Construcción de actividades basadas en los acercamientos de la civilización China a la noción de aproximación

A partir de la historia de la matemática se pueden diseñar actividades que favorezcan la formación humanística y matemática de nuestros estudiantes. En este caso se presentan algunos acercamientos de la civilización China a la noción de aproximación, y con base en estos se muestra parte de una actividad que busca fortalecer la comprensión de esta noción básica del cálculo. Este trabajo es un producto parcial del grupo de estudio en Historia de la Matemática del Departamento de Matemáticas del Colegio Gimnasio Moderno. En este momento el grupo centra su atención en el estudio de desarrollos históricos que estén relacionados con nociones básicas del Cálculo como aproximación, variación, optimización y predicción; así como en el diseño de actividades que favorezcan la comprensión de estas nociones. La razón por la cual nos interesa el Cálculo, es porque es una de las áreas de la matemática que mayor dificultad presenta a los estudiantes, ya que sus conceptos se basan en nociones de inexactitud y cambio que evidentemente chocan con la concepción tradicional de la matemática como una ciencia exacta. Por ejemplo, la comprensión del concepto de límite en un sentido riguroso es extremadamente difícil y casi imposible para los estudiantes debido a que la noción en la que se sustenta, la aproximación, produce tal incertidumbre que los mismos profesores la han expulsado de aquella variedad de nociones básicas que deben ser enseñadas en la escuela. Pero además, la estructura conceptual de ésta noción es tan compleja, que requiere de un tiempo prolongado y del uso de diferentes vías didácticas para ser plenamente comprendida (García et al., 2002). Haciendo un estudio de los desarrollos matemáticos de la civilización China nos encontramos con que en ella se establecieron algunos procedimientos de aproximación para calcular áreas de regiones curvilíneas, así como un método para aproximar tanto como se quiera la raíz cuadrada de un número; también obtuvieron la fórmula del volumen de la esfera por un método que antecede a la técnica de Cavalieri en doce siglos aproximadamente. Este taller pretende por una parte, mostrar los acercamientos de la civilización China a algunas nociones básicas del cálculo, específicamente la aproximación y la variación; así como hacer evidente la presencia de procesos infinitos en algunos desarrollos matemáticos de esta civilización. Por otra parte, busca presentar algunas actividades diseñadas desde una perspectiva histórica, es decir, un diseño que resalta la dimensión humana del conocimiento matemático, sus conexiones con otros ámbitos de la cultura, el contexto en el que nace y evoluciona, y por supuesto, que busca fortalecer la formación matemática de nuestros estudiantes. En la primera sesión, mostraremos los acercamientos a las nociones básicas de aproximación y/o variación de la civilización China. En la segunda sesión presentaremos algunas actividades inspiradas en los desarrollos de las civilizaciones anteriormente mencionadas.

La conjeturación en resolución de problemas desde una perspectiva sociocultural, dentro del contexto de pensamiento matemático avanzado: un estudio de caso

En este trabajo, los autores se cuestionan el surgimiento de una conjetura en la resolución de un problema en el contexto del pensamiento matemático avanzado, en una comunidad de práctica de estudiantes para profesor de matemáticas. Mediante una investigación de diseño, se logró concluir que las refutaciones e interacciones que se dan de forma individual y dentro de las comunidades de aprendizaje, permiten que las intuiciones se movilicen, estableciendo un lenguaje común y una empresa compartida (Wegner, 2001), en la resolución de problemas.

Desarrollo del conocimiento didáctico de los futuros profesores de matemáticas: el caso de la estructura conceptual y los sistemas de representación

Presentamos los primeros resultados de un estudio exploratorio sobre el desarrollo del conocimiento didáctico de futuros profesores de matemáticas con respecto a las nociones de estructura conceptual y sistemas de representación. Estos resultados se obtuvieron al codificar y analizar las grabaciones de clase y las producciones de estudiantes del último curso de Matemáticas en una asignatura de didáctica de las matemáticas. Se encontró que las producciones y las actuaciones de los alumnos pasan por diferentes estados que permiten identificar tanto algunas dificultades, como momentos en los que surgen reorganizaciones conceptuales.

Humans-with-Media en la producción de conocimiento matemático. El caso de Geogebra

Este documento se usa el constructo teórico Humans-with-Media para analizar una situación construida con el software Geogebra. La situación muestra un posible entendimiento de la función derivada a partir del reconocimiento de la “función tasa de variación”.

Aprender es participar. El caso de la demostración en geometría euclidia

Expongo una conceptualización de aprendizaje desde la teoría de la práctica social que se concreta en una propuesta sobre cómo ver el aprendizaje de la demostración en geometría euclidiana plana. Las ideas se ilustran con fragmentos de la actividad académica realizada por estudiantes de segundo semestre de Licenciatura en Matemáticas. La conferencia está dirigida a futuros profesores, profesores de matemáticas de secundaria y formadores de docentes.

El pensamiento variacional en los libros de texto de matemáticas: el caso de las relaciones trigonométricas

En el presente documento reportamos parte de los resultados obtenidos de una investigación que centró su atención en el estudio de algunos tópicos de la trigonometría plana presente en los libros de texto de matemáticas de la educación media (15-18 años). En particular, nos propusimos interpretar la manera en que los libros de texto de matemáticas ponen de relieve los aspectos variacionales en estos tópicos. A través de la técnica del análisis de contenido pudimos observar que generalmente esta temática se desarrolla a través de expresiones algebraicas para calcular “datos fijos y desconocidos” de un triángulo; los resultados del estudio muestran que la necesidad de diseñar propuestas alternativas, en las cuales se haga hincapié en la visualización de relaciones “dinámicas” y funcionales entre los ángulos y los lados de un triángulo.

Objetivación del conocimiento matemático: el caso de la función y el caso de la parábola

Es nuestro interés en este curso discutir algunos aspectos teóricos y metodológicos relativos a la objetivación del conocimiento matemático, específicamente el relacionado con el concepto de función y con el concepto de parábola. Haremos esta discusión desde algunos resultados obtenidos de la investigación “El conocimiento matemático: desencadenador de interrelaciones en la aula de clase”. En dicho estudio empleamos una metodología a la luz del paradigma cualitativo, bajo un enfoque crítico-dialéctico y desde una investigación colaborativa. Nos apoyamos teóricamente en autores que asumen una perspectiva sociocultural de la Educación y de la Educación Matemática, por ejemplo, Bajtin (2004, 2009), Caraça (1984), Moura (2001, 2010) y Radford (2004, 2006, 2008). Este estudio nos posibilitó comprender, entre otras ideas, que los conceptos que cada alumno objetivó con respecto al objeto función y al objeto parábola no fueron únicos; como no pueden serlo el proceso de objetivación, ni los conceptos mismos.

El desarrollo del pensamiento algebraico: la visualización en el caso de los patrones

En este trabajo, presentamos los resultados de investigación de una tesis de maestría realizada en México. Nuestro objetivo fue indagar cómo los estudiantes del Nivel Medio Superior, analizan secuencias de crecimiento visual, con base en representaciones gráficas, así como la forma en que expresan algebraicamente el patrón que subyace a una secuencia; teniendo como supuesto que el análisis visual organizado de las secuencias puede contribuir a la detección, formulación y generalización de patrones. Con base en nuestros resultados, afirmamos que la visualización juega diferentes papeles dentro del proceso de generalización, los cuales identificamos y clasificamos a la luz de la Teoría de la Objetivación y la Teoría de la Representaciones Semióticas. Proponemos una herramienta para discutir el papel y funcionamiento de la visualización en la generalización de patrones.

Un estudio de investigaciones cognitivas acerca del concepto de límite. El caso de habla hispana

En este trabajo se reportan resultados de investigaciones sobre el concepto de límite, particularmente aquellas centradas en el aspecto cognitivo, y estos, tanto en el nivel medio superior como en el nivel superior. Estas investigaciones las clasificamos en tres grupos: las que tratan el preconcepto de límite, sobre las concepciones que se tienen del concepto de límite y las que reportan dificultades al tratamiento del concepto de límite. Algunos de los resultados de estas investigaciones es que el preconcepto está asociado a “una barrera no rebasable”; en cuanto a las concepciones sobre el concepto están las que se relacionan con “valor inalcanzable”, “como aproximación”, entre otras; y algunas dificultades como al redactar la definición del límite.

Aceptación y/o rechazo al uso de las tecnologías en el aula. Caso: profesor de matemáticas

El objetivo principal de este trabajo surge por la inquietud de estudiantes y profesores de Institutos de Educación Universitaria en Venezuela (Universidad Simón Bolívar, Universidad Nacional Abierta, Universidad Nacional Experimental de las Fuerzas Armadas, Universidad Pedagógica, entre otras); así como también los comentarios de algunos colegas de Universidades en Costa Rica y República Dominicana, donde se observa con gran preocupación el rechazo que presentan y plantean muchos profesores en el área de las matemáticas al uso e implementación de las tecnologías en sus programas y contenidos programáticos. Luego de realizar los estudios y corroborar el grado de analfabetismo tecnológico existente en los profesores de matemática, se consideraron elaborar cursos, diplomados y talleres para involucrar a nuestros docentes en el uso de las tecnologías.

La complejidad del aprendizaje de los conceptos figúrales, el caso de los puntos

Consideramos en este trabajo la necesidad de observar el proceso a través del cual los estudiantes enajenan las propiedades conceptuales de la representación gráfica y sus componentes figurales. Propusimos a 149 estudiantes de bachillerato, un cuestionario en el que se solicita localizar puntos con base en propiedades relacionadas en sus ordenadas y sus abscisas; habiendo constatado que los estudiantes localizan puntos sobre el plano bajo las normas analíticas, les proponemos identificar los puntos de una gráfica que tienen mayor ordenada o abscisa que los demás. En particular, deseamos saber, cuáles consideran nuestros estudiantes que son los “puntos” sobre la gráfica, las marcas colocadas al inicio y al final de la gráfica en forma de pequeños círculos, o el rasgo determinado por su posición definida.

Construcciones geométricas: de la intuición a la formalización. El caso de las cónicas

Nuestra propuesta, la cual es resultado de una investigación en proceso, se encuentra inserta en el nivel Medio Superior y es relativa a la Geometría Analítica, específicamente a la construcción de las cónicas. Se nutre del plegado de papel y del uso de un software de geometría dinámica (Cabri Geomètre II) como recursos didácticos. Su referencia teórica está basada en los niveles del razonamiento geométrico de Van Hiele. Caracterizamos, así, la construcción geométrica en tres momentos: la intuición a través del plegado de papel; la visualización vía un software de geometría dinámica como herramienta didáctica argumentativa; y por último formalizando las argumentaciones y conjeturas establecidas al analizar las cónicas vía la técnica del Debate Científico.

La práctica de la simulación en la solución de problemas de probabilidad: el caso de los estudiantes del nivel medio superior

En este trabajo en proceso presentamos los resultados de la primera fase de nuestra investigación (análisis preliminar), que pretende reconocer a la práctica o la estrategia de la simulación que realizan los estudiantes al momento de resolver problemas de probabilidad y con ello las cuestiones en probabilidad será de gran sencillez teniendo a la herramienta de la simulación. En ello sostenemos que la práctica de la simulación enriquece al conocimiento matemático del ser humano y en particular a la probabilidad.

La construcción social de saberes matemáticos. El caso del tratamiento de la información

Este trabajo centra su atención en la construcción de saberes matemáticos en un ambiente de colaboración, en el que se privilegia la interacción entre los participantes, la confrontación y la negociación. Se hace una descripción de la problemática que se vive en el aprendizaje de las matemáticas y de la necesidad de innovar a través de situaciones donde el contenido matemático es relevante para el alumno y la sociedad. De igual modo se hace una descripción sucinta acerca de que esta manera de construir saberes incluye el desarrollo de competencias matemáticas, las consideradas en el plan de estudio de educación secundaria 2006. Esta descripción contiene actividades para un taller considerando el eje sobre el manejo de la información y una versión de principios para orientar su ejecución.

Caracterización de objetivos de aprendizaje mediante secuencias de capacidades: el caso de las permutaciones

En esta comunicación presentamos la forma como resumimos todos los posibles caminos de aprendizaje considerados para el desarrollo de dos tareas. Las dos tareas pretenden contribuir al logro de un objetivo de aprendizaje: resolver problemas que implican permutaciones sin repetición. Exponemos algunas expectativas de aprendizaje planteadas en términos de capacidades y errores y organizamos esas expectativas por medio de caminos de aprendizaje. Analizamos los caminos de aprendizaje resumiendo las estrategias de solución mediante secuencias de capacidades. Finalmente, analizamos la contribución de las tareas al logro del objetivo.