Existence results for elliptic equations with singular terms

Esta dissertação estuda em detalhe três problemas elípticos: (I) uma classe de equações que envolve o operador Laplaciano, um termo singular e nãolinearidade com o exponente crítico de Sobolev, (II) uma classe de equações com singularidade dupla, o expoente crítico de Hardy-Sobolev e um termo côncavo e (III) uma classe de equações em forma divergente, que envolve um termo singular, um operador do tipo Leray-Lions, e uma função definida nos espaços de Lorentz. As não-linearidades consideradas nos problemas (I) e (II), apresentam dificuldades adicionais, tais como uma singularidade forte no ponto zero (de modo que um "blow-up" pode ocorrer) e a falta de compacidade, devido à presença do exponente crítico de Sobolev (problema (I)) e Hardy-Sobolev (problema (II)). Pela singularidade existente no problema (III), a definição padrão de solução fraca pode não fazer sentido, por isso, é introduzida uma noção especial de solução fraca em subconjuntos abertos do domínio. Métodos variacionais e técnicas da Teoria de Pontos Críticos são usados para provar a existência de soluções nos dois primeiros problemas. No problema (I), são usadas uma combinação adequada de técnicas de Nehari, o princípio variacional de Ekeland, métodos de minimax, um argumento de translação e estimativas integrais do nível de energia. Neste caso, demonstramos a existência de (pelo menos) quatro soluções não triviais onde pelo menos uma delas muda de sinal. No problema (II), usando o método de concentração de compacidade e o teorema de passagem de montanha, demostramos a existência de pelo menos duas soluções positivas e pelo menos um par de soluções com mudança de sinal. A abordagem do problema (III) combina um resultado de surjectividade para operadores monótonos, coercivos e radialmente contínuos com propriedades especiais do operador de tipo Leray- Lions. Demonstramos assim a existência de pelo menos, uma solução no espaço de Lorentz e obtemos uma estimativa para esta solução.

Quasilinear elliptic systems with measure data

We study the existence of solutions of quasilinear elliptic systems involving $N$ equations and a measure on the right hand side, with the form $$\left\{\begin{array}{ll} -\sum_{i=1}^n \frac{\partial}{\partial x_i}\left(\sum\limits_{\beta=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{n}% a_{i,j}^{\alpha,\beta}\left( x,u\right)\frac{\partial}{\partial x_j}u^\beta\right)=\mu^\alpha& \mbox{ in }\Omega ,\\ u=0 & \mbox{ on }\partial\Omega, \end{array}\right.$$ where $\alpha\in\{1,\dots,N\}$ is the equation index, $\Omega$ is an open bounded subset of $\mathbb{R}^{n}$, $u:\Omega\rightarrow\mathbb{R}^{N}$ and $\mu$ is a finite Randon measure on $\mathbb{R}^{n}$ with values into $\mathbb{R}^{N}$. Existence of a solution is proved for two different sets of assumptions on $A$. Examples are provided that satisfy our conditions, but do not satisfy conditions required on previous works on this matter.

Exact and numerical solutions for diffusio-reaction equations with convection term

Esta dissertação estuda essencialmente dois problemas: (A) uma classe de equações unidimensionais de reacção-difusão-convecção em meios não uniformes (dependentes do espaço), e (B) um problema elíptico não-linear e paramétrico ligado a fenómenos de capilaridade. A Análise de Perturbação Singular e a dinâmica de Hamilton-Jacobi são utilizadas na obtenção de expressões assimptóticas para a solução (com comportamento de frente) e para a sua velocidade de propagação. Os seguintes três métodos de decomposição, Adomian Decomposition Method (ADM), Decomposition Method based on Infinite Products (DIP), e New Iterative Method (NIM), são apresentados e brevemente comparados. Adicionalmente, condições suficientes para a convergência da solução em série, obtida pelo ADM, e uma aplicação a um problema da Telecomunicações por Fibras Ópticas, envolvendo EDOs não-lineares designadas equações de Raman, são discutidas. Um ponto de vista mais abrangente que unifica os métodos de decomposição referidos é também apresentado. Para subclasses desta EDP são obtidas soluções numa forma explícita, para diferentes tipos de dados e usando uma variante do método de simetrias de Bluman-Cole. Usando Teoria de Pontos Críticos (o teorema usualmente designado mountain pass) e técnicas de truncatura, prova-se a existência de duas soluções não triviais (uma positiva e uma negativa) para o problema elíptico não-linear e paramétrico (B). A existência de uma terceira solução não trivial é demonstrada usando Grupos Críticos e Teoria de Morse.

A transmissão de conceitos matemáticos para Portugal: integrais e funções elípticas

Esta tese considera a transmissão de conceitos matemáticos para Portugal no século XIX, particularmente no campo dos Integrais Elípticos e das Funções Elípticas, tal como foi realizado no trabalho de António Zeferino Cândido. Depois de uma introdução histórica geral ao assunto no capítulo 1, o capítulo 2 estuda a vida de António Zeferino Cândido da Piedade. Ele foi, talvez, o primeiro matemático português a publicar uma tese sobre este assunto. A parte principal, isto é, o capítulo 3, é dedicada à análise do seu trabalho “Integraes e Funcções Ellipticas”. Mostra detalhes da sua abordagem baseada, não só, no livro dos autores Franceses Briot e Bouquet, mas também do autor alemão Schloemilch, o que reflecte as mudanças que ocorreram naquela época na liderança matemática na Europa.

Regulation of single exocytotic events by the cAMP signaling pathway

Permanece por esclarecer como a via de sinalização do cAMP modula a exocitose regulada. Os principais objetivos deste trabalho foram: i) avaliar o efeito do cAMP nos eventos exocitóticos, nas propriedades dos poros de fusão e na secreção hormonal; ii) perceber o impacto da sinalização por cAMP-HCN na exocitose e nas propriedades do poro de fusão; e iii) estudar as propriedades do poro de fusão na presença de um agente neurotóxico comum, como o alumínio. Lactotrofos, isolados a partir da hipófise anterior de ratos Wistar machos, foram usados como modelo celular. Os eventos unitários de fusão exocitótica e a prolactina (PRL) libertada foram avaliados, respetivamente, em ensaios eletrofisiológicos efectuados segundo a técnica de contacto hermético no modo sobre a célula aderida à pipeta porta-elétrodo e com recurso a métodos imunológicos de deteção. Os níveis intracelulares de cAMP foram aumentados por 3-isobutil-1-metilxantina (IMBX), forscolina e N6,2'-O-dibutiril adenosina- 3',5'-monofosfato cíclico (dbcAMP). A expressão dos canais HCN foi determinada por Western-blot, qRT-PCR e imunocitoquímica em combinação com microscopia confocal. Culturas primárias de lactotrofos foram também transfetadas com DNA plasmídico que codifica HCN2 juntamente com a proteína-verde-fluorescente e um agente farmacológico foi usado para avaliar o efeito de cAMP-HCN na exocitose. Observou-se que os lactotrofos responderam à forscolina e ao dbcAMP libertando PRL de um modo bifásico e dependente da concentração, uma vez que a secreção aumentou e diminuiu, respectivamente, na gama de baixas e altas concentrações. Os compostos que elevaram os níveis de cAMP aumentaram os eventos transientes e impediram a fusão completa. Além disso, o dbcAMP promoveu o aparecimento de eventos exocitóticos transientes de elevada periodicidade, cujos poros de fusão, de maior diâmetro, se mativeram abertos durante mais tempo. A expressão das quatro isoformas de HCN foi confirmada nos lactotrofos ao nível do mRNA e, tal como no coração, rim e hipófise, o mais abundante codifica a isoforma HCN2. Nos lactotrofos com sobre-expressão desta isoforma, o dbcAMP não só aumentou a frequência dos eventos transientes e a condutância dos poros, mas também a frequência dos eventos de fusão completa. Enquanto o bloqueador dos canais HCN, ZD7288, reduziu a frequência dos eventos transientes e de fusão completa desencadeados por dbcAMP e diminuiu o diâmetro dos poros de fusão. A simultânea diminuição da libertação de PRL, da frequência dos eventos transientes e do diâmetro dos poros de fusão representaram as principais alterações observados após pré-tratamento dos lactotrofos com concentração micromolar de alumínio. Em conclusão, os resultados demonstram que elevados níveis de cAMP reduzem a secreção de PRL devido à estabilização dos poros de fusão no estado de maior abertura. Além disso, a via de sinalização cAMP-HCN afecta a actividade exocitótica e modifica as propriedades dos poros de fusão, que parecem ser igualmente importantes na citotoxicidade induzida por alumínio.

Multiplicity results for some classes of Schrödinger-Poisson systems

In this thesis, we study the existence and multiplicity of solutions of the following class of Schr odinger-Poisson systems: u + u + l(x) u = (x; u) in R3; = l(x)u2 in R3; where l 2 L2(R3) or l 2 L1(R3). And we consider that the nonlinearity satis es the following three kinds of cases: (i) a subcritical exponent with (x; u) = k(x)jujp 2u + h(x)u (4 p < 2 ) under an inde nite case; (ii) a general inde nite nonlinearity with (x; u) = k(x)g(u) + h(x)u; (iii) a critical growth exponent with (x; u) = k(x)juj2 2u + h(x)jujq 2u (2 q < 2 ). It is worth mentioning that the thesis contains three main innovations except overcoming several di culties, which are generated by the systems themselves. First, as an unknown referee said in his report, we are the rst authors concerning the existence of multiple positive solutions for Schr odinger- Poisson systems with an inde nite nonlinearity. Second, we nd an interesting phenomenon in Chapter 2 and Chapter 3 that we do not need the condition R R3 k(x)ep 1dx < 0 with an inde nite noncoercive case, where e1 is the rst eigenfunction of +id in H1(R3) with weight function h. A similar condition has been shown to be a su cient and necessary condition to the existence of positive solutions for semilinear elliptic equations with inde nite nonlinearity for a bounded domain (see e.g. Alama-Tarantello, Calc. Var. PDE 1 (1993), 439{475), or to be a su cient condition to the existence of positive solutions for semilinear elliptic equations with inde nite nonlinearity in RN (see e.g. Costa-Tehrani, Calc. Var. PDE 13 (2001), 159{189). Moreover, the process used in this case can be applied to study other aspects of the Schr odinger-Poisson systems and it gives a way to study the Kirchho system and quasilinear Schr odinger system. Finally, to get sign changing solutions in Chapter 5, we follow the spirit of Hirano-Shioji, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 137 (2007), 333, but the procedure is simpler than that they have proposed in their paper.

Ecology and conservation of felids in the Brazilian pantanal

Habitat conversion and environmental degradation have reached alarming levels in the Pantanal, endangering all its biodiversity. This scenario is complicated by the fact that the biome relies on only a few protected areas, which combined do not exceed 10% of the territory. Felids, as predators, play a vital role in the maintenance of this ecosystem, but require large areas, have low population densities and, typically, are very sensitive to environmental disturbances. Amolar Mountain Ridge is considered an area of extreme importance and high priority for conservation within the biome. There are four species of felids in this region: the jaguar (Panthera onca), the puma (Puma concolor), the ocelot (Leopardus pardalis), and jaguarundi (Puma yagouaroundi). However, little is known about the ecology of these species in this region or the magnitude of interaction between the communities living around the protected areas and the animals. The goal of this study was to increase our knowledge about these felids and understand how people interact with them in order to contribute to their conservation in the network of parks within Amolar. Camera trapping surveys were carried out in two areas of the network, covering approximately 83,000 hectares, in order to identify the species of mammals occurring in the region, those that may be potential prey for the felids, and to obtain basic ecological data about both felids and prey. In addition, we conducted surveys in three riverside schools in order to assess the knowledge, perceptions and attitudes of schoolchildren regarding the four focal felids, and surveys among the adult population to assess their perceptions and attitudes towards the jaguar. We recorded a total of 33 species of mammals from both study areas. The large cats were cathemeral, reflecting the temporal activity of larger prey, whereas the ocelot was nocturnal, mirroring the activity of smaller prey. Jaguar occupancy was influenced by prey abundance, while puma occupancy was influenced by patch density in drier dense forest. Jaguars and pumas may be competitors over temporal and spatial scales, while no resource overlap was found for ocelots. Overall, both adults and children tended to have negative perceptions about the cats, which were related to the fear of being attacked. To increase awareness about the species and to maximize the effectiveness of protective measures in the network of reserves, it is recommended to develop and implement an Environmental Educational Program in the medium- to long-term in order to minimize the fear of these felids and to counsel locals on the role of felids in the maintenance of the Pantanal’s biodiversity.