Acerca de la naturaleza del conocimiento matemático.

Resúmen tomado parcialmente de la publicación.- El artículo forma parte de un monográfico dedicado a Psicología de las Matemáticas

Las proposiciones intraproposicionales y el número.

Resumen tomado parcialmente de la revista.- El artículo forma parte de un monográfico dedicado a Psicología de las Matemáticas

Aprendizaje cooperativo en matemáticas : un estudio intracontenido

Resumen tomado parcialmente de la revista.- El artículo forma parte de un monográfico dedicado a Psicología de las Matemáticas

La adquisición del conocimiento : una perspectiva cognitiva en el dominio de las matemáticas.

Resumen tomado de la publicación. - El artículo forma parte del monográfico: matemáticas y su didáctica

Cuaderno virtual.

Elaboración de una aplicación informática alojada en un servidor web cuyos objetivos, entre otros, fueron: instalar un servidor Web Apache con soporte PHP y XML, realizar clases e interfaces en PHP con soporte AJAX, realizar una aplicación a partir de las clases generadas para la elaboración de la programación de una forma dinámica desde una página web y realizar cuadernos de clase por web a partir de una programación y un grupo de alumnos introducidos. El procedimiento se desarrolla en distintas fases: análisis de la forma de trabajo de los profesores en el centro, elaboración de módulos, utilización del programa por varios profesores indicando las dificultades surgidas y sus soluciones. A partir la información recogida se realiza la elaboración de la ayuda on-line del programa. El proyecto se evalúa a través de un test autoevaluativo señalándose como resultados la creación de un programa que ha facilitado la labor docente de una forma más amena y accesible que los métodos anteriores, con información puntual, detallada y actualizada, con la generación de informes inmediatos .

Un modelo alternativo al algoritmo vertical de la multiplicación : el algoritmo de red.

La autora, tras revisar las teorías sobre la adquisición de la multiplicación, el proceso de construcción de las relaciones multiplicativas, y partiendo de una experiencia con niños sobre la utilización del algoritmo tipo red (S. XV) para un mejor aprendizaje de la multiplicación aritmética, inicia su investigación partiendo de la hipótesis de que este método basado en el producto cartesiano, se ajusta mejor a las estructuras del pensamiento, y por tanto, permite una mejor comprensión también en sujetos adultos. Compuesta por 17 sujetos entre 26 y 52 años, 16 mujeres y 1 hombre, pertenecientes a Educación Permanente de Adultos de Elda (Alicante), aunque la investigación sólo la finalizaron 4 sujetos por muerte experimental del 76'5 por ciento. La investigación utiliza un diseño de pretest-postest. Pruebas 'ad hoc' utilizadas en el pretest-postest que consistían en una serie de ítems que, independientemente dan información sobre los distintos aspectos de la multiplicación. Programa escolar utilizado para la enseñanza de la multiplicación. Resolución de problemas reales, cotidianos, de los sujetos por medio de la operación de multiplicar. Análisis cualitativo de los datos comparados en el pretest y el postest, enumeración de los progresos y/o estancamientos de los sujetos de la investigación. El método del algoritmo en red sí permite la capacitación de los individuos pues posibilita la construcción de estructuras multiplicativas. Desde el punto de vista empírico esto es válido, aunque, en los sujetos de esta investigación, debido a sus especiales características no ha podido ser discriminativo para la comprobación de la hipótesis. Aunque el algoritmo empleado ha favorecido la comprensión de la multiplicación, no ha motivado suficientemente a los sujetos por diversos motivos: A) No se ajusta a sus intereses que son el aprendizaje de las tablas de multiplicar. B) Confunden rapidez con efectividad. C) No tiene relación con las nociones anteriores sobre el tema. D) Siguen anclados en estructuras aditivas por lo que no encuentran significado a otra entidad matemática.

Una alternativa al concepto de clase nula en Jean Piaget.

Se intenta elaborar una tarea alternativa a las pruebas de Piaget para el análisis de la clase nula en los niños. La hipótesis planteada fue: si la clase nula da paso a las operaciones formales y la clase única es propia de las operaciones concretas, entonces una tarea que pretende medir la clase nula sólo puede ser resuelta por sujetos que hayan adquirido la clase única. Compuesta por 77 niños de tercero de EGB, de tres centros de Molina de Segura. Administración de cuatro pruebas para saber en que etapa del desarrollo de la clasificación se sitúan: - prueba de cuantificación de la inclusión, modificación de la prueba de la clase única, - prueba de la clase nula utilizada por Piaget, - prueba de clasificación (ideada por la autora de la tesis), para evaluar el pensamiento de los niños acerca de la clase vacía o nula. Prueba de cuantificación de la inclusión. Prueba de la clase única. Prueba de clase nula de Piaget. Escalograma de Guttman que nos indica el índice de reproductibilidad. Se utilizó para analizar la fiabilidad de la prueba de Piaget y la prueba alternativa propuesta por la autora. El índice de reproductibilidad para la prueba de clase nula de Piaget no alcanza el mínimo determinado por Guttman. El índice de reproductibilidad de la prueba elaborada por la autora de esta tesis sí lo alcanza, por tanto la escala de dicha prueba es consistente. La hipótesis planteada concuerda con la de Piaget (aunque su prueba para medir la clase nula no sea consistente). El análisis de la categoría estática de la función implicativa de la inteligencia que permite organizar el mundo clasificándolo, puede ser medida o analizada mediante pruebas y tareas muy simples, cuyo material se basa en los bloques lógicos de Z.P. Dienes.

Un estudio correlacional entre la medida de la concepción psicométrica y piagetiana del razonamiento lógico.

Tratar de ver la relación existente entre la medida de los tests psicométricos y las pruebas operatorias, así como el pronóstico de una prueba sobre otra y de los factores que determinan las relaciones. 130 niños/as elegidos aleatoriamente de dos colegios públicos de Murcia: CP Narciso Yepes y Espíritu Santo de Espinardo, con edades comprendidas entre los seis y diez años, distribuídos en Ciclo Inicial (55) y Ciclo Medio (75). Aplicación de los tests y pruebas de forma individual teniendo como variables independientes: tests y subtests psicométricos, y como dependientes: pruebas operatorias (clasificación aditiva y clasificación multiplicativa). Wisc: semejanzas, figuras incompletas y rompecabezas; matrices progresivas de Raven: series a y b color y c, d y e; escala de madurez mental de Columbia; escalas 1 y 2 del test de factor 'G' de Cattell; pruebas operatorias. Análisis correlacional para ver la relación entre un conjunto de variables independientes y una variable dependiente. Análisis de regresión para ver en función de qué variable independiente se puede pronosticar mejor la variable dependiente. Parece ser que las relaciones entre ambos tipos de medida en lo que al razonamiento lógico se refiere presentan una relación moderadamente buena, aunque no son muy altas como se esperaba. Los tests que mejor pronostican las pruebas operatorias son el Columbia y el Raven. Pese a las diferencias teóricas, empíricas y metodológicas de los tests y pruebas, se puede considerar que algunas variables independientes son moderadamente buenas predictoras en lo correspondiente al razonamiento lógico. La escala CMMS pronostica mejor en las clasificaciones aditivas y el Raven en las clasificaciones multiplicativas. La convergencia de ambos instrumentos en la medida de 'G' no es determinante en sus relaciones. Las cargas culturales de los tests de inteligencia no es el único factor que determina las relaciones entre estos y las pruebas operatorias.

El paso de las operaciones concretas a las formales: un análisis en el dominio de las Matemáticas.

Esta investigación pretende ser una aportación más tendente a evitar el fracaso en las Matemáticas. Se parte de las siguientes hipótesis: A/ Se encuentran diferencias en la ejecución matemática entre los sujetos de mejor y peor rendimiento. B/ Hay diferencias significativas entre la ejecución matemática de un sujeto de medio rural y un sujeto de medio urbano. C/ Hay diferencias significativas en la ejecución de las Matemáticas entre los sujetos adscritos al plan de reforma del Ciclo Superior y los que no lo están. D/ Hay diferencias en la ejecucion matemática entre los alumnos de 11 y 14 años de sexto de EGB. E/ No existen diferencias en cuanto al sexo. F/ Existen diferencias significativas por número de hermanos en la ejecución matemática. De confirmarse estas hipótesis se trataría de elaborar ecuaciones pronosticadoras del rendimiento. De los alumnos matriculados en sexto curso de EGB se extrajo una muestra de 400 sujetos, pertenecientes a 8 colegios. Elaboración de una prueba matemática (numérica y geométrica). Pasación de pruebas, cuestionarios y encuestas, a los sujetos de la muestra para comprobar si las distintas variables: medio social, edad, sexo, plan de estudios, etc, inciden en el rendimiento de las Matemáticas. Elaboración de una ecuación general de regresión y ecuaciones de pronóstico. Prueba matemática al objeto de conocer si los alumnos de sexto tenían aprendidos los contenidos de quinto curso para lograr los objetivos de sexto. Prueba de J. Gairín Sallán (escala de actitud hacia las Matemáticas). Encuesta a los alumnos; sociograma; factor G de Catell; encuesta a profesores. Análisis factorial; t de student; análisis de varianza; análisis de correlación y análisis de regresión múltiple. Existen diferencias significativas entre los distintos grupos en las variables analizadas. Existen diferencias significativas en rendimiento en cuanto a la edad en las Matemáticas a favor de sujetos más jovenes. Las diferencias en cuanto al sexo son escasamente significativas. Existen diferencias significativas a favor de los que tienen menor número de hermanos. Proposición de una ecuación general de regresión y ecuaciones de pronóstico (medio rural, medio urbano, plan oficial, plan experimental, alumnos repetidores, alumnos no repetidores) que permita adelantar el posible fracaso escolar en el Ciclo Superior. En esta investigación se ha abordado el estudio de variables intrapersonales del sujeto, dejando abierto el tema para posteriores investigaciones de variables extrapersonales o ambientales (profesor, material de enseñanza, modelos educativos, metodos de enseñanza, etc).

Un modelo matemático para el aprendizaje de la conservación del número : cadenas de Markov.

Comprobar que el aprendizaje sigue el proceso descrito por Markov. Muestra tomada al azar entre los alumnos del Centro de Educación Especial 'Santísimo Cristo de la Misericordia' de Espinardo (Murcia). Está formada por dos grupos de edades comprendidas entre los 6 y 14 años y con características intelectuales distintas. Grupo I: 20 sujetos que se encuentran en el estadio de no conservación. Grupo II: 10 sujetos que se encuentran en estadio intermedio. La investigación se llevó a cabo en el grupo I siguiendo los pasos siguientes: A/ Diagnóstico operatorio para situar a los sujetos en el nivel de no conservación, aunque en distintos subniveles; B/ Aprendizaje operatorio mediante ejercicios con materiales discretos y aprendizaje con materiales continuos a través de 5 situaciones. A lo largo de este aprendizaje se utilizó el test-postest para establecer la adquisición de cada paso y los ejercicios concretos para alcanzar el siguiente. El grupo II sirvió para construir el vector de probabilidad I en la matriz inicial. Material operatorio. El estudio se sitúa en el modelo cognitivo, desde el punto de vista de la Psicología Genética y describe una situación experimental utilizando para el análisis de los datos matrices de transición 3 x 3 con los vectores de probabilidad y vectores de probabilidad obtenidos directamente del proceso de aprendizaje. Las diferencias más altas encontradas entre los vectores de probabilidad de los aprendizajes y los vectores de probabilidad de la matriz de transición, fueron menores del 3. En este estudio se han encontrado hasta 11 conductas en la adquisición de la conservación de la cantidad. Se ha comprobado con esta investigación que el aprendizaje de la conservación del número sigue un modelo markoviano, y se termina exponiendo que es posible establecer una matriz de transición 11 x 11 con estimadores de máxima probabilidad para los parámetros con el fin de poder establecer si los 11 niveles son genéticamente diferentes por donde han de pasar los individuos en la adquisición del concepto de número, o son conductas distintas del mismo nivel genético.

El espacio psicológico : orígenes y derivaciones.

Análisis epistemológico sobre las interpretaciones del espacio psicológico que acerque a los conceptos de representación espacial, mapa cognitivo y conducta espacial. El espacio psicológico. Definición del espacio psicológico; definición de las principales respuestas ofrecidas por filósofos, matemáticos y psicólogos a los problemas del espacio perceptivo y sensoriomotor y su conceptualización. Profundizar en los aspectos más relevantes de la explicación piagetiana. Estudio ontogenético del conocimiento espacial. Revisión actualizada de la investigación evolutiva sobre la representación de contenidos específicos y cognición ambiental. Búsqueda bibliográfica, revisión de teorías y autores. El modelo general de equilibrio de las estructuras cognitivas propuesto por Piaget en 1975, proporciona un marco adecuado para abordar el problema de la naturaleza del espacio psicológico; la investigación relativa a la generación de conocimientos generales abstraidos de situaciones particulares y la preocupación por los procedimientos o estrategias puestos en juego a la hora de aplicar ese concocimiento general a una situación particular. Los sujetos no construyen el espacio viendo sino y sobretodo, actuando en él. La construcción de las nociones espaciales corre pareja a la construcción de otras nociones operatorias.

Un modelo didáctico para la adquisición del concepto de límite.

Introducir la noción matemática del límite siguiendo el método inductivo que ha seguido en su evolución histórica, opuesta al método tradicional, deductivo, utilizado en la totalidad de los manuales y libros de texto. La introducción al concepto se realiza a través de los ejercicios clásicos que permitieron las primeras aproximaciones al concepto de límite. Hipótesis: si el método experimental propuesto es efectivo, aplicado a una clase de alumnos universitarios, ha de producir mejores resultados en la adquisición del concepto de límite que si se hiciera siguiendo el método tradicional. 61 alumnos universitarios de la Facultad de Biología y de la Escuela Universitaria de Magisterio (primero y tercero respectivamente) de edades comprendidas entre los 18 y los 20 años. La investigación comienza con un recorrido histórico sobre la evolución de la noción de límite matemático, desde las civilizaciones antiguas hasta la actualidad (Weierstrass y Frechet). A continuación se introduce la idea de infinito y se hace una revisión de estos conceptos en los manuales universitarios más utilizados, así como en los de BUP y COU. Se procede a un estudio comparado entre el desarrollo histórico del concepto y el presentado en los manuales para llegar a la formulación de una propuesta metodológica renovada en cuanto a la adquisición de este concepto por parte del alumnado universitario. La parte experimental se realizó durante el primer trimestre del curso 89-90. El diseño metodológico pretest-programa experimental-posttest se dividió en tres etapas: elaboración, aplicación y corrección (resultados) de la prueba matemática sobre el concepto límite (ejercicios sobre límites, resolución de un problema matemático que lleve aparejado el cálculo de un límite, cálculo del límite a partir de la gráfica de la función y dado el límite de una función en un punto, escribir la función). La segunda etapa se dedicó a desarrollar el concepto de límite siguiendo el método tradicional y el experimental en cada uno de los dos grupos (dos grupos de primero de Biología y dos grupos de tercero de Magisterio). La nueva metodología se basó en llegar al concepto a través del problema concreto (Piaget). En la tercera se volvió a pasar la prueba a los dos grupos y se dió tratamiento estadístico a los datos. Resultados y conclusiones. De los datos obtenidos se desprende que la diferencia, en función del método empleado ha sido notable por lo que a los cuatro apartados del test se refiere. Esta diferencia se decanta significativamente en favor de método experimental, sobre el que se deseaba constatar su eficacia en cuanto al mayor rendimiento de los alumnos en la adqusición del concepto. El método juega un papel muy importante en la adquisición de los conocimientos, variando el método de enseñanza, varían los resultados obtenidos por los alumnos en el proceso de aprendizaje. El modelo de enseñanza activo y participativo mejora el rendimiento, así como el método experimental (inductivo) sobre el tradicional (deductivo). Se pone de manifiesto la necesidad de implantar una nueva metodología en el campo de la enseñanza de las Matemáticas.

Un análisis comparativo de los sistemas curricular, metodológico y de evaluación, en el área de Matemáticas entre España y los países francófonos europeos : implicaciones para el rendimiento académico.

Propuesta de un modelo de enseñanza de las Matemáticas centrado en el desarrollo cognitivo de los alumnos, justificado teóricamente desde las aportaciones de la Pedagogía y la Psicología y defendido desde el marco legal de la reforma del Sistema Educativo. La segunda parte del estudio pretende ofrecer una visión comparada de las propuestas metodológicas españolas y francófonas cuya identificación con el marco teórico del modelo propuesto es importante. Valoración comparada de ambas propuestas, bajo los mismos supuestos y en referencia al desarrollo filogenético del cocnocimiento matemático. Propuestas educativas ofrecidas por las editoriales Anaya y Santillana, para los cursos de primero a sexto de Primaria (6-12 años) y de la editorial Nathan para los cursos CP, CE1, CE2, CM1 y CM2 y la editorial Office Romand des Editions et du Matériel Scolaire, para los cursos de primero a sexto, ésta última, suiza, sólo se comparó en términos generales con las propuestas española y francesa. Marco teórico que justifica el modelo propuesto (tipos de conocimiento, modelos de enseñanza y evaluación). Seguido al marco teórico general se especifican las cuestiones tratadas en él, al campo matemático, realizando una introducción histórica al conocimiento matemático (modelos de enseñanza de las Matemáticas y la evaluación en Matemáticas), para pasar al análisis comparado de los materiales de las editoriales de textos escolares españoles y francófonos (Francia y Suiza). En la sección tercera de la investigación (p. 2355 y ss.), se recogen las conclusiones. 1. Lo más destacable de la propuesta metodológica de las editoriales Anaya y Santillana es: la proximidad entre el campo numérico disponible y su tratamiento operativo, la proximidad entre las operaciones inversas, la incorporación de la aplicación de la noción a la resolución de problemas o situaciones, como un momento más de su proceso de adquisición y la organización de la secuencia de aprendizaje y la concreción de su desarrollo; 2. La característica esencial de la propuesta metodológica de la Editorial Office Romand des Editions et du Matériel Scolaires (Suiza, Neuchatel), consiste en una concepción del aprendizaje basada en el protagonismo del alumno que, en situación colectiva, de equipo o individualmente, se enfrenta a la interpretación de una realidad sobre la que ensayar estrategias, a la comparación y justificación de procesos y resultados y a la búsqueda de formas de ampliación o modificación de dicha realidad; 3. No existe un isomorfismo entre los contenidos de las propuestas españolas y francófonas y que su estructuración es esencialmente diferente, lo que justifica el relativo desfase entre los contenidos que configuran los cursos españoles y franceses. Más próximas están, en ambos aspectos, las propuestas españolas entre sí. Conviene considerar la importancia de las Matemáticas en el desarrollo cognoscitivo del sujeto: el cocnocimiento matemático no es fáctico sino formal, consiste en un todo formado por la representación de los objetos físicos y de la propia acción realizada sobre ellos, es decir, consiste en la interacción del sujeto con la realidad. La continuidad y el desarrollo del conocimiento no serán posibles si el sujeto no dispone de esquemas desde los que interpretar la realidad y en los que integrar la representación alcanzada, bien porque los esquemas sean en sí mismos inadecuados, bien porque los objetos de conocimiento no se adecúen a los esquemas.

Conocimiento conceptual y procedimental : el caso del conteo.

Elaborar un modelo de conteo propio, partiendo de la perspectiva piagetiana sobre el desarrollo intelectual y la génesis del número. Responder a cuestiones básicas tales como ¿qué se entiende por conteo?, ¿qué significa contar?, ¿cómo y cuando comienza a contar un niño?. Niños entre dos y siete años de dos centros escolares, un jardín de infancia y un colegio público de Cartagena (Murcia). Se seleccionaron, mediante muestreo aleatorio simple, a diez niños de cada rango de edad (en meses: 27-37; 42-50; 52-61; 64-72; 76-86). Total: 50 niños. Para la investigación empírica se elaboraron cinco tipos de pruebas diferentes que se realizaron durante el segundo trimestre del curso escolar 1991-92 en los dos centros. Los datos fueron registrados en vídeo y se empleó un protocolo en el que se registraron conductas, simultáneamente a su ejecución. Las pruebas utilizadas fueron: de enumeración (compuesta de cinco tareas relacionadas con la recitación de la secuencia convencional de los numerales). Prueba de correspondencia uno-a-uno (constaba de dos tareas cuya finalidad era llegar a conocer los esquemas de correspondencia uno-a-uno poseidos por los niños). Prueba de elección libre de esquemas (compuesta de dos tareas relacionadas con el esquema de correspondencia-coordinación y con el de orden-seriación de los numerales). Prueba de conteo (dos items: conteo fácil, en que se pedía a los niños que contaran un conjunto de elementos distintos presentados en una serie lineal y conteo difícil: igual que el anterior excepto en la presentación del material). Prueba de conservación que consistió en la clásica prueba de conservación piagetiana elaborada para cantidades discretas. Protocolo. Análisis cualitativo de los datos obtenidos en las diferentes pruebas. Descripción de los resultados de cada grupo de edad en cada una de las pruebas en porcentajes de acierto. Análisis cuantitativo. Variables: edad, nivel, enumeración, correspondencia, elección, conteo y conservación. Análisis de regresión. Análisis de regresión por pasos (Stepwise). El conteo puede ser explicado por la enumeración y la correspondencia uno-a-uno, ya que el resto de las variables están implícitas en éstas. Cuando los elementos están dispuestos linealmente, la correspondencia uno-a-uno adquiere mayor relevancia que la numeración. La enumeración es condición necesaria, aunque no suficiente, para que se de la conducta de contar. Tanto el conteo como la conservación se desarrollan paralelamente. Como consecuencia no son aceptables los modelos basados en el conteo sobre la conservación y los modelos no basados en el conteo (Saxe, 1979), ni la alternativa ofrecida por este autor. El esquema de conteo se va desarrollando en el niño progresivamente hasta llegar a ser operatorio.

Un estudio de validación convergente para la determinación de niveles genéticos en la adquisición del concepto de número.

Se trata de encontrar los esquemas de conocimiento que el sujeto pone en marcha para construir el concepto de número natural. Es por tanto, un estudio microgenético que trata de proporcionar un modelo psicoeducativo para la enseñanza del número. El muestreo fue aleatorio estratificado (estratos: deficientes, preescolar 1 y preescolar 2); la muestra estaba formada por 124 niños adscritos a colegios públicos y privados de la Región de Murcia. Partiendo del modelo cardinal-ordinal del número la variable utilizada fue la conducta numérica en las pruebas de conservación de las cantidades, utilizadas tradicionalmente, por la Escuela de Ginebra. Para el modelo de aprendizaje, la variable utilizada fue la probabilidad de paso de un nivel a otro. Prueba de conservación de las cantidades (discretas y contínuas) de Piaget con algunas modificaciones. Modelo didáctico a partir de la determinación de las propiedades inherentes a los niveles genéticos encontrados en la investigación. Análisis factorial y análisis de Cluster para agrupar a los sujetos en función de sus respuestas (determinación de niveles genéticos). Cadenas de Markov para representar el modelo de aprendizaje. Análisis jerárquico (Escala de Guttman) para averiguar si los ítems de las pruebas corresponden a una única magnitud psicológica mesurable. Se encontraron siete niveles genéticos en la adquisición del concepto de número natural, que fueron formalizados a partir de las leyes estructurales de grupo y de las relaciones de equivalencia y orden. La determinación de una mayor variedad de niveles genéticos y su formulación permiten elaborar modelos de aprendizaje que sean respetuosos con el desarrollo espontáneo de los esquemas cognitivos del niño y que, al tiempo, permiten un desarrollo más acelerado de estos esquemas, respetando el principio de equilibración mayorante de Piaget.