A study of singular integral operators with shift

Nesta tese, consideram-se operadores integrais singulares com a acção extra de um operador de deslocacamento de Carleman e com coeficientes em diferentes classes de funções essencialmente limitadas. Nomeadamente, funções contínuas por troços, funções quase-periódicas e funções possuíndo factorização generalizada. Nos casos dos operadores integrais singulares com deslocamento dado pelo operador de reflexão ou pelo operador de salto no círculo unitário complexo, obtêm-se critérios para a propriedade de Fredholm. Para os coeficientes contínuos, uma fórmula do índice de Fredholm é apresentada. Estes resultados são consequência das relações de equivalência explícitas entre aqueles operadores e alguns operadores adicionais, tais como o operador integral singular, operadores de Toeplitz e operadores de Toeplitz mais Hankel. Além disso, as relações de equivalência permitem-nos obter um critério de invertibilidade e fórmulas para os inversos laterais dos operadores iniciais com coeficientes factorizáveis. Adicionalmente, aplicamos técnicas de análise numérica, tais como métodos de colocação de polinómios, para o estudo da dimensão do núcleo dos dois tipos de operadores integrais singulares com coeficientes contínuos por troços. Esta abordagem permite também a computação do inverso no sentido Moore-Penrose dos operadores principais. Para operadores integrais singulares com operadores de deslocamento do tipo Carleman preservando a orientação e com funções contínuas como coeficientes, são obtidos limites superiores da dimensão do núcleo. Tal é implementado utilizando algumas estimativas e com a ajuda de relações (explícitas) de equivalência entre operadores. Focamos ainda a nossa atenção na resolução e nas soluções de uma classe de equações integrais singulares com deslocamento que não pode ser reduzida a um problema de valor de fronteira binomial. De forma a atingir os objectivos propostos, foram utilizadas projecções complementares e identidades entre operadores. Desta forma, as equações em estudo são associadas a sistemas de equações integrais singulares. Estes sistemas são depois analisados utilizando um problema de valor de fronteira de Riemann. Este procedimento tem como consequência a construção das soluções das equações iniciais a partir das soluções de problemas de valor de fronteira de Riemann. Motivados por uma grande diversidade de aplicações, estendemos a definição de operador integral de Cauchy para espaços de Lebesgue sobre grupos topológicos. Assim, são investigadas as condições de invertibilidade dos operadores integrais neste contexto.

In this thesis we consider singular integral operators with the extra action of a Carleman shift operator and having coefficients on different classes of essentially bounded functions. Namely, continuous, piecewise continuous, semi-almost periodic and generalized factorable functions. In the cases of the singular integral with shift action given by the reflection or the flip operator on the complex unit circle, we obtain a Fredholm criteria and, for the continuous coefficients case, an index formula is also provided. These results are consequence of explicit equivalence operator relations between those operators and some extra operators such as pure singular integral, Toeplitz and Toeplitz plus Hankel operators. Furthermore, the equivalence relations allow us to give an invertibility criterion and formulas for the left-sided and right-sided inverses of the initial operators with generalized factorable coefficients. In addition, we apply numerical analysis techniques, as polynomial collocation methods, for the study of the kernel dimension of these two kinds of singular integral operators with piecewise continuous coefficients. This approach also permits us to compute the Moore-Penrose inverse of the main operators. For singular integral operators with generic preserving-orientation Carleman shift operators and continuous functions as coefficients, upper bounds for the kernel dimensions are obtained. This is implemented by using some estimations which are derived with the help of certain explicit operator relations. We also focus our attention to the solvability, and the solutions, of a class of singular integral equations with shift which cannot be reduced to a binomial boundary value problem. To attain our goals, some complementary projections and operator identities are used. In this way, the equations under study are associated with systems of pure singular integral equations. These systems will be then analyzed by means of a corresponding Riemann boundary value problem. As a consequence of such a procedure, the solutions of the initial equations are constructed from the solutions of Riemann boundary value problems. Motivated by a large diversity of applications, we extend the definition of Cauchy integral operator to the framework of Lebesgue spaces on topological groups. Thus, invertibility conditions for paired operators in this setting are investigated.

Doutoramento em Matemática

FCT - SFRH/BD/30679/2006

SFRH/BD/30679/2006