Reacción a la ponencia : fenómenos y problemas en la didáctica de las matemáticas.

Se realiza una réplica al trabajo 'Fenómenos y problemas en la didáctica de las matemáticas' exponiendo la falta de generalidad de algunos problemas que en el trabajo se presentan como generales. Queda patente que en varios de los casos no hay razón para distinguir entre problemas generales y específicos debido a que el tratamiento de los problemas específicos incluye también el de los generales. Falta por tanto una delimitación clara del marco epistemológico de la didáctica de las matemáticas. Finalmente, se expone el desconocimiento de la teoría antropológica usada por el ponente estudiado. A pesar de este desconocimiento por parte del ponente, tiene lugar un cierto entendimiento de la teoría debido a que está expuesta como un sistema de fundamentos matemáticos.

Didáctica de la matemática como disciplina científica.

Se describe el grupo de trabajo 'La didáctica de las matemáticas como disciplina científica'. Se explica su estructura. Esta se compone de varios subgrupos asignados a diversas universidades. Se expone también la actividad del grupo de trabajo. En el marco de la misma se describen dos sesiones de discusión. La primera versa sobre el artículo de Juan Díaz Godino 'Análisis epistémico, semiótico y didáctico de procesos de instrucción matemática'. En el citado trabajo se describe una metodología para la enseñanza de las matemáticas. La discusión se centra en la relaciones entre los distintos conceptos implicados en la metodología citada. La segunda sesión se dedica a la discusión sobre el trabajo ''Didactique fondamentale' versus 'Advanced Mathematical thinking' : ¿Dos programas de investigación inconmensurables?', debatiendo sobre la posibilidad de conciliar los puntos de vista expuestos en ambos trabajos.

Debate.

Se debate sobre el trabajo de investigación 'fenómenos y problemas en la didáctica de las matemáticas' de Josep Gascón y sobre la réplica a éste dada por Francisco Vecino. Se expone que el trabajo se centra en gran parte en cuestiones epistemológicas dejando de lado una gran parte de las cuestiones antropológicas. Se expone también la importancia dada en el trabajo a la reformulación de los problemas docentes. Se indica que la reformulación de los problemas derivados del aprendizaje de las matemáticas se reformulan como problemas epistemológicos y antropológicos. Se debate también sobre si se debe considerar como investigación la labor de los docentes que buscan sus propios métodos para aumentar el rendimiento de los alumnos. Se explica que el conocimiento generado de dicha manera no es investigación al no realizarse de manera sistemática y formalizada. Se concluye con la consideración de que en vez de los objetivos iniciales de compresión de los problemas de las didáctica de las matemáticas lo que se ha alcanzado es un marco teórico para el desarrollo de la enseñanza matemática como una ciencia.

Sobre la noción de límite en las matemáticas aplicadas a las ciencias sociales.

Se expone el estado de la investigación sobre la noción de límite en las matemáticas aplicadas a las ciencias sociales realizada por la autora. Se explican los problemas derivados de la enseñanza del concepto de límite. Se expone que los maestros achacan a la enseñanza previa una cierta dificultad de los alumnos para utilizar herramientas formales. Se explica también la dificultad de dar a los alumnos una idea intuitiva del límite. Esta se debe a que la mayor parte de las explicaciones informales usadas para introducir el concepto de límite dejan al alumno con una idea sesgada del mismo. Se da también una descripción de la muestra elegida para la investigación. Se explica que si bien no es una muestra aleatoria la investigación queda legitimada por la experiencia de los investigadores y la saturación de la experiencia. Se constatan los problemas derivados de la enseñanza recibida por los alumnos antes de comenzar el aprendizaje del límite. Se comprueba que las carencias en el aprendizaje de la aproximación generan problemas el de los límites. Se comprueba también que muchas de las dificultades provienen de un incorrecto tratamiento del concepto de función en los cursos anteriores.

Marcos teóricos y metodológicos para la investigación en educación matemática creando espacios de comunicación.

Se exponen las bases para la creación de un marco común de investigación en educación matemática mencionando la importancia de poner en común los distintos métodos de investigación y la necesaria diversidad de éstos a consecuencia de la propia diversidad de las materias investigadas. Se exponen cuatro puntos a partir de los cuales comenzar el debate sobre el contenido del marco metodológico. El primer punto es la identificación de una temática en cuya parte del diseño de la investigación se deben exponer los datos previamente conocidos: objetivos de la investigación, hipótesis realizadas, objetos de estudio, etc. El segundo es el planteamiento de las distintas cuestiones que surgen del conflicto entre los distintos métodos de investigación existentes. En tercer lugar se escuchan los planteamientos de los presentes para comenzar a dar forma a las respuestas a las preguntas planteadas. Por último se realiza un debate utilizando toda la información anteriormente expuesta.

Implicaciones metodológicas de un enfoque semiótico-antropológico para la investigación en didáctica de las matemáticas.

Se describe la estructura para una nueva forma de investigación. Se establecen las pautas para diseñar nuevas investigaciones así como metodologías para la investigación en educación matemática. Se describen tres campos imprescindibles en la investigación: caracterización de nuevos conceptos, interacción entre ellos y evolución hacia otros nuevos. Se expone por último la importancia de dar criterios que legitimen los resultados de las investigaciones y la relación entre los datos concretos observados y los problemas teóricos planteados.

Aproximación a un marco teórico y metodológico específico para la investigación en educación matemática.

Se expone un marco para la investigación en educación matemática. Se exponen en primer lugar los problemas por los que éste es necesario. Se explica que los métodos de investigación están muy fragmentados. Esto se debe a una fuerte separación entre los seguidores de los distintos métodos de investigación. Se expone que los desarrolladores de cada método se centran fundamentalmente en aquello que diferencia su método de los demás y tratan de mostrarlo como algo totalmente independiente e incompatible con el resto de métodos. Se expresa la necesidad de la unificación de los distintos métodos haciendo hincapié en el parecido entre ellos. Se enumeran varias tareas importantes a realizar en toda investigación en educación matemática. La primera es definir con precisión el tema a investigar. A continuación se aconseja valorar la importancia de cada uno de los datos a recoger en la investigación. Se aconseja también revisar el mayor número posible de estudios e investigaciones existentes.

Perspectivas de investigación en pensamiento numérico.

Se explican el funcionamiento y la composición del grupo de investigación 'Pensamiento numérico'. Se expone que fue creado en el año 1988 para impulsar en España y América Latina la investigación en educación matemática. Se explica que el ámbito de las investigaciones se ciñe a las comunidades de habla hispana. Se mencionan también los distintos temas que investiga (cognición numérica, procesos infinitos,...) y algunas de las investigaciones llevadas a cabo por el grupo.

Perspectivas de investigación en pensamiento algebraico.

Se exponen los resultados de las investigaciones del grupo 'Investigación en pensamiento numérico y algebraico' así como análisis de trabajos anteriores al grupo. Se presentan en varios apartados correspondientes a los enfoques desde la psicología cognitiva, el lenguaje, las nuevas tecnologías (ordenadores y calculadoras), histórico-epistemológicas y de la enseñanza. Del enfoque de la psicología cognitiva desprende que los alumnos por norma general tratan de hallar soluciones concretas sin comprender bien el método o algoritmo que están utilizando para hallarlas. Desde el punto de vista del lenguaje se observa que las investigaciones divergen mucho en métodos debido a que siguen distintas corrientes psicolingüísticas. El enfoque de las nuevas tecnologías desprende una gran capacidad de los alumnos para adaptarse a los entornos informáticos así como la utilidad de estos para remarcar a los alumnos los conceptos algebraicos básicos (variable, función,...). El análisis histórico-epistemológico muestra que los alumnos siguen en su aprendizaje un desarrollo paralelo al del propio conocimiento numérico y algebraico a lo largo de la historia. En dicho desarrollo primero se entiende el funcionamiento de los números, más tarde las operaciones entre ellos y por último la manipulación simbólica con letras propia del álgebra. Desde el punto de vista de la enseñanza se encuentra que cada sistema educativo tiene sus peculiaridades. Esto se traduce en que algunos se centran en mostrar el álgebra como una herramienta para resolver los problemas (de manera que el alumno tiene que entenderla y decidir cuando le conviene usarla) mientras que otros la consideran el objetivo educativo en sí, centrándose en enseñar a los alumnos como resolver expresiones algebraicas.

Perspectivas de investigación en didáctica de las matemáticas : investigación en didáctica del análisis.

Se realiza un resumen de la investigación en didáctica del análisis matemático. Paralelamente, se explica la evolución de la concepción en la comunidad matemática de los conceptos considerados clave en la enseñanza de las matemáticas avanzadas. Se expresa una evolución a lo largo de los años hacia un modelo de enseñanza basado en la compresión intuitiva del concepto de límite. Se muestra también una progresiva delegación en las calculadoras de la parte algebraica de la resolución de problemas. Se observa una mejora en los resultados de los estudiantes que aprenden cálculo apoyándose en el uso de calculadoras. Por último, se realiza una enumeración de las investigaciones en didáctica del análisis en curso en España.

Cuatro cuestiones en torno al aprendizaje de la demostración.

Se estudia el proceso de aprendizaje de los estudiantes de bachiller en materia de demostraciones matemáticas. Se describen criterios para determinar que una demostración matemática se han entendido. Entre ellos se encuentran entender el enunciado, entender los pasos de la demostración y comprender globalmente la solución como una respuesta universal al enunciado. Se estudia que tipos de demostraciones son aceptadas como tales por los alumnos. Se encuentran alumnos que admiten pruebas Empíricas, analíticas, deductivas, basadas en un sólo caso y también basadas en varios casos. Se tiene, por lo tanto, que existe una diveridad de tipos de pruebas y que la aceptación de unas y otras por parte de los alumnos no es excluyente. Se estudia la capacidad de los alumnos para discriminar demostraciones de otros enunciados matemáticos. De los resultados se deduce que la mayoría de los alumnos no son capaces de distinguir una demostración de un ejemplo concreto de una demostración real. Se estudia por último la manera en que la redacción de los enunciados afecta a la manera en que los alumnos lo entienden. Se concluye que un mismo enunciado puede ser interpretado de múltiples maneras cambiando la redacción del mismo o simplemente utilizando los elementos del lenguaje de la lógica que más ambiguos resulten en el lenguaje natural.

La demostración en matemática : una aproximación epistemológica y didáctica.

Se explican los diferentes tipos de demostraciones y su efectividad en la docencia. Se expone la tendencia de los docentes en matemáticas al uso de demostraciones extrictamente formales. Se explica que la procedencia de dicha tendencia es la consideración de las demostraciones formales como las únicas realmente fiables en los entornos matemáticos. Se expone el contraste entre la forma de razonar de los alumnos y las explicaciones de los profesores. Dicho contraste consiste en los tipos de demostración entendidos como correctos por cada uno de ellos. Se explica que los alumnos entienden las demostraciones empíricas pero tienen muchos problemas para aceptar las demostraciones puramente abstractas y formales. Se propone, por lo tanto, cambiar el modelo de enseñanza hacia uno que contemple ambos tipos de demostración.

Sobre conjeturas y demostraciones en la enseñanza de las matemáticas.

Se realiza un ensayo sobre la importancia de las hipótesis e ideas intuitivas en la enseñanza de las demostraciones. Se explica el proceso demostrativo como un proceso de conjetura-demostración-refutación. Se expresa que la primera parte es la más intuitiva y basada en lanzar hipótesis a la vista del problema. Se expone que la segunda y la tercera son las de mayor carga de abstracción requiriendo demostrar o refutar leyes matemáticas utilizando la lógica. Se indica que la enseñanza se centra mucho en la parte de demostración-refutación. Se propone centrarla más en la conjetura-demostración por ser mucho más cercana al estudiante ya que éste tiene mucha más facilidad para plantear hipótesis a la vista del problema aunque no sepa razonar con precisión el motivo por el cual la ley es válida. Se explica que de esta manera se puede salvar el abismo inicial entre las habilidades demostrativas del alumno y la dificultad de las demostraciones formales. Se entiende que con la práctica el alumno irá aumentando su capacidad para realizar las tareas deductivas más abstractas. Se comentan varios experimentos realizados sobre alumnos de secundaria que corroboran dichas conclusiones.

Debate del seminario I : prueba y demostración : razonamiento matemático.

Se debate sobre la mejor manera de enseñar la demostración matemática a los alumnos de secundaria. Se plantea que no todos los alumnos son capaces de realizar demostraciones puramente formales. Se expone el interés de dar libertad a los alumnos de realizar demostraciones de distinto tipo de acuerdo a su forma de razonar. Se explica en último término que si bien una combinación de razonamientos puede ser útil a lo largo del proceso demostrativo, la fase de demostración en el sentido más estricto sí que ha de basarse en deducciones puras. Se expone la dificultad de los alumnos para discriminar los razonamientos inductivos que no tienen validez como demostración y que sólo deben de usarse para encontrar las hipótesis a formular y los deductivos que son los realmente válidos como demostración.

Un estudio cualitativo de corte interpretativo en el ámbito del pensamiento del profesor de secundaria.

Se realiza una investigación sobre la psicología del profesor de matemáticas. Se realiza utilizando métodos cualitativos e interpretativos. A diferencia de la mayor parte de las investigaciones, en esta no se realizan un gran número de pruebas o encuestas sobre un amplio número de sujetos. En lugar de eso se realiza un seguimiento muy dilatado en el tiempo de la labor y el pensamiento de los docentes. Se realizan entrevistas muy personalizadas y los investigadores tienen una presencia muy marcada en el aula. Se desarrolla también un nuevo proceso de investigación. El mismo consiste en una categorización según el modelo teórico seguida de una selección de unidades de formación para la investigación. Posteriormente se realizan sugerencias de reformas en la categorización que a partir de las cuales se ubican las unidades en las categorías. Dicha ubicación realimenta las propias sugerencias de reformas en la categorización. Este proceso se repite varias veces categorizando las unidades de acuerdo a diferentes criterios hasta llegar a un modelo mental definitivo del pensamiento del docente.