Convex Quadratic Programming Approach to the Maximum Matching Problem

The problem of determining a maximum matching or whether there exists a perfect matching, is very common in a large variety of applications and as been extensively studied in graph theory. In this paper we start to introduce a characterisation of a family of graphs for which its stability number is determined by convex quadratic programming. The main results connected with the recognition of this family of graphs are also introduced. It follows a necessary and sufficient condition which characterise a graph with a perfect matching and an algorithmic strategy, based on the determination of the stability number of line graphs, by convex quadratic programming, applied to the determination of a perfect matching. A numerical example for the recognition of graphs with a perfect matching is described. Finally, the above algorithmic strategy is extended to the determination of a maximum matching of an arbitrary graph and some related results are presented.

Implicit optimality criterion for convex SIP problem with box constrained index set

We consider a convex problem of Semi-Infinite Programming (SIP) with multidimensional index set. In study of this problem we apply the approach suggested in [20] for convex SIP problems with one-dimensional index sets and based on the notions of immobile indices and their immobility orders. For the problem under consideration we formulate optimality conditions that are explicit and have the form of criterion. We compare this criterion with other known optimality conditions for SIP and show its efficiency in the convex case.

Existência de minimizantes relaxados e fenómeno de Lavrentiev

Neste trabalho prova-se a existência de minimizantes relaxados em problemas de controlo óptimo não convexos usando técnicas de compactificação. Faz-se a extensão do exemplo de Manià a dimensão dois, obtendo-se uma classe de problemas variacionais em 2D que apresentam Fenómeno de Lavrentiev. Prova-se que o fenómeno persiste a certas perturbações, obtendo- -se assim uma classe de funcionais cujos Lagrangianos são coercivos e convexos em relação ao gradiente. Adicionalmente, apresentam-se exemplos de problemas do cálculo das variações com diferentes condições de fronteira, e em diferentes tipos de domínios (incluindo domínios com fronteira fractal), que exibem Fenómeno de Lavrentiev.

Limited range coverage problems

Tal como o título indica, esta tese estuda problemas de cobertura com alcance limitado. Dado um conjunto de antenas (ou qualquer outro dispositivo sem fios capaz de receber ou transmitir sinais), o objectivo deste trabalho é calcular o alcance mínimo das antenas de modo a que estas cubram completamente um caminho entre dois pontos numa região. Um caminho que apresente estas características é um itinerário seguro. A definição de cobertura é variável e depende da aplicação a que se destina. No caso de situações críticas como o controlo de fogos ou cenários militares, a definição de cobertura recorre à utilização de mais do que uma antena para aumentar a eficácia deste tipo de vigilância. No entanto, o alcance das antenas deverá ser minimizado de modo a manter a vigilância activa o maior tempo possível. Consequentemente, esta tese está centrada na resolução deste problema de optimização e na obtenção de uma solução particular para cada caso. Embora este problema de optimização tenha sido investigado como um problema de cobertura, é possível estabelecer um paralelismo entre problemas de cobertura e problemas de iluminação e vigilância, que são habitualmente designados como problemas da Galeria de Arte. Para converter um problema de cobertura num de iluminação basta considerar um conjunto de luzes em vez de um conjunto de antenas e submetê-lo a restrições idênticas. O principal tema do conjunto de problemas da Galeria de Arte abordado nesta tese é a 1-boa iluminação. Diz-se que um objecto está 1-bem iluminado por um conjunto de luzes se o invólucro convexo destas contém o objecto, tornando assim este conceito num tipo de iluminação de qualidade. O objectivo desta parte do trabalho é então minimizar o alcance das luzes de modo a manter uma iluminação de qualidade. São também apresentadas duas variantes da 1-boa iluminação: a iluminação ortogonal e a boa !-iluminação. Esta última tem aplicações em problemas de profundidade e visualização de dados, temas que são frequentemente abordados em estatística. A resolução destes problemas usando o diagrama de Voronoi Envolvente (uma variante do diagrama de Voronoi adaptada a problemas de boa iluminação) é também proposta nesta tese.

Problems of minimal aerodynamic resistance

Nesta tese estamos preocupados com o problema da resistência mínima primeiro dirigida por I. Newton em seu Principia (1687): encontrar o corpo de resistência mínima que se desloca através de um médio. As partículas do médio não interagem entre si, bem como a interação das partículas com o corpo é perfeitamente elástica. Diferentes abordagens desse modelo foram feitas por vários matemáticos nos últimos 20 anos. Aqui damos uma visão geral sobre estes resultados que representa interesse independente, uma vez que os autores diferentes usam notações diferentes. Apresentamos uma solução do problema de minimização na classe de corpos de revolução geralmente não convexos e simplesmente conexos. Acontece que nessa classe existem corpos com resistência menor do que o mínimo da resistência na classe de corpos convexos de revolução. Encontramos o infimum da resistência nesta classe e construimos uma sequência regular de corpos que aproxima este infimum. Também apresentamos um corpo de resistência nula. Até agora ninguém sabia se tais corpos existem ou não, evidentemente o nosso corpo não pertence a nenhuma classe anteriormente analisado. Este corpo é não convexo e não simplesmente conexo; a forma topológica dele é um toro, parece um UFO extraterrestre. Apresentamos aqui várias famílias de tais corpos e estudamos as suas propriedades. Também apresentamos um corpo que é natural de chamar um corpo "invisíveis em uma direção", uma vez que a trajectória de cada partícula com a certa direcção coincide com a linha recta fora do invólucro convexo do corpo. ABSTRACT: In this thesis we are concerned with the problem of minimal resistance first addressed by I. Newton in his Principia (1687): find the body of minimal resistance moving through a medium. The medium particles do not mutually interact, and the interaction of particles with the body is perfectly elastic. Different approaches to that model have been tried by several mathematicians during the last 20 years. Here we give an overview of these results that represents interest in itself since all authors use different notations. We present a solution of the minimization problem in the class of generally non convex, simply connected bodies of revolution. It happens that in this class there are bodies with smaller resistance than the minimum in the class of convex bodies of revolution. We find the infimum of the resistance in this class, and construct a sequence of bodies which approximates this infimum. Also we present a body of zero resistance. Since earlier it was unknown if such bodies exists or not, evidently our body does not belong to any class previously examined. The zero resistance body found by us is non-convex and non-simply connected; topologically it is a torus, and it looks like an extraterrestrial UFO. We present here several families of such bodies and study their properties. We also present a body which is natural to call a body "invisible in one direction", since the trajectory of each particle with the given direction, outside the convex hull of the body, coincides with a straight line.

Majorantes para a ordem de subgrafos induzidos k-regulares

Muitos dos problemas de otimização em grafos reduzem-se à determinação de um subconjunto de vértices de cardinalidade máxima que induza um subgrafo k-regular. Uma vez que a determinação da ordem de um subgrafo induzido k-regular de maior ordem é, em geral, um problema NP-difícil, são deduzidos novos majorantes, a determinar em tempo polinomial, que em muitos casos constituam boas aproximações das respetivas soluções ótimas. Introduzem-se majorantes espetrais usando uma abordagem baseada em técnicas de programação convexa e estabelecem-se condições necessárias e suficientes para que sejam atingidos. Adicionalmente, introduzem-se majorantes baseados no espetro das matrizes de adjacência, laplaciana e laplaciana sem sinal. É ainda apresentado um algoritmo não polinomial para a determinação de umsubconjunto de vértices de umgrafo que induz umsubgrafo k-regular de ordem máxima para uma classe particular de grafos. Finalmente, faz-se um estudo computacional comparativo com vários majorantes e apresentam-se algumas conclusões.

Polyhedral study of mixed integer sets arising from inventory problems

“Branch-and-cut” algorithm is one of the most efficient exact approaches to solve mixed integer programs. This algorithm combines the advantages of a pure branch-and-bound approach and cutting planes scheme. Branch-and-cut algorithm computes the linear programming relaxation of the problem at each node of the search tree which is improved by the use of cuts, i.e. by the inclusion of valid inequalities. It should be taken into account that selection of strongest cuts is crucial for their effective use in branch-and-cut algorithm. In this thesis, we focus on the derivation and use of cutting planes to solve general mixed integer problems, and in particular inventory problems combined with other problems such as distribution, supplier selection, vehicle routing, etc. In order to achieve this goal, we first consider substructures (relaxations) of such problems which are obtained by the coherent loss of information. The polyhedral structure of those simpler mixed integer sets is studied to derive strong valid inequalities. Finally those strong inequalities are included in the cutting plane algorithms to solve the general mixed integer problems. We study three mixed integer sets in this dissertation. The first two mixed integer sets arise as a subproblem of the lot-sizing with supplier selection, the network design and the vendor-managed inventory routing problems. These sets are variants of the well-known single node fixed-charge network set where a binary or integer variable is associated with the node. The third set occurs as a subproblem of mixed integer sets where incompatibility between binary variables is considered. We generate families of valid inequalities for those sets, identify classes of facet-defining inequalities, and discuss the separation problems associated with the inequalities. Then cutting plane frameworks are implemented to solve some mixed integer programs. Preliminary computational experiments are presented in this direction.

Random extremal solutions of differential inclusions

Given a Lipschitz continuous multifunction $F$ on ${\mathbb{R}}^{n}$, we construct a probability measure on the set of all solutions to the Cauchy problem $\dot x\in F(x)$ with $x(0)=0$. With probability one, the derivatives of these random solutions take values within the set $ext F(x)$ of extreme points for a.e.~time $t$. This provides an alternative approach in the analysis of solutions to differential inclusions with non-convex right hand side.