Enseñanza de la noción de límite a través de fractales

Diversas investigaciones han mostrado la dificultad que existe en el proceso de enseñanza aprendizaje del concepto de límite; más aún cuando este presenta diversos obstáculos (geométrico, horror al infinito, relativo a funciones y ligado al símbolo)que deben ser superados en su totalidad para aprender dicho concepto. De esta manera, el presente trabajo pretende mostrar cómo desde un contexto geométrico se hace uso de los fractales, específicamente del fractal “árbol pitagórico”, el cual se propone durante tres sesiones de clase en estudiantes de grado undécimo para ir construyendo la noción de límite. En este sentido, se busca promover un aprendizaje más dinámico y autónomo, donde el estudiante tenga un contacto directo con la construcción de dicho concepto.

La comprensión del concepto de continuidad en el marco de la teoría de Pirie y Kieren

La mayoría de personas involucradas directa o indirectamente con la Educación Matemática estamos de acuerdo en que la comprensión de conceptos es el aspecto más relevante en la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas. Nuestro objetivo es diseñar y aplicar una entrevista semiestructurada de carácter socrático, para describir cómo comprenden el concepto de Continuidad cuatro estudiantes de cursos de cálculo diferencial en Instituciones oficiales de la ciudad de Medellín. Para alcanzar este objetivo utilizamos la entrevista semiestructurada de carácter socrático, como instrumento principal de recolección de información, así como observaciones y materiales escritos; la entrevista a su vez se convirtió en una estrategia metodológica para mejorar la comprensión de los estudiantes, en el marco de la Teoría de Pirie y Kieren, nuestro Marco Teórico.

Algunas consideraciones para el diseño de rutas de aprendizaje del concepto límite

La presente comunicación busca poner de manifiesto algunas consideraciones que se pueden tener en cuenta a la hora de diseñar rutas de aprendizaje en torno al concepto de límite. En este sentido, el documento se estructura por medio de dos preguntas cuyas respuestas coinciden con las dos principales consideraciones resultado de este trabajo; dichos interrogantes (para qué de la enseñanza del límite, y cómo lograrla) permiten evidenciar la comprensión del concepto límite como un proceso que da lugar al desarrollo de procesos de profundización, con los cuales se alcanza la forma más pura de la competencia matemática.

Un estudio del cambio y la variación a través de su representación gráfica

En el presente trabajo se aborda el estudio de la variación de una función cualquiera cuando se tiene sólo su representación gráfica y no se conoce su representación algebraica, así como la relación de la función con su primera y su segunda derivada y la relación entre tales derivadas, esto es, la información que puede proporcionar cada derivada acerca de la función y la información que aporta cada derivada con respecto a la otra.

Un estudio de investigaciones cognitivas acerca del concepto de límite. El caso de habla hispana

En este trabajo se reportan resultados de investigaciones sobre el concepto de límite, particularmente aquellas centradas en el aspecto cognitivo, y estos, tanto en el nivel medio superior como en el nivel superior. Estas investigaciones las clasificamos en tres grupos: las que tratan el preconcepto de límite, sobre las concepciones que se tienen del concepto de límite y las que reportan dificultades al tratamiento del concepto de límite. Algunos de los resultados de estas investigaciones es que el preconcepto está asociado a “una barrera no rebasable”; en cuanto a las concepciones sobre el concepto están las que se relacionan con “valor inalcanzable”, “como aproximación”, entre otras; y algunas dificultades como al redactar la definición del límite.

Formación del concepto límite mediante dos registros de representación: representaciones gráficas y el uso algebraico

Uno de los problemas centrales que se presentan, para abordar el tema de límite, es sin duda cuando nos enfrentamos al concepto de infinito. Generalmente el docente al enseñar el concepto de infinito utiliza metáforas didácticas basadas en conjuntos muy grandes, esto para fijar la idea de infinitud. De acuerdo con la real academia española, esto permite crear la noción de infinito en un lenguaje cotidiano, lo que lleva a generar una mala formación de este concepto, dentro de un lenguaje matemático, ya que la imprecisión del lenguaje cotidiano hace ver al concepto de infinito muy vago y se aleja de la idea matemática como unidad total (Ortiz, 1994). El interés de nuestro trabajo se centra precisamente en el diseño de actividades, donde el estudiante pueda realizar y observar un proceso infinito, a través de ejemplos geométricos donde se presente la situación límite (proceso infinito culminado), permitiendo la formación del concepto de límite.

Análisis epistemológico de la noción de límite en un contexto computacional

El problema de investigación se plantea en cómo utilizar el Cabri II Plus para lograr la transposición didáctica de la noción de límite a contextos computacionales, transposición informática (Balacheff, 1994). Construyendo límites de sucesiones y límites de funciones, visualizamos el concepto permitiendo la comprensión de la definición formal, la validación de propiedades y enunciados matemáticos y la activación de un proceso cognitivo marcado por la relación dialéctica entre percepción y conceptualización durante la interacción con la interfase del sistema (Moreno, 2002), promoviendo una transformación a nivel epistemológico de la experiencia matemática del estudiante. Las actividades propuestas articulan las representaciones algebraicas, gráficas y numéricas de la noción de límite, a través del movimiento, visualizando el cambio gracias a la geometría dinámica.

Equivalencia fenomenológica entre fenómenos y equivalencia fenomenológica entre definiciones

Presentamos resultados relativos a la equivalencia matemática y fenomenológica de la definición de límite finito de una sucesión y la definición de sucesión de Cauchy. Para ello enunciamos dos criterios que permiten determinar cuando dos fenómenos son equivalentes y cuando lo son dos definiciones, desde un punto de vista fenomenológico. A continuación y usando estos resultados realizamos avances significativos para demostrar en un futuro próximo que la definición de límite finito de una función en el infinito y la condición de Bolzano-Cauchy, además de ser equivalentes matemáticamente también lo son fenomenológicamente. Para ello enunciamos los fenómenos organizados por la definición de Bolzano-Cauchy que convenimos en llamarla definición de función de Cauchy.

Marco teórico y metodológico para el estudio del límite

Nuestras investigaciones dan cabida, con los mismos métodos, a diferentes nociones del límite, como límite finito de una sucesión o límite finito de una función en un punto. Consideramos tres elementos relacionados: fenomenología, sistemas de representación y pensamiento matemático avanzado. En la primera parte lo explicamos y presentamos ideas de otros marcos teóricos. Hemos usado las mismas herramientas metodológicas para descubrir y estudiar los fenómenos organizados por tres casos de límite finito y para reconocer esos fenómenos en libros de texto. Además, hemos desarrollado instrumentos para mostrar los fenómenos que emplean alumnos y profesores. En la segunda parte describimos los métodos usados para extraer información de libros de texto y alumnos.

El concepto de continuidad y sus obstáculos epistemológicos

El concepto de continuidad está íntimamente ligado a los de infinito y límite. En este trabajo se presenta primeramente un breve recorrido por las ideas que influyeron históricamente en la construcción matemática del concepto de continuidad a lo largo de la historia del pensamiento humano y se analizan las concepciones que sobre este concepto tienen los alumnos a las distintas edades, con la finalidad de clarificar ideas y buscar nuevas estrategias didácticas para abordar el tema del continuo.

¿Qué es el límite de una función en un punto?

Este video muestra la idea intuitiva de límite de una función en un punto. Además muestra un par de casos típicos en los que es interesante calcular el límite.

Idea intuitiva de límite de una función en un punto

Este informe contiene cuatro partes: (a) diseño previo, (b) instrumentos y procedimientos de recolección y análisis de la información, (c) descripción de la implementación y (d) nuevo diseño. En el diseño previo, nos centramos en la delimitación del tema matemático, la formulación de los objetivos y las tareas para lograr el aprendizaje. Con los instrumentos y procedimientos de recolección y análisis de la información, evaluamos la actuación de los estudiantes, el diseño y la implementación. En la descripción de la implementación, mostramos los cambios que realizamos al diseño previo durante la implementación con su respectiva justi cación. Por último, en el nuevo diseño explicamos las mejoras que realizamos a las tareas con motivo del análisis de sus debilidades, amenazas, fortalezas y oportunidades.

Una propuesta de enseñanza para los estudiantes de grado once del I. E. D. Paulo Freire sobre la noción de límite

El siguiente documento presenta una secuencia de actividades para trabajar la noción del concepto de limite involucrado en el pensamiento variacional en grado once, donde se toma como punto de partida el trabajo con sucesiones, permitiendo desarrollar a través del uso de diferentes tipos de sucesiones y la noción de convergencia; dicho concepto, tomado desde la definición de (Steward, Redlin, & Watson, 2001). Basado en la metodología propuesta por el grupo (DECA, 1992), la cual, no solo muestra el enseñar matemáticas, como entregar algoritmos al estudiante, sino que por el contrario, un aprendizaje desde la construcción del objeto matemático, resaltando la participación activa y critica del estudiante.

Un problema curioso para la comprensión de las determinaciones del tipo infinito e infinito negativo

Muchos alumnos de cursos posteriores al segundo grado de BUP tienen a nivel de información, el conocimiento de los límites del tipo infinito y menos infinito. Saben que son indeterminadas, pero en principio, el concepto no está suficientemente integrado en su estructura racional. Para corregir esto, les sugiero la resolución del siguiente problema, que no recuerdo de donde lo tomé o a quién se lo oí.

Cilindros y troncos de cono para ilustrar los peligros del paso al límite

A menudo se piensa que en las Matemáticas no 69 hay lugar para el ensayo y el error, propagando la idea de que gran parte de la labor del matemático es tener la ocurrencia apropiada. En este artículo mostramos dos problemas que, aunque aparentemente deberían resolverse usando la misma idea, son resueltos sin justificación alguna en los libros de texto utilizando ideas diferentes. Además, presentamos otra situación mucho más próxima al estudiante con la misma dificultad subyacente y que sirve para explicar dicha dificultad de un modo más adecuado al nivel del alumno.