Recovery Based Approaches). Le procedure di ricostruzione qui utilizzate risultano essere la REP (Recovery by Equilibrium in Patches) e la RCP (Recovery by Compatibility in Patches). L’obbiettivo che ci si prefigge in questo lavoro è quello di applicare le procedure di ricostruzione ad un esempio di piastra, discretizzato con vari tipi di elementi finiti, mettendone in luce i vantaggi in termini di migliore accurattezza e di maggiore convergenza.