Aprender a enseñar matemáticas y conocimiento del profesor : una panorámica desde las investigaciones.

En la década de 1980-90 se ha desarrollado un importante abanico de investigaciones en educación matemática cuyo centro es le conocimiento del profesor de esta asignatura. En definitiva, nos interesa el proceso por parte del mismo de aprender a enseñar y la relación conocimiento-práctica. Dentro de estoa estudios los contenidos matemáticos más desarrollados son : la estructura multiplicativa, fracciones y números racionales y noción de función . De todo ello, se puede deducir que los instrumentos utilizados por los investigadores como medios con posibilidades de actuar sobre y potenciar cambios en las conductas y cogniciones de los profesores involucrados en los estudios. Los recursos metodológicos repercutirán en los elementos que intervienen en una clase y en las relaciones que pueden darse entre ellos. Como consecuencia intervendrían en del desarrollo de los procesos del aula, siendo un aspecto a tener en cuenta en le diseño de instrumentos metodológicos.

Matemática, modelo y experiencia.

Se exponen una serie de observaciones de carácter especulativo centradas en torno a la Enseñanza Media y condicionadas al entorno español, en cuanto a las relaciones de la Enseñanza de la Matemática con la realidad y con otras disciplinas que la inspiran y a las que sirve.

Matemática y pensamiento o enseñar Matemática, ¿para qué?

Se exponen las causas extrínsecas e intrínsecas que influyen en la crisis que atraviesa la enseñanza de las Matemáticas en España. Además de tratar el hecho del divorcio entre Matemática y Pensamiento, y que tal separación debe superarse para tratar de responder a la pregunta final.

Aproximación a la didáctica de la lógica matemática en tercero de bachillerato.

Esbozo sobre un planteamiento de la enseñanza de la lógica en el bachillerato que sirva de guía a los profesores para el desarrollo de sus clases, ante la relativa novedad de esta disciplina dentro de los planes de estudio del bachillerato. El programa se desarrolla teniendo en cuenta el aspecto psicológico de los alumnos a los que va dirigido y el aspecto didáctico o estructuración de los contenidos dentro del curso. También se incluyen algunos ejemplos para realizar en las clases.

La matemática en el marco de la educación integral.

El bachillerato dotado de una entidad propia debe acentuar su carácter de formación de la personalidad del educando. Y , a la vez, debe ser orientador del futuro profesional del alumno. Así, la finalidad del mismo es hoy la formación de los jóvenes para que puedan elegir libremente su propio destino, con pleno conocimiento de sus capacidades e intereses. Pero el cambio tan radical en la enseñanza ha dado origen a multitud de actitudes en todos los sectores y hasta de la propia administración que no ha sabido seguir una línea directriz de continuidad. Se concibe una enseñanza media integrada en la educación general. En esta tarea ¿Qué papel tienen las matemáticas? Dos notas características son los elementos de Euclides: su contrucción axiomática y el método deductivo. Unos axiomas sin ningún significado concreto originan una estructura, a partir de ellos, por un método rigurosamente deductivo, se demuestra una serie de proposiciones o teoremas, cuyo conjunto forma una teoría matemática. Pero antes de llegar al razonamiento deductivo hay que deleitarse en otro tipo de actividades. También hay que partir de un método riguroso, sencillo y verdadero. Saber es dominar en matemáticas. No se puede pasar de un concepto al siguiente sin haber dominado plenamente el anterior.

La hora de la matemática recreativa en el bachillerato actual.

Los textos de matemáticas recreativas (o la inclusión de estas en los cursos ordinarios) son tónicos excelentes que entendemos ayudan al alumno a seguir adelante. Estas matemáticas son una colección de problemas generalmente enunciados en forma de acertijos casi todos los cuales se resuelven por medio del análisis indeterminado. Muchos alumnos tienen dificultades en su aprendizaje matemático. Tales dificultades se verán multiplicadas si los profesores se empeñan en los niveles obligatorios de enseñanza de las matemáticas en explicarlas usando el método axiomático (aplicación de rigor pura y dura) Pero dicho método en 1õ y 2õ de BUP hay que usarlo con sumo cuidado.

Un nuevo concepto de la enseñanza del dibujo : Congreso Internacional sobre Didáctica de las Artes Plásticas (1. 1975. Barcelona).

El dibujo fue el primer protagonista de la escuela nueva de esas inquietudes innovadoras. Los aspectos teóricos apenas cuentan lo importante es mantener la imaginación infantil en estado puro. No es necesario acercarse al modelo, las obras maestras deben dejarse para una etapa posterior. El dibujo entra en el campo pedagógico como vehículo de comunicación infantil y como instrumento terapéutico. El dibujo cumple una función socializante muy de acuerdo con las tendencias educativas del primer cuarto de siglo XX. Pronto se convierte en preocupación general 1900-1960 etapa en la que se celebran congresos y reuniones internacionales para tratar la enseñanza del dibujo, en particular, o la enseñanza estética, en general. Desde el primer Congreso en París de 1900 se votó por la obligatoriedad de su enseñanza a todos los niveles. Es el dibujo de imitación basado en la observación y del dibujo geométrico o representación matemática exacta de las figuras. Dibujar es evaluar relaciones. En 1908 gran importancia al dibujo creativo frente al imitativo. En 1912 es establece un programa de dibujo. A partir del Congreso de 1968 la educación artística es parte integrante en la formación general del hombre. Finalmente prevalece la idea de que el educador artístico no ha de ser más que un informador de técnicas para que el dibujo no pierda su valor emocionalmente individual, pero consiga convertirse en instrumento de juicio y comunicación. Aunque estas ideas de René- Jean Clot hoy se nos quedan cortas.

La enseñanza de las matemáticas.

Se analiza la enseñanza de la materia de matemáticas a nivel de bachillerato en España. Se comienza con la enseñanza en los años cincuenta, cuando se considera que la enseñanza matemática en nuestro país parecía razonablemente sana. La Geometría ocupaba un lugar dominante, y el cálculo infinitesimal estaba bien representado. En definitiva, la información matemática general de nuestros estudiantes era incluso superior a la de muchos otros países de Europa. Pero en la década de los sesenta empieza a vislumbrarse un cambio de rumbo. EI movimiento fue bastante general. Comenzó por USA y Francia. A algunos países con una fuerte tradición de didáctica matemática, como Rusia y Hungría, nunca llegó tan radicalmente. A España llegó con algún retraso. La nueva matemática se denominó Matemática Moderna o Nueva Matemática. Algunas de sus ideas directrices fueron: que los niños entiendan desde el principio todo lo que están haciendo, por lo cual se eliminaron tablas y memorizaciones. Las consecuencias, plasmadas legalmente en nuestros programas, han sido rotundas. A nuestros niños se les enseña las operaciones con conjuntos casi antes de que sepan hablar, lo cual ha fracasado estrepitosamente. En la mayor parte de los países donde el sistema se ha implantado, el movimiento devuelta comenzó prácticamente de inmediato. En España aún se están haciendo los últimos esfuerzos por ponerlo en práctica. Ante esta problemática se plantea que hacer. Se señala que el mal ya está hecho y sus consecuencias las seguiremos sufriendo por algún tiempo, y que la corrección de rumbo de los organismos oficiales no suele ser un proceso rápido. Pero se considera que se puede tratar de catalizar la superación de esta etapa, lo que se va realizando ya con éxito en otros países. Y mientras llega la corrección oficial se sugiere que los profesores se informen suficientemente para saber lo que convendría subrayar y soslayar en nuestros programas y textos. Que piensen que la abstracción anticipada y el rigor prematuro, aparte de ser inútiles y perjudiciales, conducirán necesariamente al hastío.

Introducción analógica al estudio del movimiento armónico simple.

Se analiza el estudio del movimiento armónico simple en los niveles de Bachillerato y C0U. Se parte de la idea de que presenta serias dificultades, debido fundamentalmente a dos factores. El primero es la falta de conocimientos matemáticos, por parte del alumno, que impiden afrontar su estudio por un procedimiento deductivo a partir de la ecuación de la aceleración del movimiento. El segundo factor se encuentra en la necesidad de introducir y cuantificar nuevos conceptos como son: elongación, frecuencia o fase. En concreto se trata de augurar el estudio en la enseñanza reglada, del movimiento armónico simple de forma inductiva por comparación analógica, de las representaciones gráficas de la elongación frente al tiempo, con las funciones seno y coseno. Con él se ha tratado de evitar la asociación de este movimiento con el circular uniforme, que frecuentemente lleva al alumno a confusión. Asimismo, se busca introducir de la forma más clara posible el concepto de fase, y por último establecer una clara relación entre la ecuación matemática y el movimiento.

Lecciones de Matemática moderna.

Se recoge el programa y contenido, casi literal, del Curso de Formación del Profesorado de Enseñanza Media, junto con lecciones de Ciencias, Letras y Formación religiosa, celebrado en Zaragoza en agosto de 1963. En este curso se desarrollan las modernas estructuras matemáticas para aplicar en los programas de Bachillerato, con el fin de que los profesores de matemáticas estén formados en las nuevas corrientes. Al final de cada capítulo, se recogen los ejercicios que se propusieron en las clases prácticas desarrolladas durante el curso.

Sobre la importancia del Latín en la Enseñanza Media.

Se establecen una serie de ideas básicas con el fin de obtener un orden en el problema de la enseñanza del latín. En primer lugar, se presentan los principios fundamentales que deben regir la Enseñanza Media; en segundo lugar, se fijan qué objetivos, finalidades y alumnos puede tener la Enseñanza Media. Como objetivo de este trabajo se establece la necesidad de la matemática en la Enseñanza de Grado Medio. Y se plantea la enseñanza del latín como algo imprescindible en el Bachillerato elemental para que los jóvenes adquieran una formación intelectual antes de acceder a la Enseñanza Superior.

La fundamentación de la Matemática.

Se presenta una perspectiva de carácter histórico sobre la fundamentación de la Matemática. Se plantean algunos problemas y las soluciones a los mismos, así como, la búsqueda de conceptos y proposiciones, y la forma de operar tanto con esos conceptos como con esas proposiciones.

La Matemática comercial en el Bachillerato.

Se ha repetido hasta la saciedad que el bachillerato debe ser formativo, pero previamente debemos plantearnos que es entiende por valor formativo y está claro que todas las asignaturas tienen ese carácter formativo y no se puede discriminar unas con respecto a las otras. El tema no es valorar si una asignatura es formativa o no puesto que no va en ella, sino que depende en su mayor parte del método empleado para enseñarla. El valor formativo estará en función del método que dependerá del profesor. Un factor muy importante a tener en cuenta es el programa si se ajusta o no a la edad del alumno. En definitiva, los métodos pedagógicos, los programas y los profesores son factores influyentes en el valor formativo de una disciplina. En concreto, de los tres factores el programa es el más influyente en matemáticas y seria deseable una reducción de la materia, simplificando sus contenidos y haciéndolos más coherentes para que así, el alumno no tuviera una agobiante ocupación impuesta por el recargo excesivo de materias y programas que crean dispersión en el estudio y no les permiten la suficiente maduración de ideas. Está claro que el interés nuestro por las matemáticas comerciales reside en que no se puede permitir que un alumno que no va a volver a tener esta asignatura por ser de letras pase sin saber lo que es el interés compuesto, por ejemplo. Cuestiones y conocimientos de uso común en nuestra vida. Esto no es más que una muestra de lo prematuro que resulta el desdoblamiento en el bachillerato de alumnos que sólo tienen 14 años y no han adquirido una cultura matemática mínima. Las matemáticas comerciales son esas matemáticas básicas que utilizamos en nuestra vida diaria para cualquier tipo de transacción mercantil, bancaria, etcétera y que son necesarias para tener un mínimo de habilidades.. por ello, son necesarias en el bachiller como base para adquirir una cultura matemática mínima.

Panorama conjuntista de la Matemática elemental.

Se ha intentado ver la teoría de los conjuntos en matemáticas como algo nuevo procedente de la matemática moderna , que se puso de moda y se introdujo en esta asignatura. Pero para ver que esto no es así, queremos ver el papel que juega la teoría de los conjuntos en la matemática elemental. El armazón matemático está constituido por teoremas, definiciones, clasificaciones y postulados. En definitiva, si ponemos algún ejemplo de aritmética o de geometría y no sólo nos referiremos a los conjuntos copulativos, sino también a los conjuntos naturales disyuntivos. De lo que se trata es de demostrar que toda la matemática tiene un entramado de conjunto tan relacionado que es imposible entenderlas sin entender los conjuntos al estar cualquier elemento de la misma relacionado por categorías y subcategorías de conjuntos y subconjuntos.

Sugerencias para una ordenación en la Matemática en nuestro Bachillerato.

Ante la profunda transformación que está sufriendo la didáctica de la matemática, se proponen una serie de cuestiones a tener en cuenta para mejorar y perfeccionar la formación de los alumnos en este campo. Entre los más importantes se encuentra la masificación de las clases en el bachillerato, la necesidad de organizar los programas, horarios y textos, el perfeccionamiento del profesorado, la buena organización del seminario de profesores, y la necesidad de un buen catedrático al frente del seminario.