Le funzioni wavelet nelle applicazioni scientifiche

Le wavelet sono una nuova famiglia di funzioni matematiche che permettono di decomporre una data funzione nelle sue diverse componenti in frequenza. Esse combinano le proprietà dell’ortogonalità, il supporto compatto, la localizzazione in tempo e frequenza e algoritmi veloci. Sono considerate, perciò, uno strumento versatile sia per il contenuto matematico, sia per le applicazioni. Nell’ultimo decennio si sono diffuse e imposte come uno degli strumenti migliori nell’analisi dei segnali, a fianco, o addirittura come sostitute, dei metodi di Fourier. Si parte dalla nascita di esse (1807) attribuita a J. Fourier, si considera la wavelet di A. Haar (1909) per poi incentrare l’attenzione sugli anni ’80, in cui J. Morlet e A. Grossmann definiscono compiutamente le wavelet nel campo della fisica quantistica. Altri matematici e scienziati, nel corso del Novecento, danno il loro contributo a questo tipo di funzioni matematiche. Tra tutti emerge il lavoro (1987) della matematica e fisica belga, I. Daubechies, che propone le wavelet a supporto compatto, considerate la pietra miliare delle applicazioni wavelet moderne. Dopo una trattazione matematica delle wavalet, dei relativi algoritmi e del confronto con il metodo di Fourier, si passano in rassegna le principali applicazioni di esse nei vari campi: compressione delle impronte digitali, compressione delle immagini, medicina, finanza, astonomia, ecc. . . . Si riserva maggiore attenzione ed approfondimento alle applicazioni delle wavelet in campo sonoro, relativamente alla compressione audio, alla rimozione del rumore e alle tecniche di rappresentazione del segnale. In conclusione si accenna ai possibili sviluppi e impieghi delle wavelet nel futuro.

Indagini in Deep Inference

La tesi è uno studio di alcuni aspetti della nuova metodologia “deep inference”, abbinato ad una rivisitazione dei concetti classici di proof theory, con l'aggiunta di alcuni risultati originali orientati ad una maggior comprensione dell'argomento, nonché alle applicazioni pratiche. Nel primo capitolo vengono introdotti, seguendo un approccio di stampo formalista (con alcuni spunti personali), i concetti base della teoria della dimostrazione strutturale – cioè quella che usa strumenti combinatoriali (o “finitistici”) per studiare le proprietà delle dimostrazioni. Il secondo capitolo focalizza l'attenzione sulla logica classica proposizionale, prima introducendo il calcolo dei sequenti e dimostrando il Gentzen Hauptsatz, per passare poi al calcolo delle strutture (sistema SKS), dimostrando anche per esso un teorema di eliminazione del taglio, appositamente adattato dall'autore. Infine si discute e dimostra la proprietà di località per il sistema SKS. Un percorso analogo viene tracciato dal terzo ed ultimo capitolo, per quanto riguarda la logica lineare. Viene definito e motivato il calcolo dei sequenti lineari, e si discute del suo corrispettivo nel calcolo delle strutture. L'attenzione qui è rivolta maggiormente al problema di definire operatori non-commutativi, che mettono i sistemi in forte relazione con le algebre di processo.

Il gruppo dei punti razionali sulle curve ellittiche

Il primo capitolo espone nozioni generali sulle varietà e sulle curve algebriche, sulle mappe fra di esse e su alcune proprietà geometriche importanti per caratterizzare le curve ellittiche. Il secondo capitolo propone un'introduzione allo studio geometrico e algebrico di tali curve. Il terzo e il quarto capitolo affrontano lo studio dei punti a coordinate razionali, per curve definite prima su campi locali e poi su campi globali: l'insieme di tali punti è un gruppo. Il risultato fondamentale, contenuto nel teorema di Mordell-Weil, è che tale gruppo è finitamente generato. Tutto il quarto capitolo propone i risultati necessari per la dimostrazione di tale affermazione.