El aprendizaje de los números en las Enseñanzas Básica y Media.

Conocer, con precisión, cuáles son los conocimientos numéricos de los alumnos, y detectar las dificultades de aprendizaje que se les presentan. Alumnos de 7 a 16 años de Enseñanzas Básica y Media, pertenecientes a 60 centros urbanos y rurales de las Islas Canarias. Se elabora una relación de objetivos operativos o unidades básicas de aprendizaje relacionados con el conjunto, la suma, la diferencia, el producto, la división, la potenciación, la radicación, la divisibilidad, el orden y la representación gráfica. Se redactan ejercicios para cada objetivo operativo, con el fin de determinar el nivel de aprendizaje en cada uno de ellos. Estas pruebas se pasan a los alumnos del nivel inmediatamente superior al que corresponden los objetivos operativos. Se corrigen los ejercicios con criterio de bien (1) o mal (0), sin considerar otras calificaciones, y se elaboran informes de conclusiones. Porcentajes. Se produce un progresivo empeoramiento del aprendizaje a medida que aumenta el nivel educativo. Destaca la existencia de una asimetría en el aprendizaje sobre cuestiones duales. Existen dificultades en la realización de operaciones en las que aparecen el número o la cifra 0. El aprendizaje de los números racionales no negativos resulta más difícil mediante fracciones que con decimales. En general, la comprensión de los conceptos, de los términos, de las expresiones literales y propiedades es deficiente. Existe un desconocimiento de la jerarquía de las operaciones y del correcto uso de los paréntesis, que provoca dificultades en el cálculo en el que intervienen varias operaciones. Se presentan dificultades en la aplicación de los algoritmos, que dependen de la colocación de los términos.

¿Para qué sirven los números?

El artículo forma parte de un monográfico dedicado a contextos culturales para la actividad matemática

Construimos los números : descubrimos sus secretos : (didáctica del sistema decimal).

Monográfico con el título: 'Enseñar matemáticas'

Caracterización del conocimiento matemático para la enseñanza de los números racionales

Resumen basado en el de la publicación. Resumen en portugués, inglés y francés

Factores constitutivos de la competencia matemática en los niños : una aplicación de la teoría de la respuesta al ítem.

Elaboración de un cuestionario que recoja la respuesta de los alumnos a los distintos aspectos de contenido de las matemáticas en el Primer Ciclo de Educación Primaria. El cuestionario está diseñado como un test de potencia basado en la práctica docente. Recoge las aportaciones de distintos profesionales y tendencias en el proceso didáctico. Pretende identificar carencias de los alumnos en cada uno de los bloques temáticos y tipos de contenido que componen el currículo de matemáticas para el Primer Ciclo de Educación Primaria. El cuestionario se administró a alumnos de la Región de Murcia según la distribución territorial de la Consejería de Educación y Cultura. Una vez en disposición de los datos procedentes de la muestra de 682 alumnos, se procede al análisis de los cuestionarios tomando como punto de partida los supuestos de la Teoría de la Respuesta al Ítem, que es un compendio de modelos matemáticos que tratan de establecer, a partir de una función estadística, la probabilidad de que un sujeto acierte o falle un ítem. No se vincula a teorías sobre la inteligencia sino a problemas técnicos derivados de la construcción de test y a la estadística matemática. Se realiza un análisis factorial exploratorio para comprobar la hipótesis de partida. Al confirmarse, se procede a la realización de los correspondientes estudios de validez y a la confección de la ficha técnica del cuestionario. La hipótesis formulada partía de que la competencia matemática se estructura de forma multifactorial con factores ligados a aspectos numéricos, componentes heurísticos y a aspectos reacionados con la organización espacio-temporal.. Se ha realizado un Análisis de Componentes Principales con la finalidad de determinar el número de componentes que pueden explicar mayoritariamente la covariación entre los items. Los tres componentes encontrados son: el componente operativo, que hace referencia a las competencias en el manejo de algoritmos y la aplicación de los mismos en la solución de problemas. El componente estimativo, que hace referencia a las competencias en estimación y medida, así como a la localización mediante posiciones relativas y reconocimiento de formas y figuras y el componente de dominio local que hace referencia a las competencias en el manejo del valor posicional de las cifras de un número en lo referente al dominio de la semirecta de los números naturales. A la vista de los resultados, la competencia matemática se expresa en función de las componentes señaladas. El autor presenta aportaciones psicopedagógicas para la didáctica de las matemáticas en el Primer Ciclo de Educación Primaria, que se derivan de los resultados de su investigación..

Signos : teoría y práctica de la Educación 1990-1997.

Resumen basado en la publicación. Esta edición digital de los textos de SIGNOS ha sido realizada a través del escaneado de los textos a partir de la edición impresa de la revista. Por ello, en ocasiones hay erratas o errores tipográficos que, no obstante, no dificultan la comprensión de los textos

Estudio sobre la representación espontánea de los problemas de multiplicar.

Observar el grado de asimilación del concepto de la multiplicación adquirido mediante los sistemas de enseñanza tradicionales, exceptuando en segundo de EGB. Deducir, de ahí, si la adquisición es buena y en qué cursos está mejor asimilado el concepto o si por el contrario solamente se ha adquirido un hábito mecánico. La hipótesis es la siguiente: si todos los niños que resuelven correctamente los problemas que implican alguna multiplicación comprenden el significado de dichas operaciones, entonces sabrán encontrar otra forma de representar dichos problemas. 60 niños entre siete y diez u once años, sin discriminación de sexo y cursando segundo, tercero, cuarto y quinto curso de EGB en el Colegio Público Cardenal Despuig; es decir, cuatro grupos de 15 sujetos cada uno. Todos ellos con calificaciones entre suficiente y bien en el área de matemáticas, exceptuando a los de segundo, a los que se les ha aplicado la metodología operatoria en vez de la tradicional pero sólo durante el segundo trimestre, por lo que se escoge a los más aventajados, es decir, a los calificados con notables y sobresalientes. Corresponden según Piaget a la etapa de las operaciones concretas. Se analiza en primer lugar la teoría de Piaget, haciendo referencia a los conceptos fundamentales de la psicología genética y a los estadios evolutivos. Se profundiza en el de las operaciones concretas, analizando como trata este estadio el tema de las matemáticas. Seguidamente se analiza la evolución histórica de la enseñanza de las matemáticas, revisando la metodología utilizada. Por último, se observa la manera de tratar el tema de la multiplicación en los libros de texto. Desde un marco experimental se realiza un estudio sobre la metodología empleada en la enseñanza de las matemáticas: tradicional, con memorización de tablas y ejercicios prácticos, o bien operacional, de manera activa y en contacto con la realidad. Prueba escrita individual con cinco cuestiones a resolver de manera gráfica utilizando dibujos, palitos, bolas, etc. Posteriormente, la resolución se realiza de la manera habitual en clase, es decir, con operaciones numéricas. El método utilizado es un híbrido entre la metodología clínica de Piaget y la representación gráfica del IMIPAE de Barcelona. No interesa analizar cuántos niños han realizado la tarea ni como lo han hecho; lo que se pretende es estudiar cuáles han sido los errores y porque se han cometido. Por este motivo los datos se han clasificado en aciertos cuando había buena solución del problema, en error de procedimiento cuando no se planteaba bien el problema y en error de cálculo. Por otra parte, se ha realizado un análisis de la forma espontánea que los niños han encontrado para resolver el problema de forma gráfica. La matemática, que es considerada como el instrumento más apto para ejercitar el razonamiento, no es presentada al niño como un objeto de reflexión que sirva para una construcción intelectual, sino como un modelo terminado que debe retener en la memoria; la individualidad, originalidad, creatividad, etc., están rechazadas de plano, siempre se espera que el niño reaccione de una manera prevista. La adquisición mecánica de los contenidos provoca la asimilación deformante de los mismos sin que se dé lugar a la acomodación y, por tanto, a una restructuración que favorezca los procesos operatorios del pensamiento. Es necesario cambiar la metodología y respetar la evolución del niño; éste ha de saber el porqué de los números y de las operaciones matemáticas, y disfrutar de una mayor autonomía en la adquisición de conocimientos. La multiplicación, en todos los niveles, apenas se ha captado en su esencia. La representación gráfica nos muestra que el niño no es capaz de generar de forma inmediata la representación aritmética fuera del contexto escolar. Muchos niños no saben que sólo se pueden sumar elementos iguales. Las calificaciones en esta área no coinciden con la conducta medida. Aún en quinto no se ha adquirido o se ha adquirido insuficientemente el concepto de multiplicación. La resolución de problemas se realiza de manera rutinaria, mecánica, sin comprensión; sin embargo, los alumnos de segundo, por la metodología operatoria, están acostumbrados a experimentar con la realidad y sí han sabido generalizar a un contexto desconocido. El psicólogo escolar, al conocer la realidad psíquica del alumno y su momento evolutivo, puede marcar las pautas adecuadas y trabajar periódicamente en colaboración con los maestros. Así se podrán recopilar y analizar las conductas que manifiestan los niños para así posibilitar aprendizajes que representen un descubrimiento y una construcción por parte del niño, orientando la actividad hacia un comportamiento asimilado, acomodado y relacionado con los demás conocimientos. Este estudio es introductorio. Al tratar con una muestra no representativa no se pueden generalizar los resultados.

Teoría de la Divisibilidad.

Se desarrollan varias lecciones sobre la teoría de la Divisibilidad, tales como: las reglas de divisibilidad por los módulos más sencillos, los números primos y la obtención de otro criterio general de divisibilidad fundado en la descomposición factorial de los números.

Dos conflictos al representar números reales en la recta.

Objetivos generales: 1) Analizar dos fenómenos organizados por el número real: la recta geométrica y la longitud. 2) Diseñar situaciones que permitan detectar conflictos cognitivos en sujetos de Bachillerato o que comienzan los estudios universitarios. 3) Establecer una interpretación de esos conflictos cognitivos en términos de obstáculos epistemológicos. Objetivos parciales: 1) Elaborar criterios para estudiar el sistema de números reales. 2) Describir fenómenos que, organizados por el número real, están a disposición de alumnos de Bachillerato: la recta y la longitud. 3) Describir las demandas conceptuales y procedimientos de la representación en la recta de los números reales. 4) Detectar conflictos que surgen en los sujetos en tareas de representación de números reales constructibles en la recta. 5) Caracterizar los conflictos detectados en los sujetos. 6) Explicar los conflictos detectados en términos de obstáculos epistemológicos. Alumnado de primero y segundo de Bachillerato y primero de licenciatura de Matemáticas. A partir de un estudio empírico previo se obtiene un marco constituido por cinco ámbitos. Este marco tuvo dos utilidades: organizar un estudio teórico del sistema de números reales y organizar respuestas de alumnos en un nuevo estudio empírico. En un estudio no empírico se aborda el sistema de números reales y la representación de números en la recta. La descripción desde un punto de vista matemático y escolar del sistema R y la descripción de la representación de números en la recta proporcionan elementos para diseñar situaciones adecuadas para incluir en los instrumentos de un nuevo estudio empírico. En el estudio empírico se analizan respuestas de alumnos con el objeto de identificar conflictos cognitivos. Finalmente, en el segundo estudio teórico se analiza la conexión entre los conflictos detectados y los obstáculos epistemológicos. Los estudios empíricos fueron de tipo descriptivo. Se observó a los individuos en tareas de representación de números en la recta, se describieron, analizaron e interpretaron sus respuestas. Temporalmente, el estudio empírico consiste en un estudio transversal. La metodología utilizada en el estudio empírico fue cualitativa, se pretendía realizar una descripción profunda y no generalizar resultados. Entrevistas exploratorias cuya finalidad fue la detección de conflictos y dificultades en la representación de números en la recta. Cuestionario para proponer situaciones que permiten detectar la presencia de dos conflictos observados durante las entrevistas exploratorias. El estudio de las respuestas del cuestionario incluyó: la organización de la información; la interpretación en términos de conflicto y la selección de sujetos cuyas respuestas se consideran aparentemente conflictivas y estudio de estas respuestas en comparación con respuestas consideradas no conflictivas. Entrevistas confirmatorias para constatar las interpretaciones de las respuestas del cuestionario. 1) Se pusieron de manifiesto conflictos relacionados con la escritura decimal de los números reales, en particular con la escritura decimal infinita. 2) Se comprobó que por el sistema de números reales, a partir de una unidad determinada se puede asignar un número a cualquier cantidad de longitud. 3) Se verificó que los sujetos cuando efectúan mediciones poseen interiorizado completamente el sistema métrico decimal y lo aplican automáticamente, sin evaluar las posibilidad de considerar unidades no estándares. 4) Se comprobó que los alumnos de Bachiller y matemáticas encuentran dos conflictos en la representación de números constructibles en la recta: la dificultad en admitir el control de un proceso infinito y la relación entre objeto matemático y objeto físico. 5) Se observó que los conflictos pueden suponer una bajada de puntuación y no por falta de estudio o desconocimiento en el alumno. Los criterios para el estudio de los números reales proporcionan un marco para la descripción del sistema R y de las dificultades conceptuales y procedimentales implicadas en él y permiten organizar las respuestas de sujetos en las situaciones propuestas en el estudio empírico. La representación en la recta de los números reales es conceptual y procedimentalmente más compleja que otras representaciones de estos números. La cuestión clave que permite explicar los dos conflictos e identificarlos o no con obstáculos epistemológicos, es que la heterogeneidad de los dominios de la existencia a las nociones matemáticas, crea su apariencia objetiva. En los alumnos, cuyo conflicto es la dificultad para admitir el control de un proceso infinito, la representación simbólica infinita opera como obstáculo para que este número sea aceptado por los alumnos en otros dominios diferentes. En consecuencia, los alumnos tienen dificultad para aceptar la existencia del número. El proceso infinito indicado por los puntos suspensivos constituye un obstáculo epistemológico en el conocimiento de estos números. En los alumnos, cuyo conflicto es la relación entre objeto matemático y objeto físico, la falta de distinción entre los objetos físicos y matemáticos favorece la aceptación de la noción matemática como ente de razón. La confusión entre marca y punto 'racionaliza lo real, pero a cambio hace real lo geométrico' En este caso, no hay un obstáculo epistemológico en el desarrollo del conocimiento matemático individual. Se trata de la adaptación de las matemáticas a la teoría física y, como conjetura, de un obstáculo epistemológico inherente a la cultura occidental. La valoración de la exactitud de la representación constituye una estrategia adecuada para poner de manifiesto los conflictos mencionados en las dos hipótesis anteriores..

Rational Numbers and Intensive Quantities : Challenges and Insights to Pupils' Implicit Knowledge.'Números racionales y cantidades intensivas: retos y comprensión para el conocimiento implícito de los alumnos'.

Resumen tomado parcialmente de la revista.- El artículo forma parte de un monográfico dedicado a Psicología de las Matemáticas

Veinte años de Teoría de la Educación en Educación.

Analizar de forma explícita o implícita la Teoría de la Educación, la reflexión pedagógica, su evolución y dirección. Delinear el trazado de la actual Teoría de la Educación, visiones, aportaciones, omisiones, concepciones, tácticas en el ámbito de la pedagogía alemana. 40 números de la revista 'Educación'. Clasificar el contenido temático de los números editados entre 1970 y 1989. El pensamiento pedagógico camina hacia el desarrollo de una teoría educativa coherente con el progreso, problemas y conflictos sociales de la época (intereses mundiales, medio ambiente, avances científicos). La teoría pedagógica parece evolucionar desde tendencias eduacativas positivas hacia propósitos esencialmente humanos y sociales. Su objetivo parece buscar la humanización del hombre y abarcar todas las dimensiones humanas, es decir, una educación integral.

Evaluación diagnóstica de los procesos mentales de los profesores.

Esta investigación persigue conocer los procesos de pensamiento de los profesores en situaciones interactivas de clase, a través del análisis de las acciones de un total de 21 profesores de EGB, para proponer episodios docentes para estudiantes de las Facultades de CCEE y del profesorado de EGB en EEUU. La investigación intenta analizar las concomitancias del proceso y los resultados de investigación obtenidos en Sevilla y en Cincinatti. 21 profesores de EGB. La recogida de datos se realizó a través de una metodología cualitativa, entrevistas, diarios y observación participante conjuntamente con el análisis factorial de los datos obtenidos por la parrilla de Kelly. Se realizaron grabaciones en vídeo de los tres profesores seleccionados en la segunda fase de la investigación. Técnica de la rejilla, basada en la teoría de los constructos personales de Kelly, análisis factorial y de conglomerados. Como resultado del análisis de los datos, se identificaron cuatro constructos: motivación-creatividad, actividad, dirección e interacción. En conclusión, la mayoría de los profesores realizaron reflexiones en torno al currículum y la instrucción, y descripción de la enseñanza en torno a los constructos señalados.

¿Nada es perfecto? : un recorrido por algunas clases de números y su aplicación en el Educación Secundaria Obligatoria.

Resúmen del autor

Las teorías implícitas de los estudiantes universitarios sobre la vejez.

Estudiar qué teoría sostienen los estudiantes universitarios de La Laguna sobre la vejez. 1a. Fase: dos grupos de sujetos, el primero formado por 7 sujetos con edades entre los 30 y 42 años. También participaron 8 personas que actuaron como jueces; todos eran licenciados en Psicología. 2a. Fase: se utilizaron 44 estudiantes, 22 varones y 22 hembras, todos estudiantes de Psicología y Filología, con edades entre los 18 y 24 años. 3a. Fase: participaron 131 alumnos, 76 de Matemáticas y 55 de Psicología. 4a. Fase: 8 estudiantes de primero de Filología cuyas edades oscilaban entre los 17 y 21 años y 64 estudiantes más de otras facultades cuyas edades oscilaban entre 22 y 30 años. Cuatro fases: a) La búsqueda de proposiciones: siguiendo la similitud entre las teorías implícitas (patriarcal, ancianos independientes, tradicional y el abuelito) y las categorías naturales de Rosch, se utilizó la técnica del Brainstorming para la búsqueda de proposiciones. Se obtuvieron las proposiciones más prototípicas de cada categoría, luego fueron seleccionadas por un grupo de jueces. b) Para comprobar si las proposiciones de cada teoría se distribuyen según su grado de tipicidad y su consistencia. Se partió de un gran número de sujetos. c) Fase cognitiva: para comprobar si las proposiciones más o menos prototípicas son rápidamente procesadas y si las proposiciones intermedias necesitan más tiempo para ser procesadas. Se usa un taquitoscopio en un ambiente controlado. d) Estudio de las teorías que sostienen los estudiantes acerca de la vejez y los ancianos: cuatro teorías, dos variables dependientes intragrupo (atribuciones y hétero-atribuciones) y dos variables dependientes intergrupo (los dos grupos de edades). Un cassette, 4 cintas, instrucciones previas y cuatro protocolos para las teorías y las frases de empuje y cuatro cuadernillos de instrucciones. Tarjetas donde iban escritas las proposiciones; hojas de registro, historietas e instrucciones, un taquitoscopio y dos interruptores conectados a un cronoscopio hoja de instrucciones, un cuaderno para CCDA teoría. Cuestionario. En general, los jóvenes universitarios canarios sostienen la teoría tradicional sobre la vejez. Todos rechazan la teoría del deterioro, sin embargo sostienen de forma moderada las otras dos teorías: la patriarcal e independiente.

Los Scripts : un estudio normativo.

1) Investigar implicaciones psicológicas de la Teoría de los Scripts de Schank y Abelson, 1977. 2) Averiguar el conocimiento que tienen los individuos acerca de determinadas actividades rutinarias y observar cómo se organiza esta información. 3) Conocer el efecto del sexo sobre la forma de ordenar internamente cada script. Experimento I: 70 estudiantes de tercero y cuarto de Psicología, 47 hembras y 23 varones, entre 19 y 26 años. Experimento II: 88 estudiantes de primero y segundo de Psicología, 60 hombres y 28 mujeres, entre 18 y 23 años. Experimento III: los mismos individuos del experimento 2, exceptuando 10 hembras y 5 varones. Se utilizaron 3 experimentos. En todas las fases se utiliza la opinión de los sujetos, técnica de autoinforme. El I: determinar los eventos que componen un script particular, utilizando el valor asociativo. Cuadernillos de hojas de respuestas. Reloj. Experimento I: método de las dos mitades, se correlacionaron las frecuencias con que fueron nombradas las acciones por los dos grupos. Experimento II: cálculo de medias y desviaciones típicas para cada uno de los ítems que componían los 12 scripts. 343 análisis de varianza para comprobar si existían diferencias significativas en las puntuaciones de tipicalidad dadas por los sexos y según el formato de presentación. Coeficientes de correlación entre puntuaciones dadas por varones y hembras. Se correlacionaron los resultados del experimento I con los del II. Experimento III, misma técnica que en el experimento II. 1) Los 3 experimentos presentan resultados consistentes con la teoría de los scripts. Los datos obtenidos mantienen semejanzas con estudios similares llevados a cabo. 2) Las descripciones de los eventos estan guiadas por un cierto grado de abstracción. 3) Se observa la existencia de elementos representativos dentro de cada script. 4) Cada script esta conectado con otros scripts. 5) Parece mas probable que la información esté almacenada fuera del script y que sea disponible cuando el script es activado. Lo que si está permanentemente activado son aquellas escenas únicas que le pertenecen. 6) Las personas poseen una poderosa habilidad para detectar relaciones entre eventos-estímulos y para construir esquemas que incorporen tales correlaciones. 1) Los individuos describen de forma uniforme las conductas complejas de ciertas situaciones. 2) Se confirma la existencia de un principio jerárquico que guía la estructura interna de los scripts. 3) La ordenación de los eventos dentro de cada script esta organizada por un principio secuencial-temporal, cada episodio ocupa una posición rígida y estable dentro del guión. 4) No aparecen diferencias significativas en cuanto al sexo para puntuar y ordenar los episodios que componen un script.