A study of singular integral operators with shift

Nesta tese, consideram-se operadores integrais singulares com a acção extra de um operador de deslocacamento de Carleman e com coeficientes em diferentes classes de funções essencialmente limitadas. Nomeadamente, funções contínuas por troços, funções quase-periódicas e funções possuíndo factorização generalizada. Nos casos dos operadores integrais singulares com deslocamento dado pelo operador de reflexão ou pelo operador de salto no círculo unitário complexo, obtêm-se critérios para a propriedade de Fredholm. Para os coeficientes contínuos, uma fórmula do índice de Fredholm é apresentada. Estes resultados são consequência das relações de equivalência explícitas entre aqueles operadores e alguns operadores adicionais, tais como o operador integral singular, operadores de Toeplitz e operadores de Toeplitz mais Hankel. Além disso, as relações de equivalência permitem-nos obter um critério de invertibilidade e fórmulas para os inversos laterais dos operadores iniciais com coeficientes factorizáveis. Adicionalmente, aplicamos técnicas de análise numérica, tais como métodos de colocação de polinómios, para o estudo da dimensão do núcleo dos dois tipos de operadores integrais singulares com coeficientes contínuos por troços. Esta abordagem permite também a computação do inverso no sentido Moore-Penrose dos operadores principais. Para operadores integrais singulares com operadores de deslocamento do tipo Carleman preservando a orientação e com funções contínuas como coeficientes, são obtidos limites superiores da dimensão do núcleo. Tal é implementado utilizando algumas estimativas e com a ajuda de relações (explícitas) de equivalência entre operadores. Focamos ainda a nossa atenção na resolução e nas soluções de uma classe de equações integrais singulares com deslocamento que não pode ser reduzida a um problema de valor de fronteira binomial. De forma a atingir os objectivos propostos, foram utilizadas projecções complementares e identidades entre operadores. Desta forma, as equações em estudo são associadas a sistemas de equações integrais singulares. Estes sistemas são depois analisados utilizando um problema de valor de fronteira de Riemann. Este procedimento tem como consequência a construção das soluções das equações iniciais a partir das soluções de problemas de valor de fronteira de Riemann. Motivados por uma grande diversidade de aplicações, estendemos a definição de operador integral de Cauchy para espaços de Lebesgue sobre grupos topológicos. Assim, são investigadas as condições de invertibilidade dos operadores integrais neste contexto.

Diversidade linguística e desenvolvimento profissional de professores: um estudo no 1º ciclo do ensino básico

O estudo apresentado centra-se em duas temáticas fundamentais: o desenvolvimento profissional docente e a sensibilização à diversidade linguística e cultural nos primeiros anos de escolaridade. Assim, entende-se o desenvolvimento profissional de professores, por um lado, como um processo contínuo e em permanente (re)construção que se inscreve na prática docente e que precisa de a ter como referente e, por outro, como um processo que se expande numa visão da educação onde cabe a abordagem de diferentes línguas como espaço de promoção do respeito e da valorização da diversidade linguística e cultural, do plurilinguismo como valor e competência e de uma educação para a cidadania mais global e mais plural. Este estudo procura analisar o contributo da participação em projetos de sensibilização à diversidade linguística e cultural no 1º Ciclo do Ensino Básico para o desenvolvimento profissional de professores generalistas. Para o efeito, analisaram-se dois grupos de professoras generalistas que participaram em dois projetos diferentes durante o ano letivo de 2008/2009. Num grupo, as professoras, pertencendo à mesma escola, observaram práticas de sala de aula planificadas e desenvolvidas nas suas turmas por uma professora/investigadora. No outro, as docentes integraram uma oficina de formação que decorreu na instituição de Ensino Superior e que tinha como finalidade preparar professores de vários níveis de ensino para o desenvolvimento de uma educação em línguas promotora do plurilinguismo. Neste contexto, as professoras que integravam este grupo planificaram e desenvolveram projetos de investigação-ação, em conjunto com as formadoras/investigadoras, implementando práticas de sensibilização à diversidade linguística e cultural com os seus alunos e recolhendo dados dessas mesmas práticas. Em ambos os contextos analisados, os dados foram recolhidos através de um inquérito por questionário e uma reflexão individual de caracterização escrita por todas as professoras participantes no estudo. Foram ainda realizados um inquérito por entrevista a cada professora e uma sessão de focus group com todas as docentes. A investigadora participou sempre nos momentos de trabalho conjunto, estando como observadora direta. A análise dos dados seguiu uma metodologia de natureza qualitativa, assente numa perspetiva interpretativo-fenomenológica, que permitiu aceder ao conhecimento das professoras envolvidas no estudo sobre si, sobre a profissão, sobre o currículo e sobre o contexto de trabalho. O estudo desenvolvido permitiu concluir que importa criar espaços de formação que assentem num acompanhamento sistemático aos professores, tendo em conta os seus contextos específicos de trabalho. Os resultados evidenciaram que percursos de formação baseados na articulação teoria e prática, na partilha e discussão com outros profissionais e no contacto com práticas concretas de sala de aula permitem que os professores desenvolvam uma atitude mais reflexiva e crítica, adquirindo uma maior consciência de si e do papel que desempenham na escola e na sociedade atuais. Finalmente, este trabalho de investigação revelou ainda que o envolvimento em projetos de sensibilização à diversidade linguística e cultural contribui para que os professores se sintam protagonistas de uma gestão curricular que, através de uma educação em línguas mais plural, promove valores de cidadania e de justiça social desde os primeiros anos de escolaridade.

Multiplicity results for some classes of Schrödinger-Poisson systems

In this thesis, we study the existence and multiplicity of solutions of the following class of Schr odinger-Poisson systems: u + u + l(x) u = (x; u) in R3; = l(x)u2 in R3; where l 2 L2(R3) or l 2 L1(R3). And we consider that the nonlinearity satis es the following three kinds of cases: (i) a subcritical exponent with (x; u) = k(x)jujp 2u + h(x)u (4 p < 2 ) under an inde nite case; (ii) a general inde nite nonlinearity with (x; u) = k(x)g(u) + h(x)u; (iii) a critical growth exponent with (x; u) = k(x)juj2 2u + h(x)jujq 2u (2 q < 2 ). It is worth mentioning that the thesis contains three main innovations except overcoming several di culties, which are generated by the systems themselves. First, as an unknown referee said in his report, we are the rst authors concerning the existence of multiple positive solutions for Schr odinger- Poisson systems with an inde nite nonlinearity. Second, we nd an interesting phenomenon in Chapter 2 and Chapter 3 that we do not need the condition R R3 k(x)ep 1dx < 0 with an inde nite noncoercive case, where e1 is the rst eigenfunction of +id in H1(R3) with weight function h. A similar condition has been shown to be a su cient and necessary condition to the existence of positive solutions for semilinear elliptic equations with inde nite nonlinearity for a bounded domain (see e.g. Alama-Tarantello, Calc. Var. PDE 1 (1993), 439{475), or to be a su cient condition to the existence of positive solutions for semilinear elliptic equations with inde nite nonlinearity in RN (see e.g. Costa-Tehrani, Calc. Var. PDE 13 (2001), 159{189). Moreover, the process used in this case can be applied to study other aspects of the Schr odinger-Poisson systems and it gives a way to study the Kirchho system and quasilinear Schr odinger system. Finally, to get sign changing solutions in Chapter 5, we follow the spirit of Hirano-Shioji, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 137 (2007), 333, but the procedure is simpler than that they have proposed in their paper.