Euler : el maestro de todos los matemáticos.

Recorrido por la biografía del matemático suizo Leonhard Euler. El artículo se estructura en base a los diferentes periodos de la vida del científico y sus aportaciones en el mundo de las matemáticas, sobretodo en el campo del álgebra.

El problema de Basilea. El año de Euler : 1707-2007.

Se muestran algunas de las teorías del matemático Leonhard Euler..

El teorema de Euler a partir de la teoría de grafos.

Se estudia la teoría de grafos en relación con el teorema de Euler. La teoría de grafos se refiere a la teoría de conjuntos relativa a las relaciones binarias de un conjunto numerable consigo mismo. Esta teoría posee un vasto campo de aplicaciones en Física, Economía, Teoría de la Información, Programación Lineal, Transportas, Psicología, e incluso en ciertos dominios del arte. Se pretende realizar un trabajo que sirva como seminario optativo para los alumnos de COU, que presente a los alumnos un teorema clásico de geometría mediante la teoría de grafos, un aspecto bastante olvidado en los programas. Se utilizan los métodos y el lenguaje de la teoría de grafos para demostrar el teorema de Euler, que liga caras, vértices y aristas de un poliedro regular. Para todo ello en primer lugar se sistematizan una serie de conceptos previos, se analizan las propiedades de distintos tipos de grafos, y por último, se realizan demostraciones.

El embrujo de los números perfectos.

Se prentende dar explicación al cálculo de los números primos, es decir la búsqueda de los números perfectos. Se exponen algunos estudios de Euler. Así se introduce el teorema de Euclides-Euler que giran en torno a este concepto.

La música y el número siete. Historia de una relación controvertida.

Se estudia la relación del número siete con las matemáticas. Las notas musicales, los sonidos o las harmonías son algunos de los conceptos analizados. Además se realiza una aproximación a la figura de Leibniz, Bach y Euler, matemáticos que tambien tuvieron cierta relación con la música.

Geometría dinámica : una opción novel para la capacitación de maestros.

Resumen tomado de la publicación

Sobre el número e. : algunas ideas para la Secundaria y el Bachillerato.

A partir de un caso práctico se explica el número matemático e. Leonhard Euler fue el matemático que hizo más descubrimientos relativos a este número, aunque el primero en estudiar el límite fue Jacob Bernoulli. Este número debería figurar en los libros de texto de Matemáticas por su interés didáctico. Leonhard Euler calculó el número e con mucha exactitud, para lo que desarrolló las herramientas adecuadas y supo ver su utilidad. Una ventaja de la nueva expresión para el número e es la rapidez en el cálculo. Por otro lado, se puede utilizar para dar una demostración asequible de la irracionalidad del número. Por último, se da una bibliografía donde encontrar ideas interesantes para ilustrar cuestiones relativas al número e..

Una lección sobre cuadriláteros.

Desarrollo de una unidad didáctica sobre cuadriláteros con motivo de las clases de repaso en los últimos días de curso para así afianzar los conocimientos adquiridos. Se les pide a los alumnos que lleven a clase, construidos de cualquier material, cuadriláteros de diferentes formas. Seguidamente, se los divide en cóncavos, convexos y a partir de esa clasificación, comienzan a establecerse relaciones entre los conjuntos y a examinarse sus características, realizando dibujos y reflexiones varias. Se representan gráficamente las relaciones del Álgebra de conjuntos, con sus operaciones de intersección y reunión y mediante gráficos de Venn o Euler. Se construye un árbol sinóptico de los cuadriláteros. Se establecen las propiedades de los conjuntos de cuadriláteros dependiendo de: 1. Definición. 2. Propiedades de los lados. 3. Propiedades de los ángulos. 4. Propiedades de las diagonales. 5. Propiedades de la paralela media. 6. Elementos de la simetría. 7. Inscrisptibilidad. 8. Circunscriptibilidad. Finalmente, se estudian las aplicaciones de los cuadriláteros en diversos aspectos de la cultura, como el uso de rombos, rectángulos y cuadrados como elementos decorativos en el arte y la arquitectura.

El problema de los siete puentes de Königsberg.

Se desarrolla el estudio del problema que escribió Leonhard Euler en 1735. Se plantea si es posible programar un paseo en el que se cruce una sola vez por cada uno de los siete puentes. Se intenta resolver el caso general y dar solución al problema planteado.

Enseñanza de las Matemáticas en el Bachillerato : análisis epistemológico y didáctico de los conceptos de límite y continuidad.

Estudiar las concepciones y obstáculos epistemológicos que han aparecido en el desarrollo histórico de los conceptos de límite y continuidad. Descubrir las concepciones que tienen los alumnos sobre estos dos conceptos. Encontrar las relaciones existentes entre ambas concepciones (históricas y de los alumnos). Analizar la transposición didáctica del saber matemático al saber escolar a través de los textos utilizados en el bachillerato y Curso de Orientación Universitaria y su evolución desde la década de los 50 hasta nuestros días, como posibles instrumentos generadores de las concepciones de los alumnos. Establecimiento de las dos hipótesis de trabajo. Temporalización de la investigación en dos cursos académicos. Curso 94-95: análisis de la transposición didáctica de los conceptos límite y continuidad, análisis de los libros de texto desde los 50ïs con la metodología de Schubring (1987). Elaboración de un precuestionario para conocer las concepciones de los alumnos y posteriormente elaboración del cuestionario definitivo. Curso 95-96 presentación del cuestionario a los alumnos, análisis de los datos. Estudio del desarrollo histórico de los conceptos. Búsqueda de las relaciones existentes entre las concepciones de los alumnos y las históricas. En el cuestionario donde se planteaban situaciones problemáticas referidas a ambos conceptos se pusieron de manifiesto los siguientes aspectos: el criterio más utilizado en la aplicación de límites es el de límite por la derecha o por la izquierda, clasificado como conocimiento escolar. La idea de aproximarse corresponde a las concepciones de Dálembert y Cauchy. El tercer criterio de justificación más utilizado es el de sustituir valores, que correspondería a la concepción de Euler-Lagrange. Para la continuidad, el criterio más usado es el plantear que una función es continua si se puede dibujar su gráfica sin levantar el lápiz del papel, próxima a la concepción intuitivo-geométrica. El segundo criterio - que se manifiesta como erróneo- es el afirmar que una función es continua si esta definida en todo punto. El tercer criterio más usado es próximo a la concepción de Cauchy. La dificultad que entrañan ambos conceptos hace que se presenten muchas respuestas erróneas entre los alumnos. El análisis de los libros de texto muestra diferencias notables entre ellos. Después de un primer periodo donde la atención estaba puesta en el rigor de la definiciones, se continuó con un énfasis en la formalización de la matemática moderna. Superado este periodo los autores tratan de presentar los conceptos conectados con situaciones y apelando a la intuición. Para el límite y la continuidad existe una evolución desde la consideración de ambos conceptos ligados al de función, pasando por un largo periodo en que tienen entidad propia, hasta la última reforma en que se enfatiza el carácter instrumental de los mismos. La transposición didáctica desde el saber matemático al saber contenido en los libros de texto son fuente de las concepciones detectadas en el saber escolar, a través del análisis de las respuestas al cuestionario. Durante el aprendizaje de los citados conceptos, los alumnos desarrollan una serie de concepciones que están relacionadas con las que han surgido en el desarrollo histórico y además aparecen otras inducidas por la propia enseñanza.

Mejorar las competencias docentes del profesorado universitario es necesario, ??pero la innovaci??n sostenible requiere algo m??s!

Resumen basado en el de la publicaci??n