La enseñanza de las matemáticas.

Se analiza la enseñanza de la materia de matemáticas a nivel de bachillerato en España. Se comienza con la enseñanza en los años cincuenta, cuando se considera que la enseñanza matemática en nuestro país parecía razonablemente sana. La Geometría ocupaba un lugar dominante, y el cálculo infinitesimal estaba bien representado. En definitiva, la información matemática general de nuestros estudiantes era incluso superior a la de muchos otros países de Europa. Pero en la década de los sesenta empieza a vislumbrarse un cambio de rumbo. EI movimiento fue bastante general. Comenzó por USA y Francia. A algunos países con una fuerte tradición de didáctica matemática, como Rusia y Hungría, nunca llegó tan radicalmente. A España llegó con algún retraso. La nueva matemática se denominó Matemática Moderna o Nueva Matemática. Algunas de sus ideas directrices fueron: que los niños entiendan desde el principio todo lo que están haciendo, por lo cual se eliminaron tablas y memorizaciones. Las consecuencias, plasmadas legalmente en nuestros programas, han sido rotundas. A nuestros niños se les enseña las operaciones con conjuntos casi antes de que sepan hablar, lo cual ha fracasado estrepitosamente. En la mayor parte de los países donde el sistema se ha implantado, el movimiento devuelta comenzó prácticamente de inmediato. En España aún se están haciendo los últimos esfuerzos por ponerlo en práctica. Ante esta problemática se plantea que hacer. Se señala que el mal ya está hecho y sus consecuencias las seguiremos sufriendo por algún tiempo, y que la corrección de rumbo de los organismos oficiales no suele ser un proceso rápido. Pero se considera que se puede tratar de catalizar la superación de esta etapa, lo que se va realizando ya con éxito en otros países. Y mientras llega la corrección oficial se sugiere que los profesores se informen suficientemente para saber lo que convendría subrayar y soslayar en nuestros programas y textos. Que piensen que la abstracción anticipada y el rigor prematuro, aparte de ser inútiles y perjudiciales, conducirán necesariamente al hastío.

Cursillo de Matemáticas para profesores adjuntos en Santander.

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Cursillo de Matemáticas para profesores adjuntos de Institutos Nacionales, en Valencia.

Se analizan los contenidos del curso de matemáticas para profesores adjuntos de Institutos Nacionales, celebrado en Valencia en el año 1965. Se trataron temas de didáctica de las matemáticas y matemática moderna. El curso fue teórico-práctico y los profesores cursillistas trabajaban en grupo, lo que daba lugar a deliberaciones en común. Los temas tratados en el cursillo se desarrollan en el programa adjunto: idea de la matemática moderna, teoría de los conjuntos, relaciones de equivalencia, binarias y de orden, números naturales y otros tantos aspectos matemáticos.

La figura humanística, científica y docente de don Julio Rey Pastor.

Homenaje a la vida y figura de D. Julio Rey Pastor, Catedrático de Matemáticas. Se repasa en pocas páginas el desarrollo de su carrera profesional, desde que consiguió la Cátedra de Análisis Matemático en la Universidad de Oviedo con tan sólo 23 años; destacando como creador de una cultura matemática moderna; siendo además de matemático, historiador de la ciencia y humanista y ante todo, maestro.

The Mathematics teacher and curriculum change. 'El profesor de Matemáticas y el cambio de currículo'.

Resumen basado en el de la publicación

La teoría de conjuntos.

Tanto la ciencia como la técnica necesitan de la base matemática. Por esto es importante la introducción de las nociones de la Matemática Moderna desde las edades más tempranas a partir de la noción de conjunto. Se explica el modo de determinar un conjunto por extensión y comprensión, su representación por medio de llaves o diagramas de Venn. Cómo se designan y signos de pertenencia. Concepto de subconjunto, signo de inclusión, conjunto disjunto y conjunto vacío.

Génesis y desarrollo de las conductas de clasificación en el niño. Situaciones educativas y edad adecuada para su enseñanza.

Estudiar la adquisición de conceptos matemáticos en el niño, y la consecución de las nociones de conjunto y jerarquización de los mismos. Verificar si algunos factores o variables tienen la importancia defendida por ciertos autores en la adquisición de las operaciones lógico-matemáticas, así como el grado de incidencia que cada uno de ellos pueda tener en conformidad con la edad de los niños. Estudiar si algunos factores perceptivos inciden en la comprensión infantil del tema. I y II investigación: escolares de un colegio céntrico de Madrid, al que concurren niños pertenecientes a la clase media. 60 niños y niñas son elegidos al azar con edades comprendidas entre los 4 y los 8 años. III investigación: 100 sujetos de ambos sexos, elegidos aleatoriamente en un colegio madrileño de clase media, divididos en 5 grupos de 20 niños cada uno, de edades comprendidas entre los 4 y 9 años. Primera parte teórica y la segunda primordialmente empírica. En la parte teórica se exponen los principios básicos de la teoría de la Escuela de Ginebra, se recogen algunos de los trabajos más significativos publicados sobre la teoría piagetiana, se organizan temáticamente los resultados más relevantes encontrados por diversos autores y se recogen las posibles alternativas a la orientación piagetiana. En la segunda parte se exponen 3 experimentos que tratan temas incidentes indirectamente en la enseñanza de la Matemática moderna. Los autores se han centrado en el estudio evolutivo de algunos factores importantes en esta área, como la influencia de la dimensión lingüística (1. Investigación), los factores perceptivos que pueden incidir en solventar estos problemas (2. Investigación), y finalmente han estudiado, teniendo en cuenta algunas alternativas recientes a la Escuela de Ginebra, el interés y la posible eficiencia de factores espaciales, contextuales y funcionales en la comprensión de la noción de conjunto. En la formación de conjuntos los niños se comportan de modo diferente según la edad, no sólo porque aparece un claro aumento de los porcentajes a medida que los niños crecen, sino también, porque se da un cambio de estilo en cuanto a la organización y categorización de los objetos propuestos. Los niños más jóvenes prefieren clasificar colectivamente, que mediante criterios definitorios de las clases. Si la formación de conjuntos se facilita utilizando pocos criterios y pocos elementos, la comprensión de la estructura de los mismos y las relaciones entre los subconjuntos parece favorecerse. En cuanto a la relación inclusiva entre conjuntos, el niño opera más fácilmente con subconjuntos y los relaciona con mayor exactitud con el conjunto total, cuando se le presenta una situación colectiva. Sin embargo, la funcionalidad, como criterio definitorio de la clase supraordenada, no facilita la comprensión de la estructura interna del conjunto. Es importante la elección de términos lingüísticos apropiados y de expresiones verbales adecuadas a la edad de los niños.

Enseñanza de las Matemáticas en el Bachillerato : análisis epistemológico y didáctico de los conceptos de límite y continuidad.

Estudiar las concepciones y obstáculos epistemológicos que han aparecido en el desarrollo histórico de los conceptos de límite y continuidad. Descubrir las concepciones que tienen los alumnos sobre estos dos conceptos. Encontrar las relaciones existentes entre ambas concepciones (históricas y de los alumnos). Analizar la transposición didáctica del saber matemático al saber escolar a través de los textos utilizados en el bachillerato y Curso de Orientación Universitaria y su evolución desde la década de los 50 hasta nuestros días, como posibles instrumentos generadores de las concepciones de los alumnos. Establecimiento de las dos hipótesis de trabajo. Temporalización de la investigación en dos cursos académicos. Curso 94-95: análisis de la transposición didáctica de los conceptos límite y continuidad, análisis de los libros de texto desde los 50ïs con la metodología de Schubring (1987). Elaboración de un precuestionario para conocer las concepciones de los alumnos y posteriormente elaboración del cuestionario definitivo. Curso 95-96 presentación del cuestionario a los alumnos, análisis de los datos. Estudio del desarrollo histórico de los conceptos. Búsqueda de las relaciones existentes entre las concepciones de los alumnos y las históricas. En el cuestionario donde se planteaban situaciones problemáticas referidas a ambos conceptos se pusieron de manifiesto los siguientes aspectos: el criterio más utilizado en la aplicación de límites es el de límite por la derecha o por la izquierda, clasificado como conocimiento escolar. La idea de aproximarse corresponde a las concepciones de Dálembert y Cauchy. El tercer criterio de justificación más utilizado es el de sustituir valores, que correspondería a la concepción de Euler-Lagrange. Para la continuidad, el criterio más usado es el plantear que una función es continua si se puede dibujar su gráfica sin levantar el lápiz del papel, próxima a la concepción intuitivo-geométrica. El segundo criterio - que se manifiesta como erróneo- es el afirmar que una función es continua si esta definida en todo punto. El tercer criterio más usado es próximo a la concepción de Cauchy. La dificultad que entrañan ambos conceptos hace que se presenten muchas respuestas erróneas entre los alumnos. El análisis de los libros de texto muestra diferencias notables entre ellos. Después de un primer periodo donde la atención estaba puesta en el rigor de la definiciones, se continuó con un énfasis en la formalización de la matemática moderna. Superado este periodo los autores tratan de presentar los conceptos conectados con situaciones y apelando a la intuición. Para el límite y la continuidad existe una evolución desde la consideración de ambos conceptos ligados al de función, pasando por un largo periodo en que tienen entidad propia, hasta la última reforma en que se enfatiza el carácter instrumental de los mismos. La transposición didáctica desde el saber matemático al saber contenido en los libros de texto son fuente de las concepciones detectadas en el saber escolar, a través del análisis de las respuestas al cuestionario. Durante el aprendizaje de los citados conceptos, los alumnos desarrollan una serie de concepciones que están relacionadas con las que han surgido en el desarrollo histórico y además aparecen otras inducidas por la propia enseñanza.

La enseñanza de las matemáticas y Piaget.

Estudiar el desarrollo entre la matemática tradicional y la matemática moderna, y la opinión de Piaget sobre esta cuestión. 9 niños de edades entre 6 y 7 años. pruebas elementales de seriación, correspondencia y conservación de la cantidad. Transcripción del comportamiento. Las matemáticas modernas están más acordes con la psicología infantil. Los métodos de enseñanza no han cambiado a pesar de que lo han hecho los contenidos. La reforma se ha hecho por adecuar las asignaturas de la ciencia actual, no como mejoramiento de la forma de enseñar las matemáticas. En la escuela se han limitado a cambiar los aspectos externos: libros y programas, pero no se ha preparado a los profesores, ni en el sentido de la reforma, ni en aspectos pedagógicos, ni de psicología infantil. Desde el punto de vista de la psicología infantil, genética y de la inteligencia sería deseable una enseñanza, más activa, más relacionada con la vida y que tenga en cuenta los pasos lógicos que llevan a cada adquisición.

(Educación) Matemática y sentido común.

Se reflexiona sobre la relación entre las matemáticas y el sentido común. Hasta ahora, demasiado a menudo, en educación matemática, la enseñanza no anima a un desarrollo amplio y vivo del sentido común en conexión con la disciplina, a pesar del hecho de que las matemáticas, con su impacto en casi todos los dominios de la vida moderna, ofrecerían oportunidades particularmente ricas.

Distintos enfoques para aproximarse a la noción de competencia desde la investigación en educación matemática.

Se explican los diversos sistemas existentes para la certificación de la competencia de los profesores. Se explica cómo comprobar si un profesor está preparado para la docencia en el marco de la enseñanza moderna. Para ello, se explican las distintas certificaciones que existen, las entidades que las expiden y su significado y validez.

La lógica moderna y la formación de una mentalidad científica.

Consideraciones generales sobre la necesidad de iniciar, desde muy temprano, a los alumnos en el hábito de un razonar más sutil y problemático, más complejo que el de la llamada lógica tradicional, por ejemplo, en el ámbito de la lógica jurídica, lógica matemática o lógica física, y sobre la introducción de un sistema de axiomas y de una teoría científica en los estudios españoles.

Tendencias actuales en la enseñanza de la matemática. II.

Con la confluencia de las dos líneas evolutivas de la matemática y la didáctica llegamos al momento actual: de un lado la matemática hacia abstracciones cada vez más formalistas; de otro, la didáctica evoluciona exigiendo creación en el aprendizaje. Finalmente, la técnica moderna utiliza recursos matemáticos cada vez más avanzados y ante esta situación la tarea del profesor de matemáticas es cada vez más dura y compleja ya que los desniveles entre enseñanza media y superior son cada vez mayores y la preocupación de los matemáticos ha acabado en crear Comisiones Internacionales para analizar todos estos problemas y conseguir una reforma profunda de los programas de enseñanza desde 1950.

Axiomática de la Matemática.

Estudio sobre la axiomática de las matemáticas. Se señala que en ocasiones se contraponen las exigencias del desarrollo científico y de la didáctica, por lo que se ha sugerido que hay que buscar un equilibrio. En la concepción moderna de la ciencia motemática domina el método axiomático. Para dar una idea precisa del mismo, es necesario elaborar construcciones axiomáticas sencillas, adaptadas a los distintos niveles de nuestros alumnos. La axiomática de la geometría elemental presento dos niveles bien diferenciados que corresponden a los dos grados de la enseñanza medio generalizados en todos los países, aunque con distintos nombres. Entre nosotros Bachillerato elemental y superior. En el nivel más elemental nuestra axiomática debe basarse en las propiedades deducidas directamente de la ideo de cuerpo rígido, mediante el empleo de calcos, plantillas, cuerda utilizada como compás, etc. Con el estudio se pretende en definitiva, dar un esbozo de una posible axiomática de la Geometría, sobre todo en lo que especta al nivel del Bachillerato Superior. Se traza una panorámica histórica de la cuestión, con los principales antecedentes y se plantean una serie de problemas, y ejercicios y demostraciones matemáticas para corroborar hipótesis. Se hace especial mención a la geometría hiperbólica y a la geometría del espacio de siete puntos, aspecto con el que se concluye.

Aprender a ser a través de la educación matemática.

Se presenta memoria final de proyecto educativo que propone la aplicación de una metodología flexible e indirecta de trabajo e investigación en el aula de matemáticas, adaptable a la diversidad de alumnado. Se realiza en el CEIP Gregorio Marañón de La Cala del Moral, Málaga. Los objetivos son: Indagar formas de aunar en el trabajo diario el uso de la calculadora con el cálculo escrito y mental; ensayar la virtualidad del plan de trabajo como útil de planificación en orden a adecuar la enseñanza a la diversidad dentro del aula; evaluar de manera flexible y comprensiva.